Selles materjalis vaatleme, mis on arvu võimsus. Lisaks põhimääratlustele sõnastame, millised on naturaal-, täisarvu-, ratsionaal- ja irratsionaalastendajatega astmed. Nagu alati, illustreeritakse kõiki mõisteid näidisülesannetega.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Esiteks sõnastame astme põhidefinitsiooni naturaalastendajaga. Selleks peame meeles pidama korrutamise põhireegleid. Teeme eelnevalt selgeks, et praegu võtame aluseks reaalarvu (tähistatakse tähega a) ja naturaalarvu indikaatoriks (tähistatakse tähega n).
Definitsioon 1
Arvu a aste naturaalse astendajaga n on n-nda tegurite arvu korrutis, millest igaüks on võrdne arvuga a. Kraad on kirjutatud järgmiselt: a n ja valemi kujul võib selle koostist esitada järgmiselt:
Näiteks kui astendaja on 1 ja alus on a, siis kirjutatakse a esimene aste kui a 1. Arvestades, et a on teguri väärtus ja 1 on tegurite arv, võime järeldada, et a 1 = a.
Üldiselt võime öelda, et kraad on mugav vorm suure hulga võrdsete tegurite kirjutamiseks. Niisiis, vormi rekord 8 8 8 8 saab lühendada kuni 8 4 . Samamoodi aitab toode meil vältida suure hulga terminite kirjutamist (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); Oleme seda juba käsitlenud artiklis, mis on pühendatud naturaalarvude korrutamisele.
Kuidas kraadikandet õigesti lugeda? Üldtunnustatud variant on "a astmeni n". Või võite öelda "a n-nda astme" või "sipelga astme". Kui näiteks näites kohtasime kirjet 8 12 , saame lugeda "8 kuni 12. astmeni", "8 astmeni 12" või "12. astmeni 8".
Arvude teisel ja kolmandal astmel on oma väljakujunenud nimed: ruut ja kuup. Kui näeme teist astet, näiteks arvu 7 (7 2), siis võime öelda “7 ruudus” või “arvu 7 ruut”. Samamoodi loetakse kolmandat kraadi järgmiselt: 5 3 - see on "numbri 5 kuup" või "5 kuubik". Siiski võite kasutada ka standardset sõnastust "teise/kolmanda astmeni"; see ei ole viga.
Näide 1
Vaatame naturaalse astendajaga kraadi näidet: for 5 7 viis on alus ja seitse on astendaja.
Alus ei pea olema täisarv: astme jaoks (4 , 32) 9 alus on murd 4, 32 ja astendaja on üheksa. Pöörake tähelepanu sulgudele: see märge on tehtud kõigi astmete kohta, mille alused erinevad naturaalarvudest.
Näiteks: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.
Milleks on sulud? Need aitavad vältida vigu arvutustes. Oletame, et meil on kaks kirjet: (− 2) 3 Ja − 2 3 . Esimene neist tähendab negatiivset arvu miinus kaks, mis on tõstetud astmeni, mille naturaalne astendaja on kolm; teine on arv, mis vastab astme vastupidisele väärtusele 2 3 .
Mõnikord võite raamatutes leida numbri võimsuse veidi teistsuguse kirjapildi - a^n(kus a on alus ja n on astendaja). See tähendab, et 4^9 on sama, mis 4 9 . Kui n on mitmekohaline arv, pannakse see sulgudesse. Näiteks 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Kuid me kasutame tähistust a n kui tavalisem.
Naturaalse astendajaga astendaja väärtust selle definitsiooni järgi on lihtne ära arvata: peate lihtsalt n-ndat korda korrutama. Kirjutasime sellest lähemalt teises artiklis.
Kraadi mõiste on teise matemaatilise mõiste pöördväärtus – arvu juur. Kui teame astme ja astendaja väärtust, saame arvutada selle baasi. Kraadil on mõned spetsiifilised omadused, mis on kasulikud probleemide lahendamiseks, mida käsitlesime eraldi materjalis.
Eksponentid võivad hõlmata mitte ainult naturaalarve, vaid ka kõiki täisarvulisi väärtusi üldiselt, sealhulgas negatiivseid ja nulle, kuna need kuuluvad ka täisarvude hulka.
2. definitsioon
Positiivse täisarvu eksponendiga arvu astme saab esitada valemina: 
.
Sel juhul on n mis tahes positiivne täisarv.
Mõistame nullkraadi mõistet. Selleks kasutame lähenemist, mis võtab arvesse võrdsete alustega astmete jagatisomadust. See on sõnastatud järgmiselt:
3. definitsioon
Võrdsus a m: a n = a m − n on tõene järgmistel tingimustel: m ja n on naturaalarvud, m< n , a ≠ 0 .
Viimane tingimus on oluline, kuna see väldib nulliga jagamist. Kui m ja n väärtused on võrdsed, saame järgmise tulemuse: a n: a n = a n − n = a 0
Kuid samal ajal a n: a n = 1 on võrdsete arvude jagatis a n ja a. Selgub, et mis tahes nullist erineva arvu nullvõimsus võrdub ühega.
Kuid selline tõestus ei kehti nulli nulli astme kohta. Selleks vajame veel ühte võimsuste omadust – võrdsete alustega võimsuste korrutiste omadust. See näeb välja selline: a m · a n = a m + n .
Kui n on 0, siis a m · a 0 = a m(see võrdsus tõestab ka meile seda a 0 = 1). Aga kui ja on samuti võrdne nulliga, saab meie võrdsus kuju 0 m · 0 0 = 0 m, See kehtib iga n-i loomuliku väärtuse kohta ja see ei oma tähtsust, millega astme väärtus täpselt võrdub 0 0 , see tähendab, et see võib olla võrdne mis tahes arvuga ja see ei mõjuta võrdsuse täpsust. Seetõttu vormi märge 0 0 ei oma oma erilist tähendust ja me ei omista seda sellele.
Soovi korral on seda lihtne kontrollida a 0 = 1 koondub kraadiomadusega (a m) n = a m n eeldusel, et kraadi alus ei ole null. Seega on iga nullist erineva arvu aste, mille astendaja on null, üks.
Näide 2
Vaatame näidet konkreetsete numbritega: Niisiis, 5 0 - üksus, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 ja väärtus 0 0 määratlemata.
Pärast nullkraadi peame lihtsalt välja mõtlema, mis on negatiivne kraad. Selleks vajame võrdsete alustega astmete korrutise sama omadust, mida me juba eespool kasutasime: a m · a n = a m + n.
Toome sisse tingimuse: m = − n, siis a ei tohiks olla võrdne nulliga. Sellest järeldub a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. Selgub, et a n ja a−n meil on vastastikku vastastikused arvud.
Selle tulemusena ei ole a negatiivse terviku võimsus midagi muud kui murd 1 a n.
See sõnastus kinnitab, et täisarvulise negatiivse eksponendiga astme puhul kehtivad kõik samad omadused, mis loomuliku astendajaga astmel (eeldusel, et alus ei võrdu nulliga).
Näide 3
Negatiivse täisarvu astendaja n võimsust a saab esitada murdena 1 a n . Seega a - n = 1 a n subjektiks a ≠ 0 ja n on mis tahes naturaalarv.
Illustreerime oma ideed konkreetsete näidetega:
Näide 4
3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1
Lõigu viimases osas püüame kõike öeldut selgelt ühes valemis kujutada:
4. määratlus
Naturaalse astendajaga z arvu aste on: a z = a z, e l ja z - positiivne täisarv 1, z = 0 ja a ≠ 0, (z = 0 ja a = 0 korral on tulemus 0 0, avaldise 0 0 väärtused ei ole defineeritud) 1 a z, kui ja z on negatiivne täisarv ja a ≠ 0 (kui z on negatiivne täisarv ja a = 0 saad 0 z, egoz on väärtus määramata)
Mis on ratsionaalse astendajaga astmed?
Uurisime juhtumeid, kui astendaja sisaldab täisarvu. Siiski saate arvu tõsta astmeks isegi siis, kui selle astendaja sisaldab murdarvu. Seda nimetatakse ratsionaalse astendajaga astmeks. Selles jaotises tõestame, et sellel on samad omadused kui teistel jõududel.
Mis on ratsionaalsed arvud? Nende hulka kuuluvad nii täis- kui ka murdarvud ning murdarvud saab esitada tavaliste murdudena (nii positiivsete kui ka negatiivsete). Sõnastame arvu a astme definitsiooni murdeksponentiga m / n, kus n on naturaalarv ja m on täisarv.
Meil on mingi aste murdeksponentiga a m n . Selleks, et võimsuse võimsus kehtiks, peab võrdus a m n n = a m n · n = a m olema tõene.
Arvestades n-nda juure määratlust ja seda, et a m n n = a m, võime aktsepteerida tingimust a m n = a m n, kui a m n on m, n ja a väärtuste jaoks mõistlik.
Täisarvulise astendajaga astme ülaltoodud omadused on tõesed tingimusel a m n = a m n .
Meie arutluskäigu põhijäreldus on järgmine: teatud arvu a aste murdeksponentiga m / n on arvu a astme m n-s juur. See on tõsi, kui antud väärtuste m, n ja a puhul jääb avaldis a m n tähenduslikuks.
1. Saame piirata astme aluse väärtust: võtame a, mis m positiivsete väärtuste korral on suurem või võrdne 0-ga ja negatiivsete väärtuste korral - rangelt väiksem (kuna m ≤ 0 saame 0 m, kuid sellist kraadi pole määratletud). Sel juhul näeb murdosa eksponendiga kraadi määratlus välja järgmine:
Positiivse arvu a korral murdosalise astendajaga m/n aste on astmeni m tõstetud a n-s juur. Seda saab väljendada valemiga:
Nullbaasiga astme jaoks sobib ka see säte, kuid ainult siis, kui selle eksponent on positiivne arv.
Baasnulliga ja murdosalise positiivse eksponendiga võimsust m/n saab väljendada järgmiselt
0 m n = 0 m n = 0 eeldusel, et m on positiivne täisarv ja n on naturaalarv.
Negatiivse suhte m n korral< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.
Märgime ühte punkti. Kuna kehtestasime tingimuse, et a on nullist suurem või sellega võrdne, jätsime mõned juhtumid kõrvale.
Avaldis a m n on mõnikord endiselt mõttekas mõne a ja mõne m negatiivse väärtuse puhul. Seega on õiged kirjed (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, milles alus on negatiivne.
2. Teine lähenemine on vaadelda eraldi paaris ja paaritu astendajatega juur a m n. Siis peame sisse viima veel ühe tingimuse: astet a, mille eksponendis on taandatav harilik murd, loetakse astmeks a, mille eksponendis on vastav taandamatu murd. Hiljem selgitame, miks me seda tingimust vajame ja miks see nii oluline on. Seega, kui meil on tähis a m · k n · k, siis saame selle taandada a m n-ks ja arvutusi lihtsustada.
Kui n on paaritu arv ja m väärtus on positiivne ja a on mis tahes mittenegatiivne arv, siis on m n mõtet. Tingimus, et a ei oleks negatiivne, on vajalik, kuna paarisastme juurt ei saa negatiivsest arvust eraldada. Kui m väärtus on positiivne, võib a olla nii negatiivne kui ka null, sest Paaritu juure võib võtta mis tahes reaalarvust.
Kombineerime kõik ülaltoodud määratlused ühte kirjesse:
Siin m/n tähendab taandamatut murdu, m on mis tahes täisarv ja n on mis tahes naturaalarv.
Definitsioon 5
Iga tavalise taandatava murru m · k n · k korral võib astme asendada a m n .
Arvu a võimsust taandamatu murdeksponentiga m / n saab väljendada kui m n järgmistel juhtudel: - mis tahes reaalse a korral on positiivne täisarv m ja paaritu naturaalväärtus n. Näide: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.
Mis tahes nullist erineva tegeliku a korral on m negatiivsed täisarvud ja n paaritu väärtused, näiteks 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 27
Mis tahes mittenegatiivse a korral on positiivne täisarv m ja isegi n, näiteks 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.
Mis tahes positiivse a, negatiivse täisarvu m ja isegi n korral, näiteks 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .
Muude väärtuste puhul murdeksponentiga kraadi ei määrata. Selliste kraadide näited: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.
Nüüd selgitame ülalkirjeldatud tingimuse tähtsust: miks asendada taandatava astendajaga murd taandamatu astendajaga murruga. Kui me poleks seda teinud, oleks meil olnud järgmised olukorrad, näiteks 6/10 = 3/5. Siis peaks see olema tõene (- 1) 6 10 = - 1 3 5, kuid - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 ja (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .
Esimesena esitatud murdeksponentiga kraadi määratlus on praktikas mugavam kasutada kui teist, seega jätkame selle kasutamist.
Definitsioon 6
Seega on positiivse arvu a astmeks murdeksponent m/n defineeritud kui 0 m n = 0 m n = 0. Negatiivse korral a tähistus a m n pole mõtet. Positiivsete murdosaastendajate nulli võimsus m/n on defineeritud kui 0 m n = 0 m n = 0, negatiivsete murdeksponentide puhul ei määratle me nulli astet.
Järeldustes märgime, et saate kirjutada mis tahes murdarvu näitaja nii segaarvuna kui ka kümnendmurruna: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.
Arvutamisel on parem asendada astendaja hariliku murruga ja seejärel kasutada astendaja definitsiooni murdosa astendajaga. Ülaltoodud näidete jaoks saame:
5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7
Mis on irratsionaalsete ja reaalsete eksponentide võimsused?
Mis on reaalarvud? Nende hulk sisaldab nii ratsionaalseid kui ka irratsionaalseid arve. Seetõttu, et mõista, mis on reaalse astendajaga aste, peame defineerima astmed ratsionaalse ja irratsionaalse astendajaga. Ratsionaalseid oleme juba eespool maininud. Käsitleme samm-sammult irratsionaalseid näitajaid.
Näide 5
Oletame, et meil on irratsionaalne arv a ja selle kümnendlähenduste jada a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Näiteks võtame väärtuse a = 1,67175331. . . , Siis
a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753, . . .
Lähenduste jadasid saame seostada kraadide jadaga a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Kui meenutada, mida me varem rääkisime arvude tõstmisest ratsionaalsete võimsusteni, siis saame nende võimsuste väärtused ise välja arvutada.
Võtame näiteks a = 3, siis a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . jne.
Astmete jada saab taandada arvuks, milleks saab astme väärtus alusega a ja irratsionaalse astendajaga a. Tulemuseks: aste, mille irratsionaalne astendaja on kujul 3 1, 67175331. . saab vähendada numbrini 6, 27.
Definitsioon 7
Positiivse arvu a võimsus irratsionaalse astendajaga a kirjutatakse a a . Selle väärtus on jada piir a a 0, a a 1, a a 2,. . . , kus a 0 , a 1 , a 2 , . . . on irratsionaalarvu a järjestikused kümnendarvud. Nullbaasiga kraadi saab määratleda ka positiivsete irratsionaalsete eksponentide jaoks, 0 a = 0 Niisiis, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Kuid seda ei saa teha negatiivsete puhul, kuna näiteks väärtus 0 - 5, 0 - 2 π pole määratletud. Mis tahes irratsionaalse astmeni tõstetud ühik jääb näiteks ühikuks ja 1 2, 1 5 in 2 ja 1 - 5 võrdub 1-ga.
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
Selles artiklis selgitame välja, mis see on kraad. Siin anname arvude astme definitsioonid, samas käsitleme üksikasjalikult kõiki võimalikke eksponente, alustades loomulikust astendajast ja lõpetades irratsionaalsega. Materjalist leiate palju näiteid kraadide kohta, mis hõlmavad kõiki esilekerkivaid peensusi.
Leheküljel navigeerimine.
Naturaalastendajaga aste, arvu ruut, arvu kuup
Alustame . Tulevikku vaadates oletame, et arvu a astme definitsioon naturaalse astendajaga n on antud a jaoks, mida me nimetame kraadi alus, ja n, mida me nimetame eksponent. Samuti märgime, et naturaalse astendajaga aste määratakse korrutise kaudu, nii et alloleva materjali mõistmiseks peab teil olema arusaam arvude korrutamisest.
Definitsioon.
Arvu aste naturaalastendajaga n on avaldis kujul a n, mille väärtus on võrdne n teguri korrutisega, millest igaüks on võrdne a-ga, see tähendab .
Eelkõige on arvu a astmeks astendaja 1 arv a ise, see tähendab, et a 1 =a.
Tasub kohe mainida kraadide lugemise reegleid. Universaalne viis tähiste a n lugemiseks on: “a n astmeni”. Mõnel juhul on vastuvõetavad ka järgmised valikud: „a n-nda astmeni” ja „a n-nda astmeni”. Näiteks võtame astme 8 12, see on "kaheksa kaheteistkümne astmeni" või "kaheksa kuni kaheteistkümnendik aste" või "kaheksateistkümnes aste".
Arvu teisel astmel ja ka arvu kolmandal astmel on oma nimed. Arvu teist astet nimetatakse ruudus number Näiteks 7 2 loetakse "seitsme ruuduna" või "arvu seitsme ruuduna". Arvu kolmandat astet nimetatakse kuubikujulised numbrid, näiteks 5 3 võib lugeda kui "viie kuubikut" või öelda "numbri 5 kuup".
On aeg tuua naturaalastendajatega kraadide näited. Alustame astmest 5 7, siin on 5 astme alus ja 7 on astendaja. Toome veel ühe näite: 4.32 on alus ja naturaalarv 9 on eksponent (4.32) 9 .
Pange tähele, et viimases näites on astme 4.32 alus kirjutatud sulgudesse: lahknevuste vältimiseks paneme sulgudesse kõik astme alused, mis erinevad naturaalarvudest. Näitena anname järgmised astmed naturaalastendajatega 
, nende alused ei ole naturaalarvud, seega kirjutatakse need sulgudesse. Noh, täieliku selguse huvides näitame siinkohal erinevust, mis sisalduvad vormide (−2) 3 ja −2 3 kirjetes. Avaldis (−2) 3 on astme −2 aste, mille naturaalne astendaja on 3 ja avaldis −2 3 (selle võib kirjutada kui −(2 3) ) vastab arvule, astme väärtusele 2 3 .
Pange tähele, et on olemas arvu a astme märge, mille astendaja n on kujul a^n. Veelgi enam, kui n on mitme väärtusega naturaalarv, võetakse eksponent sulgudes. Näiteks 4^9 on teine tähis 4 9 astme kohta. Ja siin on veel mõned näited kraadide kirjutamisest sümboliga “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Edaspidi kasutame eeskätt vormi a n kraaditähistust.
Üks loomuliku astendajaga astmele tõstmise vastupidine probleem on astme aluse leidmine teadaoleva astme väärtuse ja teadaoleva astendaja põhjal. See ülesanne viib .
On teada, et ratsionaalarvude hulk koosneb täisarvudest ja murdudest ning iga murdosa saab esitada positiivse või negatiivse hariliku murdena. Eelmises lõigus defineerisime astme täisarvulise astendajaga, seetõttu peame ratsionaalse astendajaga astme definitsiooni täiendamiseks andma tähenduse arvu a astmele murdosalise astendajaga m/n, kus m on täisarv ja n on naturaalarv. Teeme seda.
Vaatleme vormi murdosa astendajaga kraadi. Et võimu-võimu omadus jääks kehtima, peab kehtima võrdsus 
. Kui võtta arvesse saadud võrdsust ja seda, kuidas me määrasime , siis on loogiline sellega nõustuda eeldusel, et antud m, n ja a puhul on avaldis mõttekas.
Lihtne on kontrollida, et kõik täisarvulise astendajaga astme omadused kehtivad (seda tehti ratsionaalse astendajaga astme omaduste osas).
Ülaltoodud arutluskäik võimaldab meil teha järgmist järeldus: kui antud m, n ja a avaldis on mõttekas, siis a astmet murdeksponentiga m/n nimetatakse a astme m n-ndaks juureks.
See väide viib meid murdosalise astendajaga astme määratluse lähedale. Jääb üle vaid kirjeldada, milles m, n ja a avaldis on mõttekas. Olenevalt m, n ja a seatud piirangutest on kaks peamist lähenemist.
Lihtsaim viis on kehtestada a-le piirang, võttes positiivse m puhul a≥0 ja negatiivse m puhul a>0 (kuna m≤0 korral ei ole m 0-astet määratletud). Siis saame järgmise murdosaastendajaga astme definitsiooni.
Definitsioon.
Positiivse arvu a võimsus murdeksponentiga m/n, kus m on täisarv ja n on naturaalarv, nimetatakse arvu a n-ndaks juureks astmele m, see tähendab .
Nulli murdosa määratakse ka ainsa hoiatusega, et indikaator peab olema positiivne.
Definitsioon.
Nulli võimsus murdosalise positiivse eksponendiga m/n, kus m on positiivne täisarv ja n on naturaalarv, on defineeritud kui 
.
Kui astet ei määrata, see tähendab, et arvu nulli aste koos murdosalise negatiivse eksponendiga ei ole mõttekas.
Tuleb märkida, et selle murdeksponentiga astme määratluse puhul on üks hoiatus: mõne negatiivse a ning mõne m ja n puhul on avaldis mõttekas ning me jätsime need juhud kõrvale, lisades tingimuse a≥0. Näiteks on sissekanded mõttekad 
või , ja ülaltoodud definitsioon sunnib meid ütlema, et astmed vormi murdosalise astendajaga 
pole mõtet, kuna alus ei tohiks olla negatiivne.
Teine lähenemine astme määramiseks murdosa astendajaga m/n on juure paaris- ja paaritu eksponentide eraldi käsitlemine. See lähenemine nõuab lisatingimust: arvu a astmeks, mille eksponendiks on , loetakse arvu a astmeks, mille eksponendiks on vastav taandamatu murd (selle tingimuse tähtsust selgitame allpool ). See tähendab, et kui m/n on taandamatu murd, siis mis tahes naturaalarvu k korral asendatakse aste esmalt arvuga .
Paaris n ja positiivse m korral on avaldis mõttekas mis tahes mittenegatiivse a korral (negatiivse arvu paarisjuurel pole mõtet); negatiivse m korral peab arv a siiski nullist erinema (muidu toimub jagamine nulliga). Ja paaritu n ja positiivse m korral võib arv a olla mis tahes (paaritu astme juur on defineeritud mis tahes reaalarvu jaoks) ja negatiivse m korral peab arv a nullist erinema (et ei oleks jagamist null).
Ülaltoodud arutluskäik juhatab meid selle murdosaastendajaga kraadi määratluse juurde.
Definitsioon.
Olgu m/n taandamatu murd, m täisarv ja n naturaalarv. Iga taandatava murru puhul asendatakse aste väärtusega . Taandamatu murdeksponentiga arvu võimsus m/n on jaoks
Selgitame, miks taandatava murdeksponendiga aste asendatakse esmalt taandamatu astendajaga astmega. Kui me lihtsalt defineeriksime astme kui , ja ei teeks reservatsiooni murru m/n taandatamatuse suhtes, siis seisaksime silmitsi järgmiste olukordadega: kuna 6/10 = 3/5, siis peab võrdus kehtima. 
, Aga 
, A.
Astmete tabel 2 (kaks) 0 kuni 32
Allolevas tabelis on lisaks kahe astmele näidatud maksimaalsed arvud, mida arvuti saab teatud arvu bittide jaoks salvestada. Pealegi nii täisarvude kui ka märgiga arvude puhul.
Ajalooliselt kasutasid arvutid kahendarvusüsteemi ja vastavalt andmete salvestamist. Seega saab mis tahes arvu esitada nullide ja ühtede (teabebittide) jadana. Arvude esitamiseks kahendjadana on mitu võimalust.
Vaatleme neist kõige lihtsamat - see on positiivne täisarv. Siis mida suurema arvu peame kirjutama, seda pikemat bitijada vajame.
Allpool on numbri 2 võimsuste tabel. See annab meile esituse vajaliku arvu bittide kohta, mida vajame numbrite salvestamiseks.
Kuidas kasutada numbri kahe võimsuste tabel?
Esimene veerg on kahe võimsus, mis tähistab samaaegselt arvu esindavate bittide arvu.
Teine veerg – väärtus kahed sobivale astmele (n).
Näide 2 astme leidmiseks. Esimesest veerust leiame numbri 7. Vaatame mööda joont paremale ja leiame väärtuse kahest seitsmenda astmeni(2 7) on 128
Kolmas veerg - maksimaalne arv, mida saab esitada antud arvu bittide abil(esimeses veerus).
Näide maksimaalse märgita täisarvu määramisest. Kasutades eelmise näite andmeid, teame, et 2 7 = 128. See on tõsi, kui tahame aru saada, millest numbrite hulk, saab esitada seitsme biti abil. Aga, kuna esimene number on null, siis maksimaalne arv, mida saab seitsme biti abil esitada, on 128 - 1 = 127. See on kolmanda veeru väärtus.
| Kahe võimsus (n) | Kahe väärtuse võimsus 2n | Maksimaalne märgita arv kirjutatud n bitiga |
Maksimaalne allkirjastatud arv kirjutatud n bitiga |
| 0 | 1 | - | - |
| 1 | 2 | 1 | - |
| 2 | 4 | 3 | 1 |
| 3 | 8 | 7 | 3 |
| 4 | 16 | 15 | 7 |
| 5 | 32 | 31 | 15 |
| 6 | 64 | 63 | 31 |
| 7 | 128 | 127 | 63 |
| 8 | 256 | 255 | 127 |
| 9 | 512 | 511 | 255 |
| 10 | 1 024 | 1 023 | 511 |
| 11 | 2 048 | 2 047 | 1023 |
| 12 | 40 96 | 4 095 | 2047 |
| 13 | 8 192 | 8 191 | 4095 |
| 14 | 16 384 | 16 383 | 8191 |
| 15 | 32 768 | 32 767 | 16383 |
| 16 | 65 536 | 65 535 | 32767 |
| 17 | 131 072 | 131 071 | 65 535 |
| 18 | 262 144 | 262 143 | 131 071 |
| 19 | 524 288 | 524 287 | 262 143 |
| 20 | 1 048 576 | 1 048 575 | 524 287 |
| 21 | 2 097 152 | 2 097 151 | 1 048 575 |
| 22 | 4 194 304 | 4 194 303 | 2 097 151 |
| 23 | 8 388 608 | 8 388 607 | 4 194 303 |
| 24 | 16 777 216 | 16 777 215 | 8 388 607 |
| 25 | 33 554 432 | 33 554 431 | 16 777 215 |
| 26 | 67 108 864 | 67 108 863 | 33 554 431 |
| 27 | 134 217 728 | 134 217 727 | 67 108 863 |
| 28 | 268 435 456 | 268 435 455 | 134 217 727 |
| 29 | 536 870 912 | 536 870 911 | 268 435 455 |
| 30 | 1 073 741 824 | 1 073 741 823 | 536 870 911 |
| 31 | 2 147 483 648 | 2 147 483 647 | 1 073 741 823 |
| 32 | 4 294 967 296 | 4 294 967 295 | 2 147 483 647 |
Saime aru, mis on tegelikult arvu aste. Nüüd peame mõistma, kuidas seda õigesti arvutada, st. tõsta numbreid astmetesse. Selles materjalis analüüsime kraadide arvutamise põhireegleid täisarvude, naturaalsete, murdosaliste, ratsionaalsete ja irratsionaalsete eksponentide korral. Kõiki definitsioone illustreeritakse näidetega.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Astendamise mõiste
Alustame põhimääratluste sõnastamisega.
Definitsioon 1
Astendamine- see on teatud arvu võimsuse väärtuse arvutamine.
See tähendab, et sõnad "võimu väärtuse arvutamine" ja "võimule tõstmine" tähendavad sama asja. Seega, kui ülesanne ütleb: "Tõstke arv 0, 5 viienda astmeni", tuleks seda mõista kui "arvutada võimsuse (0, 5) väärtus 5.
Nüüd tutvustame põhireegleid, mida tuleb selliste arvutuste tegemisel järgida.
Meenutagem, mis on naturaalastendajaga arvu aste. Aluse a ja astendajaga n astme korral on see n-nda tegurite arvu korrutis, millest igaüks on võrdne a-ga. Selle saab kirjutada nii:
Kraadi väärtuse arvutamiseks peate tegema korrutamistoimingu, st korrutama astme alused määratud arv kordi. Loodusliku astendajaga kraadi kontseptsioon põhineb võimel kiiresti korrutada. Toome näiteid.
Näide 1
Seisukord: tõstke - 2 võimsusele 4.
Lahendus
Kasutades ülaltoodud definitsiooni, kirjutame: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . Järgmiseks peame lihtsalt järgima neid samme ja saama 16.
Võtame keerulisema näite.
Näide 2
Arvutage väärtus 3 2 7 2
Lahendus
Selle kirje saab ümber kirjutada kujul 3 2 7 · 3 2 7 . Eelnevalt vaatasime, kuidas tingimuses mainitud seganumbreid õigesti korrutada.
Teeme järgmised sammud ja saame vastuse: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49
Kui probleem viitab vajadusele tõsta irratsionaalarvud loomuliku astmeni, peame esmalt ümardama nende alused numbrini, mis võimaldab meil saada nõutava täpsusega vastuse. Vaatame näidet.
Näide 3
Sooritage π ruut.
Lahendus
Esiteks ümardame selle sajandikuteks. Siis π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Kui π ≈ 3. 14159, siis saame täpsema tulemuse: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.
Pange tähele, et irratsionaalarvude astmete arvutamise vajadus tekib praktikas suhteliselt harva. Seejärel võime vastuse kirjutada astmena (ln 6) 3 või võimalusel teisendada: 5 7 = 125 5 .
Eraldi tuleks näidata, mis on arvu esimene aste. Siin saate lihtsalt meeles pidada, et iga esimese astmeni tõstetud arv jääb iseendaks:
See selgub salvestusest 
.
See ei sõltu kraadist.
Näide 4
Seega, (− 9) 1 = − 9 ja 7 3 tõstetakse esimese astmeni, jääb võrdseks 7 3-ga.
Mugavuse huvides uurime eraldi kolme juhtumit: kas eksponendiks on positiivne täisarv, kui see on null ja kui see on negatiivne täisarv.
Esimesel juhul on see sama, mis loomulikule astmele tõstmine: kuuluvad ju positiivsed täisarvud naturaalarvude hulka. Sellest, kuidas selliste kraadidega töötada, oleme juba eespool rääkinud.
Nüüd vaatame, kuidas õigesti nullvõimsusele tõsta. Nullist erineva baasi korral väljastab see arvutus alati 1. Eelnevalt selgitasime, et a 0-nda astme saab määratleda mis tahes reaalarvu jaoks, mis ei ole 0, ja a 0 = 1.
Näide 5
5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1
0 0 - pole määratletud.
Meile jääb alles vaid negatiivse täisarvulise astendajaga kraadi juhtum. Oleme juba arutanud, et selliseid astmeid saab kirjutada murdosana 1 a z, kus a on suvaline arv ja z on negatiivne täisarv. Näeme, et selle murdosa nimetaja pole midagi muud kui tavaline aste positiivse täisarvu astendajaga ja oleme juba õppinud seda arvutama. Toome näiteid ülesannetest.
Näide 6
Tõstke 3 astmeni - 2.
Lahendus
Kasutades ülaltoodud definitsiooni, kirjutame: 2 - 3 = 1 2 3
Arvutame selle murdosa nimetaja ja saame 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8.
Siis on vastus: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8
Näide 7
Tõsta 1,43 astmeni -2.
Lahendus
Sõnastame ümber: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2
Arvutame nimetaja ruudu: 1,43·1,43. Kümnendkohti saab korrutada järgmiselt: 
Selle tulemusena saime (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449. Peame lihtsalt selle tulemuse kirjutama tavalise murru kujul, mille jaoks peame selle korrutama 10 tuhandega (vt murdude teisendamise materjali).
Vastus: (1, 43) - 2 = 10000 20449
Erijuhtum on arvu tõstmine miinus esimese astmeni. Selle astme väärtus on võrdne aluse algväärtuse pöördarvuga: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.
Näide 8
Näide: 3–1 = 1/3
9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .
Kuidas tõsta arvu murdarvuni
Sellise toimingu sooritamiseks peame meeles pidama murdosaastendajaga astme põhimääratlust: a m n = a m n iga positiivse a, täisarvu m ja loomuliku n korral.
2. definitsioon
Seega tuleb murdarvu arvutamine läbi viia kahes etapis: tõsta täisarvuni ja leida n-nda astme juur.
Meil on võrdus a m n = a m n , mida juurte omadusi arvestades kasutatakse tavaliselt ülesannete lahendamisel kujul a m n = a n m . See tähendab, et kui tõstame arvu a murdarvuni m / n, siis kõigepealt võtame a n-nda juure, seejärel tõstame tulemuse astmeks täisarvulise astendajaga m.
Illustreerime näitega.
Näide 9
Arvutage 8 - 2 3 .
Lahendus
1. meetod: põhimääratluse kohaselt võime seda esitada järgmiselt: 8 - 2 3 = 8 - 2 3
Nüüd arvutame juure all oleva kraadi ja eraldame tulemusest kolmanda juure: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4
2. meetod. Teisendage põhivõrdsus: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2
Pärast seda eraldame juure 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 ja ruudustame tulemuse: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4
Näeme, et lahendused on identsed. Saate seda kasutada mis tahes viisil.
On juhtumeid, kus kraadil on näitaja, mis on väljendatud segaarvu või kümnendmurruna. Arvutuste lihtsustamiseks on parem asendada see tavalise murdosaga ja arvutada ülaltoodud viisil.
Näide 10
Tõstke 44, 89 astmeni 2, 5.
Lahendus
Teisendame indikaatori väärtuse tavaliseks murruks - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.
Nüüd teeme kõik ülaltoodud toimingud järjekorras: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1310701 =1030701 501, 25107
Vastus: 13 501, 25107.
Kui murdosa astendaja lugeja ja nimetaja sisaldavad suuri numbreid, siis on selliste eksponentide arvutamine ratsionaalsete astendajatega üsna keeruline töö. Tavaliselt nõuab see arvutitehnoloogiat.
Eraldi peatume nullaluse ja murdosaastendajaga astmetel. Avaldisele kujul 0 m n võib anda järgmise tähenduse: kui m n > 0, siis 0 m n = 0 m n = 0; kui m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .
Kuidas tõsta arv irratsionaalse astmeni
Vajadust arvutada astme väärtus, mille eksponendiks on irratsionaalarv, ei teki nii sageli. Praktikas piirdub ülesanne tavaliselt ligikaudse väärtuse arvutamisega (kuni teatud arvu kümnendkohtadeni). Tavaliselt arvutatakse see selliste arvutuste keerukuse tõttu arvutis, nii et me ei peatu sellel üksikasjalikult, vaid toome välja ainult peamised sätted.
Kui on vaja arvutada astme a väärtus irratsionaalse astendajaga a, siis võtame astendaja kümnendlähenduse ja arvestame sellest. Tulemuseks on ligikaudne vastus. Mida täpsem on kümnendarvutus, seda täpsem on vastus. Näitame näitega:
Näide 11
Arvutage ligikaudne väärtus 21, 174367....
Lahendus
Piirdume kümnendlähendusega a n = 1, 17. Teeme arvutused selle arvu abil: 2 1, 17 ≈ 2, 250116. Kui võtame näiteks lähenduse a n = 1, 1743, siis on vastus veidi täpsem: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833.
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
Kalkulaator aitab teil võrgus numbri kiiresti võimsuseks tõsta. Kraadi baasiks võib olla mis tahes arv (nii täis- kui reaalarvud). Eksponent võib olla ka täis- või reaalarv, samuti positiivne või negatiivne. Pidage meeles, et negatiivsete arvude korral on mittetäisarvulise astmeni tõstmine määratlemata, seega teatab kalkulaator veast, kui proovite seda teha.
Kraadikalkulaator
Tõsta võimule
Astendused: 28402
Mis on arvu loomulik võimsus?
Arvu p nimetatakse arvu n-ndaks astmeks, kui p on võrdne arvuga a korrutatuna iseendaga n korda: p = a n = a·...·a
n - kutsus eksponent, ja number a on kraadi alus.
Kuidas tõsta arv loomuliku astmeni?
Et mõista, kuidas tõsta erinevaid numbreid loomulike jõududeni, kaaluge mõnda näidet:
Näide 1. Tõstke number kolm neljanda astmeni. See tähendab, et on vaja arvutada 3 4
Lahendus: nagu eespool mainitud, 3 4 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81.
Vastus: 3 4 = 81 .
Näide 2. Tõstke number viis viienda astmeni. See tähendab, et on vaja arvutada 5 5
Lahendus: samamoodi 5 5 = 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 3125.
Vastus: 5 5 = 3125 .
Seega, et tõsta arv loomuliku astmeni, tuleb see lihtsalt endaga n korda korrutada.
Mis on arvu negatiivne võimsus?
A negatiivne võimsus -n on jagatud a-ga n astmega: a -n = .Sel juhul eksisteerib negatiivne võimsus ainult nullist erinevate arvude puhul, kuna vastasel juhul toimuks jagamine nulliga.
Kuidas tõsta arvu negatiivse täisarvu astmeni?
Nullist erineva arvu tõstmiseks negatiivse astmeni peate arvutama selle arvu väärtuse samale positiivsele astmele ja jagama ühe tulemusega.
Näide 1. Tõstke number kaks negatiivse neljanda astmeni. See tähendab, et peate arvutama 2–4
Lahendus: nagu eespool öeldud, 2 -4 = = = 0,0625.Vastus: 2 -4 = 0.0625 .
