ივანოვა ანასტასია

მათემატიკაში სპეციალიზებული გამოცდის No15 ამოცანა არის სირთულის გაზრდილი დონის ამოცანა, რომელიც წარმოადგენს უთანასწორობას. ამ უტოლობების ამოხსნისას სტუდენტებმა უნდა აჩვენონ თეორემების ცოდნა გარკვეული ტიპის უტოლობების ეკვივალენტობის შესახებ და სტანდარტული და არასტანდარტული ამოხსნის მეთოდების გამოყენების უნარი. სასკოლო სახელმძღვანელოების შინაარსის ანალიზი აჩვენებს, რომ მათ უმეტესობაში ფუნქციების თვისებების გამოყენებით უტოლობების ამოხსნის მეთოდებს სათანადო ყურადღება არ ექცევა, ხოლო ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ამოცანები თითქმის ყოველწლიურად შემოთავაზებულია უტოლობები, რომელთა ამოხსნა გამარტივებულია. თუ გამოყენებულია ფუნქციების თვისებები. პედაგოგიური გაზომვების ფედერალური ინსტიტუტის ვებ-გვერდზე წარმოდგენილი სტატისტიკის მიხედვით, 2017 წელს გამოცდის მონაწილეთა დაახლოებით 15%-მა მიიღო ამ დავალების არანულოვანი ქულები; მაქსიმალური ქულა არის დაახლოებით 11%. ყოველივე აღნიშნული მიუთითებს იმაზე, რომ სტუდენტებს დიდი სირთულეები აქვთ ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის მე-15 ამოცანის ამოხსნისას. სამიზნე: გამოიკვლიეთ უტოლობების ამოხსნის სხვადასხვა გზები.

:

1. ამ თემაზე თეორიული მასალის შესწავლა.

2. განვიხილოთ პედაგოგიური გაზომვების ფედერალური ინსტიტუტის ვებ-გვერდზე შემოთავაზებული ერთიანი სახელმწიფო საგამოცდო დავალების ბანკში შემოთავაზებული მაგალითები.

3. უტოლობების ამოხსნის ფუნქციონალურ-გრაფიკული მეთოდების შესწავლა.

4. შეადარეთ უტოლობების ამოხსნის სხვადასხვა მეთოდი.

5. ექსპერიმენტულად შეამოწმეთ უტოლობათა ამოხსნის რომელი მეთოდია ყველაზე რაციონალური.

Კვლევის მეთოდები:გამოკითხვა, დაკითხვა, ანალიზი, შედეგების შედარება და სინთეზი.

ჩვენს ნაშრომში შევისწავლეთ უტოლობების ამოხსნის ფუნქციურ-გრაფიკული მეთოდები. შეადარეს უტოლობების ამოხსნის სხვადასხვა მეთოდი. ექსპერიმენტულად შევამოწმეთ უტოლობების ამოხსნის რომელი მეთოდია ყველაზე რაციონალური. და მივიდნენ დასკვნამდე, რომ სტუდენტმა უნდა იცოდეს უტოლობების გადაჭრის რამდენიმე გზა, რათა დაზოგოს დრო და შეამციროს ლოგიკური და გამოთვლითი შეცდომების რისკი.

ჩამოტვირთვა:

გადახედვა:

უტოლობების ამოხსნის სხვადასხვა მეთოდის შესწავლა

ივანოვა ანასტასია ევგენევნა

მუნიციპალური საბიუჯეტო საგანმანათლებლო დაწესებულება
„30-ე საშუალო სკოლა ცალკეული საგნების სიღრმისეული შესწავლით“

11ბ კლასი

სამეცნიერო სტატია (სამსახურის აღწერა)

1. შესავალი

შესაბამისობა.

მათემატიკაში სპეციალიზებული გამოცდის No15 დავალება არის სირთულის გაზრდილი დონის ამოცანა, რომელიც წარმოადგენს უთანასწორობას (რაციონალური, ირაციონალური, ექსპონენციალური, ლოგარითმული). ამ უტოლობების ამოხსნისას სტუდენტებმა უნდა აჩვენონ თეორემების ცოდნა გარკვეული ტიპის უტოლობების ეკვივალენტობის შესახებ და სტანდარტული და არასტანდარტული ამოხსნის მეთოდების გამოყენების უნარი.

ამ ამოცანის სრული სწორი გადაწყვეტა ღირს 2 ქულა. ამოცანის ამოხსნისას მისაღებია ნებისმიერი მათემატიკური მეთოდი - ალგებრული, ფუნქციური, გრაფიკული, გეომეტრიული და ა.შ.

პედაგოგიური გაზომვების ფედერალური ინსტიტუტის ვებ-გვერდზე წარმოდგენილი სტატისტიკის მიხედვით, 2017 წელს გამოცდის მონაწილეთა დაახლოებით 15%-მა მიიღო ამ დავალების არანულოვანი ქულები; მაქსიმალური ქულა არის დაახლოებით 11%. ტიპიური შეცდომები დაკავშირებულია უტოლობების მათემატიკური აღნიშვნის უყურადღებოდ წაკითხვასთან, აგრეგატების და ლოგარითმული უტოლობების სისტემების ამოხსნის ალგორითმის არასწორ გაგებასთან. წილადი რაციონალური უტოლობების ამოხსნისას გამოცდის მონაწილეებმა უამრავი შეცდომა დაუშვეს (მნიშვნელი დაივიწყეს).

მათემატიკაში ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე ჩვენი სკოლის მოსწავლეების მიერ No15 დავალების შესრულების შედეგები მოცემულია ცხრილში 1 და დიაგრამაზე (ნახ. 1).

ცხრილი 1

ჩვენი სკოლის მოსწავლეების No15 დავალების შედეგები

ნახ.1. ჩვენი სკოლის მოსწავლეების No15 დავალების შედეგები

2017-2018 სასწავლო წელს 11ა,ბ კლასების საცდელი საქალაქო გამოცდის No15 დავალების შედეგები. წელი წარმოდგენილია ცხრილში 2 და დიაგრამაში (ნახ. 2).

მაგიდა 2

საცდელი ქალაქის გამოცდაზე No15 დავალების შედეგები

2017-2018 სასწავლო წელს. წელი ჩვენი სკოლის მოსწავლეების მიერ

ნახ.2. 2017-2018 სასწავლო წელს საცდელ გამოცდაზე No15 დავალების შედეგები. წელი ჩვენი სკოლის მოსწავლეების მიერ

ჩავატარეთ ჩვენს სკოლაში მათემატიკის მასწავლებლების გამოკითხვა და დავადგინეთ ის ძირითადი პრობლემები, რაც მოსწავლეებს აქვთ უტოლობების ამოხსნისას: უტოლობების მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონის არასწორი განსაზღვრა; ლოგარითმული უთანასწორობიდან რაციონალურზე გადასვლის არა ყველა შემთხვევის განხილვა; ლოგარითმული გამონათქვამების კონვერტაცია; შეცდომები ინტერვალის მეთოდის გამოყენებაში და ა.შ.

რიგი ტიპიური შეცდომები დაკავშირებულია ინტერვალის მეთოდის გამოყენებასთან და დამხმარე ცვლადის დანერგვასთან. მაგალითად, შეცდომა ინტერვალებზე ნიშნების განსაზღვრისას ან რიცხვების არასწორი განლაგება კოორდინატთა ხაზზე, კრიტერიუმების მიხედვით, შეიძლება განიმარტოს როგორც გამოთვლითი შეცდომები. სხვები, რომლებიც დაკავშირებულია ალგორითმის ნაბიჯების გამოტოვებასთან ან მათ არასწორად შესრულებასთან, იღებენ 0 ქულას.

ყოველივე აღნიშნული მიუთითებს იმაზე, რომ მოსწავლეები დიდ სირთულეებს განიცდიან მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის No15 ამოცანის ამოხსნისას. ამასთან დაკავშირებით ჩვენ წამოვაყენეთჰიპოთეზა : თუ მოსწავლემ იცის უტოლობების ამოხსნის რამდენიმე გზა, მაშინ ის შეძლებს აირჩიოს ყველაზე რაციონალური.

კვლევის ობიექტი: უტოლობები.

შესწავლის საგანი: უტოლობების ამოხსნის სხვადასხვა გზები.

სამიზნე : გამოიკვლიეთ უტოლობების ამოხსნის სხვადასხვა გზები.

ამ მიზნის მისაღწევად გადაწყდა შემდეგი ამოცანები:

1. შეისწავლეთ თეორიული მასალა ამ თემაზე.
2. განვიხილოთ მაგალითები შემოთავაზებული ერთიანი სახელმწიფო გამოცდების ამოცანების ბანკში, პედაგოგიური გაზომვების ფედერალური ინსტიტუტის ვებსაიტზე.
3. უტოლობების ამოხსნის ფუნქციონალურ-გრაფიკული მეთოდების შესწავლა.
4. შეადარეთ უტოლობების ამოხსნის სხვადასხვა მეთოდი.
5. ექსპერიმენტულად შეამოწმეთ უტოლობების ამოხსნის რომელი მეთოდია ყველაზე რაციონალური.

2. ძირითადი ნაწილი

2.1. თეორიული ნაწილი

1. წრფივი უტოლობა

წრფივი უტოლობაარის ფორმის უტოლობები:ცული + b 0; ცული+b≥0; ax+b≤0, სადაც a და b - ნებისმიერი რიცხვი და a≠0,x - უცნობი ცვლადი.

უტოლობების გარდაქმნის წესები:

1. უტოლობის ნებისმიერი ტერმინი შეიძლება გადავიდეს უტოლობის ერთი ნაწილიდან მეორეზე, ნიშნის შეცვლა საპირისპიროზე.

2. უტოლობის ორივე მხარე შეიძლება გავამრავლოთ/გაყოთ ერთსა და იმავე დადებით რიცხვზე, რათა მივიღოთ მოცემული უტოლობის ექვივალენტი.

3. უტოლობის ორივე მხარე შეიძლება გამრავლდეს/გაიყოს იმავე უარყოფით რიცხვზე, უტოლობის ნიშნის შებრუნებით.

2. კვადრატული უტოლობა

ფორმის უთანასწორობა

სადაც x არის ცვლადი, a, b, c არის რიცხვები, , ეწოდება კვადრატი. კვადრატული უტოლობის ამოხსნისას საჭიროა შესაბამისის ფესვების პოვნაკვადრატული განტოლება . ამისათვის თქვენ უნდა იპოვოთდისკრიმინანტი ამ კვადრატული განტოლების. შეგიძლიათ მიიღოთ 3 შემთხვევა: 1) D=0 , კვადრატულ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი; 2) D>0 კვადრატულ განტოლებას ორი ფესვი აქვს; 3)დ კვადრატულ განტოლებას არ აქვს ფესვები. მიღებული ფესვებისა და კოეფიციენტის ნიშნის მიხედვითა ექვსი შესაძლო ადგილიდან ერთიფუნქციური გრაფიკა (დანართი 1).

3. რაციონალური უტოლობები

რაციონალური უთანასწორობაx ერთი ცვლადით ეწოდება f(x) ფორმის უტოლობა. გამონათქვამები, ე.ი. რიცხვების, x ცვლადისგან შედგენილი ალგებრული გამონათქვამები და მათემატიკური მოქმედებების გამოყენებით, ე.ი. შეკრების, გამოკლების, გამრავლების, გაყოფის და ბუნებრივ ხარისხებამდე ამაღლების ოპერაციები.რაციონალური უტოლობების ამოხსნის ალგორითმი ინტერვალის მეთოდის გამოყენებით(დანართი 1).

4. ექსპონენციური უტოლობა

ექსპონენციალური უტოლობა- ეს არის უთანასწორობა , რომელშიც უცნობი არის მაჩვენებელში. უმარტივესიექსპონენციური უტოლობააქვს ფორმა: a x ‹ b ან x › b, სადაც a> 0, a ≠ 1, x უცნობია.

5. ლოგარითმული უტოლობები

ლოგარითმული უტოლობაეწოდება უტოლობა, რომელშიც უცნობი სიდიდე არის ნიშნის ქვეშლოგარითმი .

1. უტოლობა თუ ამცირებს ეკვივალენტურ უთანასწორობას. თუ - შემდეგ უთანასწორობამდე.

ანალოგიურად უთანასწორობაარის უტოლობების ეკვივალენტური: ; ამისთვის:.

მიღებული უტოლობების ამონახსნები უნდა იკვეთებოდეს ODZ-თან:

2. ფორმის ლოგარითმული უტოლობის ამოხსნაუდრის შემდეგი სისტემების ამოხსნას:

ა) ბ)

უთანასწორობა თითოეულ ორ შემთხვევაში იგი მცირდება ერთ-ერთ სისტემაზე:

ა) ბ)

6. ირაციონალური უტოლობები

თუ უტოლობა მოიცავს ფუნქციებს ფესვის ნიშნის ქვეშ, მაშინ ასეთ უტოლობას უწოდებენ ირაციონალური.

.

2.2. პრაქტიკული ნაწილი

კვლევა #1

სამიზნე : ისწავლეთ შეზღუდული ფუნქციის მეთოდი.

პროგრესი:

1. შეზღუდული ფუნქციების მეთოდის შესწავლა.

2. უტოლობების ამოხსნაამ მეთოდით.

ფუნქციის შეზღუდვის გამოსაყენებლად, თქვენ უნდა შეძლოთ ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრების პოვნა და იცოდეთ სტანდარტული ფუნქციების მნიშვნელობების დიაპაზონის შეფასებები (მაგალითად,) .

მაგალითი #1 . უტოლობის ამოხსნა:

გამოსავალი:

დომენი:

ყველა x-ისთვის მიღებული სიმრავლიდან გვაქვს:

მაშასადამე, უთანასწორობის გამოსავალი

პასუხი:

მაგალითი No2. უტოლობის ამოხსნა:

გამოსავალი:

იმიტომ რომ

ეს უთანასწორობა ტოლფასია

სისტემის პირველ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი x = - 0,4, რომელიც ასევე აკმაყოფილებს მეორე განტოლებას.

პასუხი: - 0.4

დასკვნა: ეს მეთოდი ყველაზე ეფექტურია, თუ უტოლობა შეიცავს ისეთ ფუნქციებს, როგორიცაადა სხვები, რომელთა დიაპაზონი შეზღუდულია ზემოთ ან ქვემოთ.

კვლევა #2

სამიზნე : უტოლობათა ამოხსნის რაციონალიზაციის მეთოდის შესწავლა.

პროგრესი:

1. რაციონალიზაციის მეთოდის შესწავლა.

2. უტოლობების ამოხსნაამ მეთოდით.

რაციონალიზაციის მეთოდი შედგება რთული გამოხატვის F(x) უფრო მარტივი გამოსახულებით G(x) ჩანაცვლებისგან, რომელშიც უტოლობა G(x) v 0 უდრის უტოლობას F(x) v 0-ის განსაზღვრის დომენზე. გამოთქმა F(x) (სიმბოლო "v" ცვლის უტოლობის ერთ-ერთ ნიშანს: ≤, ≥, >,

მოდით გამოვყოთ რამდენიმე ტიპიური გამონათქვამი F და შესაბამისი რაციონალიზაციის გამოსახულებები G (ცხრილი 1), სადაც f, g, h, p, q არის გამონათქვამები x ცვლადით (h>0, h≠1,f>0,g>0) , a -ფიქსირებული რიცხვი (a>0, a≠1). (დანართი 2).

მაგალითი No1. უტოლობის ამოხსნა:

O.D.Z:

პასუხი:

მაგალითი No2. უტოლობის ამოხსნა:

O.D.Z:

განმარტების დომენის გათვალისწინებით, ჩვენ ვიღებთ

პასუხი:

დასკვნა : უტოლობა ლოგარითმებით ცვლად ფუძემდე ყველაზე რთულია. რაციონალიზაციის მეთოდი საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ რთული ექსპონენციალური, ლოგარითმული და ა.შ. შემცველი უტოლობებიდან. გამოხატულება, მისი ეკვივალენტური უფრო მარტივი რაციონალური უთანასწორობა. რაციონალიზაციის მეთოდი არა მხოლოდ ზოგავს დროს, არამედ ამცირებს ლოგიკური და გამოთვლითი შეცდომების რისკს.

კვლევა #3

სამიზნე : უტოლობების ამოხსნის პროცესში შეადარეთ სხვადასხვა მეთოდი.

პროგრესი:

1. უტოლობის ამოხსნასხვადასხვა მეთოდების გამოყენებით.

2. შეადარეთ შედეგები და გამოიტანეთ დასკვნა.

მაგალითი No1. უთანასწორობის ამოხსნა

გამოსავალი:

1 გზა. ალგებრული მეთოდი

პირველი სისტემის გადაწყვეტა:

ჩვენ ვხსნით მეორე სისტემის მეორე უტოლობას:

მეთოდი 2 . ფუნქციის ფარგლების გამოყენება

დომენი:

ამ x მნიშვნელობებისთვის ვიღებთ:

უტოლობის მარჯვენა მხარე უარყოფითია მისი განმარტების დომენზე. აქედან გამომდინარე, უთანასწორობა მოქმედებს

პასუხი:

3 გზა. გრაფიკული მეთოდი

დასკვნა : ალგებრული მეთოდით უტოლობის ამოხსნისას მივედი მეექვსე ხარისხის უტოლობამდე, დიდი დრო დავხარჯე მის ამოხსნაზე, მაგრამ ვერ მოვახერხე ამოხსნა. რაციონალური მეთოდი, ჩემი აზრით, არის ფუნქციის დომენის გამოყენება ან გრაფიკულად.

მაგალითი No2. უტოლობის ამოხსნა:.

პასუხი:

დასკვნა: ამ უთანასწორობის ამოხსნა მხოლოდ რაციონალიზაციის მეთოდის წყალობით მოვახერხე.

დასკვნა

სასკოლო სახელმძღვანელოების შინაარსის ანალიზი აჩვენებს, რომ მათ უმეტესობაში ფუნქციების თვისებების გამოყენებით უტოლობების ამოხსნის მეთოდებს სათანადო ყურადღება არ ეთმობა, ხოლო ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ამოცანები თითქმის ყოველწლიურად შემოთავაზებულია უტოლობები, რომელთა ამოხსნა გამარტივებულია. თუ გამოყენებულია ფუნქციების თვისებები.

სტუდენტების უმეტესობა ხსნის უტოლობებს სტანდარტული, ალგორითმული მეთოდების გამოყენებით, რაც ზოგჯერ იწვევს რთულ გამოთვლებს. ამ მხრივ დაბალია ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე No15 დავალების შესრულების პროცენტული მაჩვენებელი.

ფუნქციების თვისებების გამოყენების სფერო უტოლობების ამოხსნისას ძალიან ფართოა. უტოლობაში შემავალი ფუნქციების თვისებების (შეზღუდულობა, ერთფეროვნება და სხვ.) გამოყენება იძლევა არასტანდარტული ამოხსნის მეთოდების გამოყენების საშუალებას. ჩვენი აზრით, უტოლობების ამოხსნისას ფუნქციების საჭირო თვისებების გამოყენების უნარს შეუძლია მოსწავლეებს უფრო რაციონალური ამონახსნის არჩევის საშუალება მისცეს.

ჩვენს ნაშრომში შევისწავლეთ უტოლობების ამოხსნის ფუნქციურ-გრაფიკული მეთოდები. შეადარეს უტოლობების ამოხსნის სხვადასხვა მეთოდი. ექსპერიმენტულად შევამოწმეთ უტოლობების ამოხსნის რომელი მეთოდია ყველაზე რაციონალური.

და მივიდნენ დასკვნამდე, რომ სტუდენტმა უნდა იცოდეს უტოლობების გადაჭრის რამდენიმე გზა, რათა დაზოგოს დრო და შეამციროს ლოგიკური და გამოთვლითი შეცდომების რისკი.

ჩვენი მუშაობის მიზნები დასრულებულია, მიზანი მიღწეულია, ჰიპოთეზა დადასტურებულია.

ლიტერატურა:

1. ალიმოვი შ., კოლიაგინი მ., სიდოროვი ვ. და ალგებრა. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / Sh.Alimov, Yu M. Kolyagin, Yu V. Sidorov და სხვ. – მ.: განათლება, 2007. – 384გვ.
2. კორიანოვი ა.გ., პროკოფიევი ა.ა. კურსის მასალები „კარგი და წარჩინებული სტუდენტების მომზადება ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის“: ლექციები 1-4. - მ.: პედაგოგიური უნივერსიტეტი „პირველი სექტემბერი“, 2012. – 104გვ.
3. საიტი http://www.fipi.ru/.
4. საიტი https://ege.sdamgia.ru/.
5. Yashchenko I. V. ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა. მათემატიკა. პროფილის დონე: სტანდარტული გამოცდის ვარიანტები: 36 ვარიანტი / რედ. ი.ვ.იაშჩენკო. - მ.: გამომცემლობა "ეროვნული განათლება", 2018. - 256გვ.

გადახედვა:

პრეზენტაციის გადახედვის გამოსაყენებლად შექმენით Google ანგარიში და შედით მასში: https://accounts.google.com

სლაიდის წარწერები:

უტოლობების ამოხსნის სხვადასხვა მეთოდის შესწავლა ივანოვა ანასტასია ევგენიევნა MBOU "30-ე საშუალო სკოლა ცალკეული საგნების სიღრმისეული შესწავლით"

ჩვენი სკოლის მოსწავლეების No15 დავალების შედეგები

2017-2018 სასწავლო წელს საცდელ გამოცდაზე No15 დავალების შედეგები. წელი ჩვენი სკოლის მოსწავლეების მიერ

ჰიპოთეზა: თუ მოსწავლემ იცის უტოლობების ამოხსნის რამდენიმე გზა, მაშინ მას შეეძლება აირჩიოს ყველაზე რაციონალური კვლევის ობიექტი: უტოლობები კვლევის საგანი: უტოლობების ამოხსნის სხვადასხვა გზები.

მიზანი: გამოიკვლიეთ უტოლობების გადაჭრის სხვადასხვა გზები. ამ მიზნის მისაღწევად გადაწყდა შემდეგი ამოცანები: ამ თემაზე თეორიული მასალის შესწავლა. განვიხილოთ მაგალითები შემოთავაზებული ერთიანი სახელმწიფო გამოცდების დავალების ბანკში, პედაგოგიური გაზომვების ფედერალური ინსტიტუტის ვებსაიტზე. უტოლობების ამოხსნის ფუნქციონალურ-გრაფიკული მეთოდების შესწავლა. შეადარეთ უტოლობების ამოხსნის სხვადასხვა მეთოდი. ექსპერიმენტულად შეამოწმეთ უტოლობების ამოხსნის რომელი მეთოდია ყველაზე რაციონალური.

კვლევა No1 მიზანი: შეზღუდული ფუნქციის მეთოდის შესწავლა. პროგრესი: 1. შეზღუდული ფუნქციების მეთოდის შესწავლა. 2. უტოლობების ამოხსნა ამ მეთოდის გამოყენებით. მაგალითი No1. ამოხსენით უტოლობა: ამოხსნა: დომენი: მიღებული სიმრავლიდან x ყველასთვის გვაქვს: მაშასადამე, უტოლობის ამონახსნი პასუხი:

მაგალითი No2. ამოხსენით უტოლობა: ამოხსნა: იმიტომ ეს უტოლობა ექვივალენტურია სისტემის პირველ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი x = - 0,4, რომელიც ასევე აკმაყოფილებს მეორე განტოლებას. პასუხი: - 0.4 დასკვნა: ეს მეთოდი ყველაზე ეფექტურია, თუ უტოლობა შეიცავს ფუნქციებს, ისევე როგორც სხვებს, რომელთა მნიშვნელობების დიაპაზონი შეზღუდულია ზემოთ ან ქვემოთ.

კვლევა No2 მიზანი: უტოლობათა ამოხსნის რაციონალიზაციის მეთოდის შესწავლა. პროგრესი: 1. რაციონალიზაციის მეთოდის შესწავლა. 2. უტოლობების ამოხსნა ამ მეთოდის გამოყენებით. მაგალითი No1. ამოხსენით უტოლობა: O.D.Z: განსაზღვრების დომენის გათვალისწინებით ვიღებთ პასუხს:

მაგალითი No2. ამოხსენით უტოლობა: O.D.Z: განსაზღვრების დომენის გათვალისწინებით ვიღებთ პასუხს: დასკვნა: უტოლობა ლოგარითმებით ცვლად ფუძემდე იწვევს უდიდეს სირთულეს. რაციონალიზაციის მეთოდი საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ რთული ექსპონენციალური, ლოგარითმული და ა.შ. შემცველი უტოლობებიდან. გამოხატულება, მისი ეკვივალენტური უფრო მარტივი რაციონალური უთანასწორობა. რაციონალიზაციის მეთოდი არა მხოლოდ ზოგავს დროს, არამედ ამცირებს ლოგიკური და გამოთვლითი შეცდომების რისკს.

კვლევა No3 მიზანი: უტოლობების ამოხსნის პროცესში შედარება სხვადასხვა მეთოდები. პროგრესი: 1. ამოხსენით უტოლობა სხვადასხვა მეთოდის გამოყენებით. 2. შეადარეთ შედეგები და გამოიტანეთ დასკვნა. მაგალითი No1. ამოხსენით უტოლობა 1 გზა. ალგებრული მეთოდი პირველი სისტემის ამოხსნა: მეორე სისტემის მეორე უტოლობის ამოხსნა: მე-2 მეთოდი. ფუნქციის განსაზღვრის დომენის გამოყენება განმარტების დომენი: x-ის ამ მნიშვნელობებისთვის ვიღებთ: უტოლობის მარჯვენა მხარე უარყოფითია მისი განმარტების დომენზე. ამიტომ, უთანასწორობა მოქმედებს

3 გზა. გრაფიკული მეთოდი დასკვნა: უტოლობის ამოხსნა ალგებრული მეთოდით, მივედი მეექვსე ხარისხის უტოლობამდე, დიდი დრო დავხარჯე მის ამოხსნაზე, მაგრამ ვერ მოვახერხე ამოხსნა. რაციონალური მეთოდი, ჩემი აზრით, არის ფუნქციის დომენის გამოყენება ან გრაფიკულად.

მაგალითი No2. ამოხსენით უტოლობა: პასუხი: დასკვნა: ამ უტოლობის ამოხსნა მხოლოდ რაციონალიზაციის მეთოდის წყალობით შევძელი.

ფუნქციების თვისებების გამოყენების სფერო უტოლობების ამოხსნისას ძალიან ფართოა. უტოლობაში შემავალი ფუნქციების თვისებების (შეზღუდულობა, ერთფეროვნება და სხვ.) გამოყენება იძლევა არასტანდარტული ამოხსნის მეთოდების გამოყენების საშუალებას. ჩვენი აზრით, უტოლობების ამოხსნისას ფუნქციების აუცილებელი თვისებების გამოყენების უნარს შეუძლია მოსწავლეებს უფრო რაციონალური ამონახსნის არჩევის საშუალება მისცეს. ჩვენს ნაშრომში შევისწავლეთ უტოლობების ამოხსნის ფუნქციონალურ-გრაფიკული მეთოდები. შეადარეს უტოლობების ამოხსნის სხვადასხვა მეთოდი. ექსპერიმენტულად შევამოწმეთ უტოლობების ამოხსნის რომელი მეთოდია ყველაზე რაციონალური. და მივიდნენ დასკვნამდე, რომ სტუდენტმა უნდა იცოდეს უტოლობების გადაჭრის რამდენიმე გზა, რათა დაზოგოს დრო და შეამციროს ლოგიკური და გამოთვლითი შეცდომების რისკი. ჩვენი მუშაობის მიზნები დასრულებულია, მიზანი მიღწეულია, ჰიპოთეზა დადასტურებულია.

Გმადლობთ ყურადღებისთვის!

განტოლების ამოხსნის გრაფიკული მეთოდის იდეა მარტივია. აუცილებელია განტოლების ორივე მხარეს შემავალი ფუნქციების გრაფიკების აგება და გადაკვეთის წერტილების აბსციების პოვნა. მაგრამ ზოგიერთი ფუნქციის გრაფიკის დახატვა რთულია. ყოველთვის არ არის საჭირო გრაფიკების შედგენა, ასეთი განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია ძირეული შერჩევის მეთოდის გამოყენებით, ერთფეროვნების და ფუნქციების შეზღუდვის თვისებების გამოყენებით. ეს საშუალებას გაძლევთ საკმაოდ სწრაფად გადაჭრათ შემოთავაზებული ამოცანები ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ჩაბარებისას.

ჩამოტვირთვა:

გადახედვა:

მუნიციპალური საგანმანათლებლო დაწესებულება

"გიმნაზია No24"

ფუნქციურ-გრაფიკული მეთოდი

განტოლებების ამონახსნები.

მოამზადა მასწავლებელმა

დანილინა ოლგა სერგეევნა.

მაგადანი 2007 წ

« განტოლებების ამოხსნის ფუნქციონალურ-გრაფიკული მეთოდი"

გაკვეთილის მიზანი: განავითაროს გარკვეული ტიპის განტოლებების ფუნქციონალურად - გრაფიკულად ამოხსნის უნარი, ფუნქციების შეზღუდვისა და ერთფეროვნების თვისებების გამოყენებით.

გაკვეთილის სტრუქტურა:

მასწავლებლის შესავალი სიტყვა, გაკვეთილის თემის გაცნობა, მიზნების დასახვა

ადრე მიღებული ცოდნის განახლება, რომელიც აუცილებელია გაკვეთილის თემის ათვისებისთვის

პრეზენტაცია წამყვანების მიერ, რომელიც შეიცავს ახალი მასალის პრეზენტაციას სხვადასხვა ტიპის განტოლებების ამონახსნების ნიმუშებით

ნასწავლის პირველადი კონსოლიდაციის მიზნით ჯგუფებში მუშაობა

თამაშის მსგავსი თამაშის ჩატარება: „რა? სად? Როდესაც?"

გაკვეთილის შეჯამება.

1. შესავალ სიტყვაში მასწავლებელი უზიარებს თავის გამოცდილებას ახალი მეთოდით. საუბრობს მისი დაუფლების აუცილებლობაზე, მის მნიშვნელობაზე და განტოლებების უფრო რაციონალური ამოხსნის უნარების შეძენის შესაძლებლობაზე.
2. ცოდნის განახლება: ფუნქციების გაზრდა და შემცირება, მაგალითები, ერთფეროვნებისა და შეზღუდული ფუნქციების თვისებები.
3. ახალი თემის პრეზენტაცია სლაიდების გამოყენებით, რომლებიც ასახავს თეორიულ მასალას განტოლებების ამონახსნების მაგალითებით (იხ. დანართი).
4. მუშაობა ჯგუფებში: თითოეულ ჯგუფს ეძლევა ბარათები ამოცანებით, ამოხსნის ნიმუშებით და დავალებებით. გაკვეთილის წამყვანი სტუდენტი კონსულტანტები აკვირდებიან დავალებების მიმდინარეობას და საჭიროების შემთხვევაში მოდიან სამაშველოში. მათი მუშაობის დროს, ჯგუფებში მომუშავეებს შეუძლიათ გამოიყენონ კომპიუტერები, რომლებიც კონფიგურირებულია სპეციალური პროგრამით, რაც მათ საშუალებას აძლევს შექმნან ფუნქციების გრაფიკები, ამის წყალობით, რთულ სიტუაციებში კომპიუტერი შეიძლება გამოყენებულ იქნას როგორც მინიშნება ან ნათლად დემონსტრირება ამოხსნის სისწორე და არჩეული მეთოდის სისწორე.
5. დაცვა შესრულებული დავალების ჯგუფის წარმომადგენლის მიერ, მულტიმედიური დაფის გამოყენებით, რომელიც აჩვენებს განტოლებების ამოხსნას გრაფიკული მეთოდის გამოყენებით შესრულებული დავალების სიზუსტის დასადასტურებლად. RA
6. თამაშის ჩატარება. თითოეული ჯგუფისთვის მონიტორის ეკრანიდან ისმის კითხვა, რომელიც ადრე იყო ჩაწერილი სკოლის სხვადასხვა მასწავლებლის მიერ და ეძლევა წუთი დისკუსიისთვის, რის შემდეგაც ბავშვებმა უნდა გასცენ დასაბუთებული პასუხი. ამის შემდეგ, ახლად ჩართული ეკრანიდან, მასწავლებელი, რომელმაც ადრე დაუსვა კითხვა, წარმოაჩენს თავისი პასუხის ვერსიას. ამრიგად, მსჯელობის განმეორებითი გამეორება ახლად შესწავლილ თემაზე, განსაკუთრებით კომპეტენტურად გამოხატული სხვადასხვა ადამიანების მიერ, აღწევს ყველაზე ხელსაყრელ პირობებს დაუფლებისთვის. ახალი თემა (იხილეთ დანართი.)
7. შეჯამება: საუკეთესო „ხუთი ექსპერტის, საუკეთესო მოთამაშის“ იდენტიფიცირება.

კითხვები კლასისთვის;

რა ისწავლეთ დღევანდელ გაკვეთილზე?

რა განტოლებების ამოხსნა შეიძლება შერჩევის მეთოდით?

ფუნქციების რა თვისებები გამოიყენება ამ შემთხვევაში.

კითხვები თამაშის მონაწილეებისთვის:

ძვირფასო ექსპერტებო, ერთ წუთში იპოვეთ ამ განტოლების ფესვი და დაამტკიცეთ, რომ ის ერთადერთია.

პასუხი: ორი მზარდი ფუნქციის ჯამი არის მზარდი ფუნქცია. y = - იზრდება მონოტონურად, ამიტომ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი, რადგან ამ ფუნქციის გრაფიკი ერთხელ იკვეთება y=3 წრფესთან. როდესაც x=1, მივიღებთ სწორ ტოლობას. პასუხი: x=1

ძვირფასო ექსპერტებო, ერთ წუთში დაასახელეთ ფუნქციები, რომლებიც შეიცავს უტოლობის ორივე მხარეს და იპოვეთ ამ განტოლების ფესვი.

პასუხი: y = - ექსპონენციალური ფუნქცია, რომელიც იზრდება რეალურ რიცხვთა სიმრავლეზე. y=6 - x წრფივი ფუნქციაა, ის მონოტონურად მცირდება ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეზე. ეს ნიშნავს, რომ ფუნქციების გრაფიკები იკვეთება ერთ წერტილში, განტოლებას აქვს ერთი ფესვი. როდესაც x=2 მივიღებთ სწორ ტოლობას. პასუხი: x=2

3. ძვირფასო ექსპერტებო, თქვენ უკვე იცით, რომ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი x=3. ერთ წუთში უპასუხეთ x-ის რა მნიშვნელობებს შეიცავს უტოლობა.

პასუხი: უტოლობა მოქმედებს x Є-ზე, რადგან ამ ინტერვალზე y = ფუნქციის გრაფიკი მდებარეობს y = ფუნქციის გრაფიკის ქვემოთ

4. ძვირფასო ექსპერტებო, ბევრ ადამიანს უჭირს განტოლების ამოხსნა. ერთ წუთში იპოვეთ ამ განტოლების ფესვი და დაამტკიცეთ, რომ ის უნიკალურია.

პასუხი: x = -3 განტოლების ფესვი უნიკალურია, რადგან განტოლების მარცხენა მხარე შეიცავს კლებად ფუნქციას, ხოლო მარჯვენა მხარე შეიცავს მზარდს, რაც ნიშნავს, რომ ფუნქციების გრაფიკები იკვეთება ერთ წერტილში და განტოლებას აქვს. ერთი ფესვი.

5. ძვირფასო ექსპერტებო, მე მაქვს თქვენთვის რთული შეკითხვა. თქვენ შეგიძლიათ მარტივად იპოვოთ განტოლების ფესვი. დაამტკიცე, რომ ის ერთადერთია. პასუხი: x=1 არის ერთადერთი ფესვი.

განტოლებების ამოხსნის ფუნქციონალურ - გრაფიკული მეთოდი.

________________________________________________________________________

გაკვეთილის მიზანი: ვისწავლოთ განტოლებების ამოხსნა ჩანაცვლების მეთოდით, ერთფეროვნებისა და ფუნქციათა შეზღუდულობის თვისებების გამოყენებით.

_________________________________________________________________________

საცნობარო მასალა

1. ფუნქციას ეწოდება მზარდი (კლება) X სიმრავლეზე, თუ ამ სიმრავლეში, როგორც არგუმენტი იზრდება (მცირდება), ფუნქციის მნიშვნელობა იზრდება (მცირდება).

მაგალითი 1:

1. იზრდება ფუნქციები

მაგალითი 2:

მცირდება ფუნქციები

საცნობარო მასალა

2. ორი მზარდი ფუნქციის ჯამი მზარდი ფუნქციაა.

მაგალითი:

3. ორი კლებადი ფუნქციის ჯამი კლებადი ფუნქციაა.

ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი, კლასი 1011 (A.G. Mordkovich)
გაკვეთილის შემუშავება ამოხსნის ფუნქციური გრაფიკული მეთოდის შესახებ
განტოლებები.
გაკვეთილის თემა: განტოლებების ამოხსნის ფუნქციური გრაფიკული მეთოდი.
გაკვეთილის ტიპი: გაკვეთილი უნარებისა და შესაძლებლობების ცოდნის გაუმჯობესების შესახებ.
გაკვეთილის მიზნები:
საგანმანათლებლო: სისტემატიზაცია, განზოგადება, ცოდნისა და უნარების გაფართოება
ფუნქციონალური გრაფიკის მეთოდის გამოყენებასთან დაკავშირებული მოსწავლეები
განტოლებების ამოხსნა. ივარჯიშეთ განტოლებების ფუნქციურად ამოხსნის უნარ-ჩვევებს
გრაფიკული მეთოდი.
განმავითარებელი: მეხსიერების, ლოგიკური აზროვნების, უნარების განვითარება
ანალიზი, შედარება, განზოგადება, დასკვნების დამოუკიდებლად გამოტანა;
კომპეტენტური მათემატიკური მეტყველების განვითარება.
საგანმანათლებლო: შესრულებისას სიზუსტისა და სიზუსტის გამომუშავება
ამოცანები, დამოუკიდებლობა და თვითკონტროლი; კულტურის ფორმირება
სასწავლო სამუშაო; განაგრძეთ კოგნიტური ინტერესის განვითარება
საგანი.
გაკვეთილის სტრუქტურა:
ᲛᲔ.
AZ
1. საორგანიზაციო მომენტი.


4. გაკვეთილის შემდეგი ეტაპის მიზნებისა და ამოცანების დასახვა.
II.
გართობა
1. პრობლემის კოლექტიური გადაჭრა.
2. საშინაო დავალების დადგენა.
3. დამოუკიდებელი მუშაობა.
4. გაკვეთილის შეჯამება.

გაკვეთილების დროს:
I.AZ
1. საორგანიზაციო მომენტი.
2. ზეპირი სამუშაო საშინაო დავალების შესამოწმებლად.
დავიწყოთ გაკვეთილი საშინაო დავალების შემოწმებით.
დაასახელეთ პასუხები ჯაჭვით.
1358.ა)4x=1/16
4x=42
ბ)(1/6)x=36
6x=62
x=2 x=2
1364.a)(1/5)x*3x= √ 27

3
5
¿
3
5
¿
)x=
125 ბ)5x*2x=0.13
)3/2 10x=103
x=3
x=1.5
1366.ა)22x6*2x+8=0
2x=a
a=2, a=4
2x=2, 2x=4
x=1, x=2
1367. ბ)2*4x5*2x+2=0
2x=a
2a25a+2=0
a=2, a=1/2
2x=2, 2x=1/2
x=1, x=1
1371.ა)5x=x+6 y=5x y=x+6
წ
6
5
0
1
x
x=1

კარგად გააკეთე, ყველამ მიიღო ერთი და იგივე პასუხი, გაქვთ შეკითხვები საშინაო დავალების შესახებ
დავალება? ყველამ მოახერხა?
3. ფრონტალური გამოკითხვა AZ-ის მიზნით თემაზე.
რა ჰქვია იმ განტოლებებს, რომლებიც ამოხსენით საშინაო დავალებაში?
საჩვენებელი.
რომელ განტოლებებს ეწოდება ექსპონენციალური?
ექსპონენციალური განტოლებები არის af(x)=ag(x) ფორმის განტოლებები, სადაც a
დადებითი რიცხვი, გარდა 1-ისა და განტოლებები, რომლებიც მცირდება მასზე
გონება.
რა განტოლებაა af(x)=ag(x) განტოლების ტოლფასი?
განტოლება af(x)=ag(x) (სადაც a>0,a ≠1) უდრის განტოლებას f(x)=g(x)
რა ძირითადი მეთოდები გამოიყენე ექსპონენციალური განტოლებების ამოსახსნელად?
1) ინდიკატორების გათანაბრების მეთოდი
2) ახალი ცვლადის შემოღების მეთოდი
3) ფუნქციური გრაფიკული მეთოდი
4. გაკვეთილის შემდეგი ეტაპის მიზნებისა და ამოცანების დასახვა.
დღეს ჩვენ უფრო დეტალურად განვიხილავთ განტოლებების ამოხსნას გამოყენებით
ფუნქციონალურ-გრაფიკული მეთოდი.
გაკვეთილის დასრულებამდე 10 წუთით ადრე დაწერთ მოკლე დამოუკიდებელ ნაშრომს.
II.გართობა
1.პრობლემების კოლექტიური გადაჭრა.
რა არის განტოლებების ამოხსნის ფუნქციური გრაფიკული მეთოდის არსი? Რა
განტოლება ამ გზით უნდა გადავჭრათ?
f(x)=g(x) ფორმის განტოლების ამოხსნა ფუნქციურად
მეთოდი გჭირდებათ:
ააგეთ y=f(x) და y=g(x) ფუნქციების გრაფიკები იმავე კოორდინატულ სისტემაში.
ამ ფუნქციების გრაფიკების გადაკვეთის წერტილის კოორდინატების განსაზღვრა.
დაწერე პასუხი.
№1a)3x=x+4

ფუნქციონალური და გრაფიკული.

წარმოგიდგენთ ფუნქციებს.

y=3x y=x+4
მაგიდა.
როგორ ავაშენოთ განრიგი?
წერტილი-პუნქტით ჩაანაცვლეთ x ფუნქციაში და იპოვეთ y.
წ
4
3

0
1
x

ვიპოვოთ ორი მიღებული გრაფიკის გადაკვეთის წერტილი.
რამდენი გადაკვეთის წერტილი გვაქვს, შეხედეთ სურათს?
Ერთი ქულა.
Რას ნიშნავს? რამდენი ფესვი აქვს ამ განტოლებას?
ერთი ფესვი უდრის 1-ს.
პასუხი: x=1
ბ)3x/2=0.5x+4
რა მეთოდს გამოვიყენებთ განტოლების ამოსახსნელად?
ფუნქციონალური და გრაფიკული.
რა არის პირველი ნაბიჯი განტოლების ამოხსნისას?
წარმოგიდგენთ ფუნქციებს.
რა ფუნქციები შეიძლება მივიღოთ?
y=3x/2 y=0.5x+4
წ
4
3
0
2 x
როგორ ვიპოვოთ განტოლების ფესვი?

პასუხი: x=2
№2 ა)2x+1=x3
რა მეთოდს გამოვიყენებთ განტოლების ამოსახსნელად?
ფუნქციონალური და გრაფიკული.
რა არის პირველი ნაბიჯი განტოლების ამოხსნისას?
წარმოგიდგენთ ფუნქციებს.
რა ფუნქციები შეიძლება მივიღოთ?
y=2x+1 y= x3

8
0
2 x
როგორ ვიპოვოთ განტოლების ფესვი?
ვიპოვოთ ორი მიღებული გრაფიკის გადაკვეთის წერტილი, ფესვი არის 2.
პასუხი: x=2
ბ)2x=(x2/2)+2
რა მეთოდს გამოვიყენებთ განტოლების ამოსახსნელად?
ფუნქციონალური და გრაფიკული.
რა არის პირველი ნაბიჯი განტოლების ამოხსნისას?
წარმოგიდგენთ ფუნქციებს.
რა ფუნქციები შეიძლება მივიღოთ?
y=2x y= (x2/2)+2
თუ მოსწავლეს შეუძლია, მაშინვე შექმენით გრაფიკი, თუ არა, ჯერ გააკეთეთ გრაფიკი.
მაგიდა.
წ

4
0
2 x
როგორ ვიპოვოთ განტოლების ფესვი?
ვიპოვოთ ორი მიღებული გრაფიკის გადაკვეთის წერტილი, ფესვი არის 2.
პასუხი: x=2
2. გახსენით თქვენი დღიურები და ჩაწერეთ საშინაო დავალება.
No. 1372,1370,1371(c,d)
3.დამოუკიდებელი მუშაობა.

ა)3x+26x=0 (ამოხსნა არ არის)
ბ)5x/5+x1=0 (x=0)
ახლა კი ცოტა დამოუკიდებელი მუშაობა. მოდით შევამოწმოთ როგორ ისწავლეთ
მასალა, თქვენ ყველამ გაიგეთ ფუნქციონალური გრაფიკული მეთოდის არსი
განტოლებების ამოხსნა.
No1 ამოხსენით განტოლება ფუნქციური გრაფიკული მეთოდის გამოყენებით:
1 ვარიანტი
ვარიანტი 2
ა)5x/5=x2 (ამოხსნა არ არის)
ბ)3x+23=0 (x=1)
No2 რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას და რა შუალედშია ისინი განლაგებული?
1 ვარიანტი
ა) 3x=x22 (ამოხსნის გარეშე) ა) 3x=x2+2 ((1.5;1) ორი ფესვი)
ბ)3x/2=6x ((3;3.5) ორი ფესვი) ბ)2x+x25=0 (2.5;1.5) ორი ფესვი)
4. გაკვეთილის შეჯამება.
რა გავაკეთეთ დღეს კლასში? რა ტიპის ამოცანები გადაწყდა?
ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნის რა მეთოდს ითვისებ დღეს?
კიდევ ერთხელ გავიმეოროთ რა არის ფუნქციონალურ-გრაფიკული გადაწყვეტის მეთოდის არსი
განტოლებები?
ეტაპობრივად ახსენით, როგორ იხსნება განტოლებები ამ მეთოდით?
გაქვთ შეკითხვები? ყველასთვის გასაგებია ყველაფერი?
გაკვეთილი დასრულდა, შეგიძლიათ იყოთ თავისუფალი.
ვარიანტი 2

გაკვეთილი და პრეზენტაცია თემაზე:

დამატებითი მასალები
ძვირფასო მომხმარებლებო, არ დაგავიწყდეთ დატოვოთ თქვენი კომენტარები, მიმოხილვები, სურვილები! ყველა მასალა შემოწმებულია ანტივირუსული პროგრამით.

სასწავლო საშუალებები და ტრენაჟორები ინტეგრალის ონლაინ მაღაზიაში მე-11 კლასისთვის
ალგებრული ამოცანები პარამეტრებთან, 9–11 კლასები
პროგრამული გარემო "1C: მათემატიკური კონსტრუქტორი 6.1"

ბიჭებო, განტოლებების ამოხსნის კიდევ ერთი მეთოდი უნდა განვიხილოთ - ფუნქციონალურ-გრაფიკული. მეთოდის არსი მარტივია და ჩვენ უკვე გამოვიყენეთ.

მოგვცეს $f(x)=g(x)$-ის ფორმის განტოლება. ჩვენ ვაშენებთ ორ გრაფიკს $y=f(x)$ და $y=g(x)$ იმავე კოორდინატულ სიბრტყეზე და ვნიშნავთ წერტილებს, რომლებზეც ჩვენი გრაფიკები იკვეთება. გადაკვეთის წერტილის აბსციზა (x კოორდინატი) არის ჩვენი განტოლების ამონახსნი.

ვინაიდან მეთოდს ფუნქციონალურ-გრაფიკულს უწოდებენ, ყოველთვის არ არის საჭირო ფუნქციების გრაფიკების აგება. თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფუნქციების თვისებები. მაგალითად, რაღაც მომენტში ხედავთ განტოლების აშკარა ამონახს: თუ ერთი ფუნქცია მკაცრად იზრდება, მეორე კი მკაცრად კლებულობს, მაშინ ეს იქნება განტოლების ერთადერთი ამონახსნი. ფუნქციების ერთფეროვნების თვისებები ხშირად ეხმარება სხვადასხვა განტოლების ამოხსნას.

გავიხსენოთ კიდევ ერთი მეთოდი: თუ X ინტერვალზე $y=f(x)$ რომელიმე ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა, $y=g(x)$ უდრის A-ს და, შესაბამისად, უმცირესი მნიშვნელობა. სხვა ფუნქციაც უდრის A-ს, მაშინ განტოლება $f( x)=g(x)$ არის სისტემის ექვივალენტური: $\begin (შემთხვევები) f(x)=A, \\ g(x)=A . \დასრულება (შემთხვევები)$

მაგალითი.
ამოხსენით განტოლება: $\sqrt(x+1)=|x-1|$.

გამოსავალი.
ავაშენოთ ფუნქციების გრაფიკები იმავე კოორდინატულ სიბრტყეზე: $y=\sqrt(x)+1$ და $y=|x-1|$.

როგორც ნახატიდან ჩანს, ჩვენი გრაფიკები ორ წერტილზე იკვეთება კოორდინატებით: A(0;1) და B(4;3). თავდაპირველი განტოლების გამოსავალი იქნება ამ წერტილების აბსციები.

პასუხი: $x=0$ და $x=4$.

მაგალითი.
ამოხსენით განტოლება: $x^7+3x-134=0$.

გამოსავალი.
გადავიდეთ ეკვივალენტურ განტოლებაზე: $x^7=134-3x$.
თქვენ ხედავთ, რომ $x=2$ არის ამ განტოლების ამონახსნი. დავამტკიცოთ, რომ ეს ერთადერთი ფესვია.
ფუნქცია $y=x^7$ – იზრდება განმარტების მთელ დომენში.
ფუნქცია $y=134-3x$ – მცირდება განსაზღვრების მთელ დომენზე.
მაშინ ამ ფუნქციების გრაფიკები ან საერთოდ არ იკვეთება, ან იკვეთება ერთ წერტილში, ჩვენ უკვე ვიპოვეთ ეს წერტილი $x=2.$.

პასუხი: $x=2$.

მაგალითი.
ამოხსენით განტოლება: $\frac(8)(x)=\sqrt(x)$.

გამოსავალი.
ეს განტოლება შეიძლება ამოხსნას ორი გზით.
1. კიდევ ერთხელ გაითვალისწინეთ, რომ $x=4$ არის განტოლების ფესვი. სეგმენტზე $, სეგმენტები, ინტერვალები და ნახევარინტერვალები.

მაგალითი 1. ამოხსენით განტოლება

(18)

გამოსავალი. ცხადია, x0 არ შეიძლება იყოს (18) განტოლების ამონახსნი, მას შემდეგ . x>0 ფუნქციისთვის უწყვეტი და მკაცრად მზარდი, როგორც ორი უწყვეტი დადებითი მკაცრად მზარდი ფუნქციის ნამრავლი f=x და https://pandia.ru/text/78/500/images/image157_0.gif" width="119" height="34" > იღებს მის თითოეულ მნიშვნელობას ზუსტად ერთ წერტილში. ადვილი მისახვედრია, რომ x=1 არის (18) განტოლების ამონახსნი, შესაბამისად, ეს არის მისი ერთადერთი გამოსავალი.

პასუხი: x=1.

მაგალითი 2. უთანასწორობის ამოხსნა

. (19)

გამოსავალი. თითოეული ფუნქცია, , უწყვეტია და მკაცრად იზრდება მთელ ღერძზე. ეს ნიშნავს, რომ ორიგინალური ფუნქცია იგივეა . ადვილი მისახვედრია, რომ x=0 ფუნქციისთვის იღებს მნიშვნელობას 3. ამ ფუნქციის უწყვეტობის და მკაცრი ერთფეროვნების გამო x>0 გვაქვს , x-ზე<0 имеем . შესაბამისად, უტოლობის ამონახსნები (19) არის x<0.

პასუხი: -∞

მაგალითი 3. ამოხსენით განტოლება

(20)

გამოსავალი. განტოლების (20) დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი არის ინტერვალი. ფუნქციის მოქმედი მნიშვნელობების დიაპაზონზე და არიან უწყვეტი და მკაცრად კლებადი, შესაბამისად ფუნქცია უწყვეტი და კლებადია. ამრიგად, ფუნქცია h(x) იღებს თითოეულ მნიშვნელობას მხოლოდ ერთ წერტილში. ვინაიდან h(2)=2, მაშინ x=2 არის ორიგინალური განტოლების ერთადერთი ფესვი.

პასუხი: x=2.

მაგალითი 4. უთანასწორობის ამოხსნა

ამონახსნი... gif" width="95" height="25 src="> წარმოდგენილია ნახაზ 7-ში. ნახატიდან გამომდინარეობს, რომ ყველა x-ისთვის ODZ უტოლობა (26) მოქმედებს.

დავამტკიცოთ. თითოეული ჩვენგანისთვის და თითოეული ასეთი x-ისთვის გვაქვს ის, რომ https://pandia.ru/text/78/500/images/image211_1.gif" width="63 height=23" height="23"> აქვს . შესაბამისად, უტოლობის ამონახსნები (26) იქნება ყველა x [-1;1] ინტერვალიდან.

მაგალითი 2. ამოხსენით განტოლება

. (27)

გამოსავალი..gif" width="123" height="24"> და წარმოდგენილია სურათზე 8. დავხაზოთ სწორი ხაზი y=2. ნახატიდან გამომდინარეობს, რომ f(x) ფუნქციის გრაფიკი არ არის ამ წრფეზე დაბალი, ხოლო g(x) ფუნქციის გრაფიკი არ არის უფრო მაღალი. უფრო მეტიც, ეს გრაფიკები ეხება სწორ ხაზს y=2 სხვადასხვა წერტილში. აქედან გამომდინარე, განტოლებას არ აქვს ამონახსნები. დავამტკიცოთ. თითოეული ჩვენგანისთვის ა. ამ შემთხვევაში f(x)=2 მხოლოდ x=-1-ისთვის და g(x)=2 მხოლოდ x=0-ისთვის. ეს ნიშნავს, რომ განტოლებას (27) არ აქვს ამონახსნები.

პასუხი: არ არსებობს გამოსავალი.

მაგალითი 3. ამოხსენით განტოლება

. (28)

Solution..gif" width="95" height="25 src="> წარმოდგენილია სურათზე 9. მარტივია იმის შემოწმება, რომ წერტილი (-1; -2) არის f( ფუნქციების გრაფიკების გადაკვეთის წერტილი. x) და g(x), ანუ x = -1 არის (28) განტოლების ამონახსნი. მოდი, დავხატოთ სწორი ხაზი y = x - 1. ნახატიდან გამომდინარეობს, რომ ის მდებარეობს ფუნქციების გრაფიკებს შორის. y = f (x) და y = g (x) რომ განტოლებას (28) არ აქვს სხვა ამონახსნები.

ამისათვის ჩვენ ვამტკიცებთ, რომ x ინტერვალიდან (-1; +∞) უტოლობები და , და x-ისთვის ინტერვალიდან (-∞; -1) უტოლობები https://pandia.ru/text/78/500 /images/image229_1 .gif" width="89" height="21 src=">. ცხადია, უტოლობა მოქმედებს x>-1-ზე, ხოლო უტოლობა https://pandia.ru/text/78/500/ images/image228_1.gif" width="93" height="24">..gif" width="145" height="25"> ამ უტოლობის ამონახსნები არის x<-1. Точно так же показывается, что решениями неравенства являются все х>-1.

შესაბამისად, საჭირო დებულება დადასტურებულია და განტოლებას (28) აქვს ერთი ფესვი x=-1.

პასუხი: x=-1.

მაგალითი 4. უთანასწორობის ამოხსნა

. (29)

Solution..gif" width="39" height="19 src=">, ანუ ODZ შედგება სამი სივრცისგან, https://pandia.ru/text/78/500/images/image234_1.gif" width= "52" height="41">, უდრის უტოლობას

, (30)

ხოლო რეგიონში x>0 უდრის უტოლობას

. (31)

ფუნქციების გრაფიკის ესკიზები და ნაჩვენებია სურათზე 10..gif" width="56" height="45"> და .

მაშასადამე, უტოლობას (31) არ აქვს ამონახსნები, ხოლო უტოლობას (30) ექნება ამონახსნები ყველა x-ის ინტერვალიდან .

დავამტკიცოთ.

ა) მოდით. უტოლობა (29) უდრის უტოლობას (30) ამ ინტერვალზე. ადვილი მისახვედრია, რომ ამ ინტერვალიდან თითოეული x-ისთვის არის ჭეშმარიტი შემდეგი უტოლობა:

,

.

შესაბამისად, უტოლობას (30) და მასთან ერთად თავდაპირველ უტოლობას (29) არ აქვს ამონახსნები ინტერვალზე.

ბ) მოდით. მაშინ უტოლობა (29) ასევე უტოლდება უტოლობას (30). თითოეული x-ისთვის ამ ინტერვალიდან

,

შესაბამისად, ნებისმიერი ასეთი x არის უტოლობის (30) ამოხსნა და, შესაბამისად, თავდაპირველი უტოლობის (29).

გ) მოდით x>0. ამ კომპლექტში თავდაპირველი უტოლობა უდრის უტოლობას (31). ცხადია, ამ სიმრავლის ნებისმიერი x-სთვის მართებულია შემდეგი უტოლობა:

,

ეს გულისხმობს:

1) უთანასწორობას (31) არ აქვს ამონახსნები ნაკრებზე, სადაც , ანუ უტოლობას (31) არ აქვს ამონახსნები ნაკრებზე;

2) უთანასწორობას (31) არ აქვს ამონახსნები ნაკრებში, სადაც https://pandia.ru/text/78/500/images/image253_1.gif" width="60" height="19">. რჩება უტოლობის ამოხსნის პოვნა (31) მიეკუთვნება 1 ინტერვალს