مثلثات دایره مثلثاتی برای مو بور. دایره مثلثاتی

مختصات ایکسنقاطی که روی دایره قرار دارند برابر با cos(θ) و مختصات هستند yمطابق با sin(θ)، که در آن θ، بزرگی زاویه است.

• اگر به خاطر سپردن این قانون برایتان دشوار است، فقط به یاد داشته باشید که در جفت (cos؛ sin) «سینوس آخر می‌آید».
• این قانون را می توان با در نظر گرفتن مثلث های قائم الزاویه و تعریف این توابع مثلثاتی به دست آورد (سینوس یک زاویه برابر است با نسبت طول ضلع مقابل و کسینوس ضلع مجاور به هیپوتانوس).

مختصات چهار نقطه دایره را بنویسید.دایره واحد دایره ای است که شعاع آن برابر با یک است. از این برای تعیین مختصات استفاده کنید ایکسو yدر چهار نقطه تقاطع محورهای مختصات با دایره. در بالا، برای وضوح، ما این نقاط را به عنوان "شرق"، "شمال"، "غرب" و "جنوب" تعیین کردیم، اگرچه نام مشخصی ندارند.

• "شرق" مربوط به نقطه با مختصات است (1; 0) .
• "شمال" با نقطه با مختصات مطابقت دارد (0; 1) .
• "غرب" مربوط به نقطه با مختصات است (-1; 0) .
• "جنوب" با نقطه با مختصات مطابقت دارد (0; -1) .
• این شبیه به یک نمودار معمولی است، بنابراین نیازی به حفظ کردن این مقادیر نیست، فقط اصل اساسی را به خاطر بسپارید.

مختصات نقاط ربع اول را به خاطر بسپارید.ربع اول در قسمت سمت راست بالای دایره، جایی که مختصات قرار دارد ایکسو yارزش های مثبت را در نظر بگیرید اینها تنها مختصاتی هستند که باید به خاطر بسپارید:

خطوط مستقیم بکشید و مختصات نقاط تقاطع آنها را با دایره مشخص کنید.اگر خطوط مستقیم افقی و عمودی را از نقاط یک ربع رسم کنید، دومین نقطه تلاقی این خطوط با دایره دارای مختصات خواهد بود. ایکسو yبا مقادیر مطلق یکسان، اما علائم متفاوت. به عبارت دیگر، می توانید خطوط افقی و عمودی را از نقاط ربع اول رسم کنید و نقاط تقاطع دایره را با همان مختصات برچسب گذاری کنید، اما در همان زمان در سمت چپ برای علامت صحیح فاصله بگذارید ("+" یا "-").

برای تعیین علامت مختصات از قوانین تقارن استفاده کنید.راه های مختلفی برای تعیین محل قرار دادن علامت "-" وجود دارد:

• قوانین اساسی برای نمودارهای معمولی را به خاطر بسپارید. محور ایکسمنفی در سمت چپ و مثبت در سمت راست. محور yمنفی پایین و مثبت بالا;
• از ربع اول شروع کنید و به نقاط دیگر خط بکشید. اگر خط از محور عبور کند y، هماهنگ كردن ایکسعلامت آن را تغییر خواهد داد. اگر خط از محور عبور کند ایکس، علامت مختصات تغییر می کند y;
• به یاد داشته باشید که در ربع اول همه توابع مثبت هستند، در ربع دوم فقط سینوس مثبت است، در ربع سوم فقط مماس مثبت است و در ربع چهارم فقط کسینوس مثبت است.
• از هر روشی که استفاده می کنید، باید در ربع اول (+،+)، در ربع دوم (-،+)، در سوم (-،-) و در چهارم (+،-) را دریافت کنید.

بررسی کنید که آیا اشتباه کرده اید.اگر در امتداد دایره واحد در خلاف جهت عقربه‌های ساعت حرکت کنید، در زیر فهرست کاملی از مختصات نقاط "ویژه" (به جز چهار نقطه در محورهای مختصات) آمده است. به یاد داشته باشید که برای تعیین همه این مقادیر کافی است مختصات نقاط را فقط در ربع اول به خاطر بسپارید:

• ربع اول: ( 3 2 , 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2))، (\frac (1)(2)))); (2 2 , 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2))، (\frac (\sqrt (2)) (2)))); (1 2 , 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))،(\frac (\sqrt (3))(2))));
• ربع دوم: ( − 1 2 , 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2))،(\frac (\sqrt (3))(2)))); (− 2 2 , 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2))، (\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 3 2 , 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2))، (\frac (1)(2))));
• ربع سوم: ( − 3 2 , − 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))); (− 2 2 , − 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 1 2 , − 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2))،-(\frac (\sqrt (3))(2))));
• ربع چهارم: ( 1 2 , − 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))،-(\frac (\sqrt (3))(2)))); (2 2 , − 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2))،-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (3 2 , − 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2))،-(\frac (1)(2)))).

اگر قبلاً با آن آشنا هستید دایره مثلثاتی ، و شما فقط می خواهید حافظه خود را از عناصر خاصی تازه کنید، یا کاملا بی حوصله هستید، در اینجا این است:

در اینجا ما همه چیز را با جزئیات گام به گام تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

دایره مثلثاتی یک امر تجملی نیست، بلکه یک ضرورت است

مثلثات بسیاری از مردم آن را با یک انبوه غیر قابل نفوذ مرتبط می دانند. ناگهان، مقادیر زیادی از توابع مثلثاتی، بسیاری از فرمول‌ها روی هم انباشته می‌شوند... اما مثل این است که در ابتدا درست نشد، و... می‌رویم... سوء تفاهم کامل...

بسیار مهم است که تسلیم نشوید مقادیر توابع مثلثاتی، - آنها می گویند، شما همیشه می توانید با یک جدول از مقادیر به خار نگاه کنید.

اگر مدام به جدولی با مقادیر فرمول های مثلثاتی نگاه می کنید، بیایید این عادت را کنار بگذاریم!

او به ما کمک خواهد کرد! چندین بار با آن کار خواهید کرد و سپس در ذهن شما ظاهر می شود. چگونه از یک میز بهتر است؟ بله، در جدول تعداد محدودی از مقادیر را پیدا خواهید کرد، اما در دایره - همه چیز!

مثلاً در حین نگاه کردن بگویید جدول استاندارد مقادیر فرمول های مثلثاتی ، سینوس برابر با مثلاً 300 درجه یا -45 چقدر است.

راهی نیست؟.. البته می توانید وصل شوید فرمول های کاهش... و با نگاه به دایره مثلثاتی به راحتی می توانید به این گونه سوالات پاسخ دهید. و به زودی خواهید فهمید که چگونه!

و هنگام حل معادلات مثلثاتی و نامساوی بدون دایره مثلثاتی، مطلقاً هیچ جا نیست.

مقدمه ای بر دایره مثلثاتی

به ترتیب بریم

ابتدا بیایید این سری از اعداد را بنویسیم:

و حالا این:

و در نهایت این:

البته واضح است که در واقع در وهله اول است، در رتبه دوم قرار دارد و در رتبه آخر قرار دارد. یعنی بیشتر به زنجیره علاقه مند خواهیم شد.

اما چقدر زیبا شد! اگر اتفاقی بیفتد، ما این "نردبان معجزه" را بازسازی خواهیم کرد.

و چرا به آن نیاز داریم؟

این زنجیره مقادیر اصلی سینوس و کسینوس در سه ماهه اول است.

اجازه دهید یک دایره با شعاع واحد را در یک سیستم مختصات مستطیلی رسم کنیم (یعنی هر شعاع طولی را می گیریم و طول آن را واحد اعلام می کنیم).

از پرتو "0-Start" گوشه ها را در جهت فلش قرار می دهیم (شکل را ببینید).

نقاط مربوطه را روی دایره بدست می آوریم. بنابراین، اگر نقاط را روی هر یک از محورها قرار دهیم، دقیقاً مقادیر زنجیره بالا را به دست خواهیم آورد.

میپرسی چرا اینجوریه؟

همه چیز را تحلیل نکنیم. در نظر بگیریم اصل، که به شما امکان می دهد با موقعیت های مشابه دیگر کنار بیایید.

مثلث AOB مستطیل شکل است و حاوی . و می دانیم که در مقابل زاویه b یک پایه به اندازه نصف هیپوتنوز قرار دارد (هیپوتنوز = شعاع دایره داریم، یعنی 1).

این به معنای AB= (و بنابراین OM=) است. و طبق قضیه فیثاغورث

امیدوارم چیزی از قبل روشن شده باشد؟

بنابراین نقطه B با مقدار و نقطه M مطابق با مقدار خواهد بود

مشابه سایر مقادیر سه ماهه اول.

همانطور که متوجه شدید، محور آشنا (ox) خواهد بود محور کسینوسو محور (oy) – محور سینوس ها . بعد.

در سمت چپ صفر در امتداد محور کسینوس (زیر صفر در امتداد محور سینوسی) البته مقادیر منفی وجود خواهد داشت.

بنابراین، اینجاست، قادر مطلق، که بدون او هیچ جایی در مثلثات وجود ندارد.

اما ما در مورد نحوه استفاده از دایره مثلثاتی صحبت خواهیم کرد.

مثلثات به عنوان یک علم در شرق باستان سرچشمه گرفته است. اولین نسبت های مثلثاتی توسط ستاره شناسان برای ایجاد تقویم و جهت گیری دقیق توسط ستارگان استخراج شد. این محاسبات مربوط به مثلثات کروی است، در حالی که در دوره مدرسه نسبت اضلاع و زوایای یک مثلث مسطح را مطالعه می کنند.

مثلثات شاخه ای از ریاضیات است که به ویژگی های توابع مثلثاتی و روابط بین اضلاع و زوایای مثلث ها می پردازد.

در دوران اوج فرهنگ و علم در هزاره اول پس از میلاد، دانش از شرق باستان به یونان گسترش یافت. اما اکتشافات اصلی مثلثات، شایستگی مردان خلافت عرب است. به ویژه دانشمند ترکمن المرازوی توابعی مانند مماس و کوتانژانت را معرفی کرد و اولین جداول مقادیر سینوس ها، مماس ها و کتانژانت ها را جمع آوری کرد. مفاهیم سینوس و کسینوس توسط دانشمندان هندی معرفی شد. مثلثات در آثار شخصیت های بزرگ دوران باستان مانند اقلیدس، ارشمیدس و اراتوستن مورد توجه بسیاری قرار گرفت.

کمیت های اصلی مثلثات

توابع مثلثاتی اصلی یک آرگومان عددی سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت هستند. هر کدام از آنها نمودار مخصوص به خود را دارند: سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت.

فرمول های محاسبه مقادیر این مقادیر بر اساس قضیه فیثاغورث است. در این فرمول برای دانش آموزان مدرسه بهتر شناخته شده است: "شلوارهای فیثاغورثی در همه جهات برابر هستند" ، زیرا اثبات با استفاده از مثال یک مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین ارائه شده است.

سینوس، کسینوس و سایر وابستگی ها رابطه بین زوایای تند و اضلاع هر مثلث قائم الزاویه را برقرار می کنند. اجازه دهید فرمول هایی برای محاسبه این مقادیر برای زاویه A ارائه دهیم و روابط بین توابع مثلثاتی را ردیابی کنیم:

همانطور که می بینید، tg و ctg توابع معکوس هستند. اگر پایه a را حاصل ضرب گناه A و هیپوتنوز c و پایه b را cos A * c تصور کنیم، فرمول های زیر را برای مماس و کوتانژانت به دست می آوریم:

دایره مثلثاتی

از نظر گرافیکی، رابطه بین مقادیر ذکر شده را می توان به صورت زیر نشان داد:

دایره، در این مورد، تمام مقادیر ممکن زاویه α - از 0 درجه تا 360 درجه را نشان می دهد. همانطور که از شکل مشخص است، هر تابع بسته به زاویه یک مقدار منفی یا مثبت می گیرد. به عنوان مثال، اگر α متعلق به ربع 1 و 2 دایره باشد، یعنی در محدوده 0 تا 180 درجه باشد، sin α علامت «+» خواهد داشت. برای α از 180 درجه تا 360 درجه (ربع III و IV)، sin α فقط می تواند یک مقدار منفی باشد.

بیایید سعی کنیم جداول مثلثاتی برای زوایای خاص بسازیم و معنای کمیت ها را دریابیم.

مقادیر α برابر با 30 درجه، 45 درجه، 60 درجه، 90 درجه، 180 درجه و غیره را موارد خاص می نامند. مقادیر توابع مثلثاتی برای آنها محاسبه و در قالب جداول ویژه ارائه می شود.

این زوایا به طور تصادفی انتخاب نشده اند. نام π در جداول برای رادیان است. راد زاویه ای است که در آن طول کمان دایره با شعاع آن مطابقت دارد. این مقدار به منظور ایجاد یک وابستگی جهانی در هنگام محاسبه بر حسب رادیان معرفی شد، طول واقعی شعاع بر حسب سانتی متر اهمیتی ندارد.

زوایای جداول برای توابع مثلثاتی با مقادیر رادیان مطابقت دارد:

بنابراین، حدس زدن اینکه 2π یک دایره کامل یا 360 درجه است دشوار نیست.

ویژگی های توابع مثلثاتی: سینوس و کسینوس

برای در نظر گرفتن و مقایسه خصوصیات اساسی سینوس و کسینوس، مماس و کوتانژانت، لازم است توابع آنها ترسیم شود. این را می توان به صورت یک منحنی واقع در یک سیستم مختصات دو بعدی انجام داد.

جدول مقایسه ای خواص سینوس و کسینوس را در نظر بگیرید:

موج سینوسی	کسینوس
y = گناه x	y = cos x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sin x = 0، برای x = πk، که در آن k ε Z	cos x = 0، برای x = π/2 + πk، که در آن k ε Z
sin x = 1، برای x = π/2 + 2πk، که در آن k ε Z	cos x = 1، در x = 2πk، که در آن k ε Z
sin x = - 1، در x = 3π/2 + 2πk، که در آن k ε Z	cos x = - 1، برای x = π + 2πk، که در آن k ε Z
sin (-x) = - sin x، یعنی تابع فرد است	cos (-x) = cos x، یعنی تابع زوج است
	تابع تناوبی است، کوچکترین دوره 2π است
sin x › 0، با x متعلق به ربع اول و دوم یا از 0 درجه تا 180 درجه (2πk، π + 2πk)	cos x › 0، با x متعلق به ربع I و IV یا از 270 درجه تا 90 درجه (- π/2 + 2πk، π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0، با x متعلق به ربع سوم و چهارم یا از 180 درجه تا 360 درجه (π + 2πk، 2π + 2πk)	cos x ‹ 0، با x متعلق به ربع دوم و سوم یا از 90 درجه تا 270 درجه (π/2 + 2πk، 3π/2 + 2πk)
در فاصله [- π/2 + 2πk، π/2 + 2πk] افزایش می یابد	در بازه [-π + 2πk، 2πk] افزایش می یابد
در فواصل زمانی [π/2 + 2πk، 3π/2 + 2πk] کاهش می یابد	در فواصل زمانی کاهش می یابد
مشتق (sin x)’ = cos x	مشتق (cos x)’ = - sin x

تعیین زوج بودن یا نبودن یک تابع بسیار ساده است. کافی است یک دایره مثلثاتی با علائم مقادیر مثلثاتی تصور کنید و نمودار را نسبت به محور OX به صورت ذهنی "تا" کنید. اگر علامت ها منطبق باشند، تابع زوج است و در غیر این صورت فرد است.

معرفی رادیان‌ها و فهرست‌بندی ویژگی‌های اساسی امواج سینوسی و کسینوسی به ما امکان می‌دهد الگوی زیر را ارائه دهیم:

تأیید صحت فرمول بسیار آسان است. به عنوان مثال، برای x = π/2، سینوس 1 است، همانطور که کسینوس x = 0 است. بررسی را می توان با مراجعه به جداول یا با ردیابی منحنی های تابع برای مقادیر داده شده انجام داد.

خواص مماس‌ها و کوتانژانت‌ها

نمودار توابع مماس و کتانژانت به طور قابل توجهی با توابع سینوسی و کسینوس متفاوت است. مقادیر tg و ctg متقابل یکدیگر هستند.

1. Y = tan x.
2. مماس به مقادیر y در x = π/2 + πk تمایل دارد، اما هرگز به آنها نمی رسد.
3. کوچکترین دوره مثبت مماس، π است.
4. Tg (- x) = - tg x، یعنی تابع فرد است.
5. Tg x = 0، برای x = πk.
6. عملکرد در حال افزایش است.
7. Tg x › 0، برای x ε (πk، π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0، برای x ε (- π/2 + πk، πk).
9. مشتق (tg x) = 1/cos 2⁡x.

تصویر گرافیکی کوتانژانتوئید زیر را در متن در نظر بگیرید.

خواص اصلی کوتانژانتوئیدها:

1. Y = cotg x.
2. برخلاف توابع سینوس و کسینوس، در مماس Y می تواند مقادیر مجموعه تمام اعداد حقیقی را بگیرد.
3. کوتانژانتوئید به مقادیر y در x = πk تمایل دارد، اما هرگز به آنها نمی رسد.
4. کوچکترین دوره مثبت کوتانژانتوئید π است.
5. Ctg (- x) = - ctg x، یعنی تابع فرد است.
6. Ctg x = 0، برای x = π/2 + πk.
7. عملکرد در حال کاهش است.
8. Ctg x › 0، برای x ε (πk، π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0، برای x ε (π/2 + πk، πk).
10. مشتق (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x درست است

دایره مثلثاتی. دایره واحد. دایره اعداد آن چیست؟

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")

خیلی اوقات اصطلاحات دایره مثلثاتی، دایره واحد، دایره عددیدانش آموزان به خوبی درک نمی کنند. و کاملا بیهوده این مفاهیم یک دستیار قدرتمند و جهانی در تمام زمینه های مثلثات هستند. در واقع، این یک برگه تقلب قانونی است! یک دایره مثلثاتی کشیدم و بلافاصله جواب ها را دیدم! وسوسه انگیز؟ پس بیاموزیم، استفاده نکردن از چنین چیزی گناه است. علاوه بر این، به هیچ وجه دشوار نیست.

برای کار موفقیت آمیز با دایره مثلثاتی، فقط باید سه چیز را بدانید.

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.