Σε αυτό το υλικό θα δούμε τι είναι η δύναμη ενός αριθμού. Εκτός από τους βασικούς ορισμούς, θα διατυπώσουμε τι είναι οι δυνάμεις με φυσικούς, ακέραιους, λογικούς και παράλογους εκθέτες. Όπως πάντα, όλες οι έννοιες θα επεξηγηθούν με παραδείγματα προβλημάτων.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Αρχικά, ας διατυπώσουμε τον βασικό ορισμό του βαθμού με φυσικό εκθέτη. Για να γίνει αυτό, πρέπει να θυμόμαστε τους βασικούς κανόνες του πολλαπλασιασμού. Ας διευκρινίσουμε εκ των προτέρων ότι προς το παρόν θα πάρουμε έναν πραγματικό αριθμό ως βάση (που συμβολίζεται με το γράμμα α) και έναν φυσικό αριθμό ως δείκτη (που συμβολίζεται με το γράμμα n).

Ορισμός 1

Η ισχύς ενός αριθμού α με φυσικό εκθέτη n είναι το γινόμενο του ν ου αριθμού παραγόντων, καθένας από τους οποίους είναι ίσος με τον αριθμό α. Το πτυχίο γράφεται ως εξής: a n, και με τη μορφή τύπου η σύνθεσή του μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:

Για παράδειγμα, αν ο εκθέτης είναι 1 και η βάση είναι a, τότε η πρώτη δύναμη του a γράφεται ως Α'1. Δεδομένου ότι a είναι η τιμή του παράγοντα και 1 είναι ο αριθμός των παραγόντων, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι α 1 = α.

Γενικά, μπορούμε να πούμε ότι ένα πτυχίο είναι μια βολική μορφή συγγραφής μεγάλου αριθμού ίσων παραγόντων. Λοιπόν, μια καταγραφή της φόρμας 8 8 8 8μπορεί να συντομευτεί σε 8 4 . Με τον ίδιο περίπου τρόπο, το προϊόν μας βοηθά να αποφύγουμε να γράψουμε μεγάλο αριθμό όρων (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4). Το έχουμε ήδη συζητήσει στο άρθρο που είναι αφιερωμένο στον πολλαπλασιασμό των φυσικών αριθμών.

Πώς να διαβάσετε σωστά την καταχώριση πτυχίου; Η γενικά αποδεκτή επιλογή είναι "a στη δύναμη του n". Ή μπορείτε να πείτε "nth power of a" ή "anth power". Αν, ας πούμε, στο παράδειγμα συναντήσαμε το λήμμα 8 12 , μπορούμε να διαβάσουμε «8 στη 12η δύναμη», «8 στη δύναμη του 12» ή «12η δύναμη του 8».

Η δεύτερη και η τρίτη δύναμη των αριθμών έχουν τα δικά τους καθιερωμένα ονόματα: τετράγωνο και κύβος. Αν δούμε τη δεύτερη δύναμη, για παράδειγμα, τον αριθμό 7 (7 2), τότε μπορούμε να πούμε "7 τετράγωνο" ή "τετράγωνο του αριθμού 7". Ομοίως, ο τρίτος βαθμός διαβάζεται ως εξής: 5 3 - αυτός είναι ο "κύβος του αριθμού 5" ή "5 σε κύβους". Ωστόσο, μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε την τυπική σύνθεση "στη δεύτερη/τρίτη δύναμη"· αυτό δεν θα είναι λάθος.

Παράδειγμα 1

Ας δούμε ένα παράδειγμα βαθμού με φυσικό εκθέτη: για 5 7 πέντε θα είναι η βάση και επτά θα είναι ο εκθέτης.

Η βάση δεν χρειάζεται να είναι ακέραιος αριθμός: για το βαθμό (4 , 32) 9 η βάση θα είναι το κλάσμα 4, 32, και ο εκθέτης θα είναι εννέα. Προσοχή στις παρενθέσεις: αυτός ο συμβολισμός γίνεται για όλες τις δυνάμεις των οποίων οι βάσεις διαφέρουν από τους φυσικούς αριθμούς.

Για παράδειγμα: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

Σε τι χρησιμεύουν οι παρενθέσεις; Βοηθούν στην αποφυγή λαθών στους υπολογισμούς. Ας πούμε ότι έχουμε δύο καταχωρήσεις: (− 2) 3 Και − 2 3 . Το πρώτο από αυτά σημαίνει έναν αρνητικό αριθμό μείον δύο αυξημένο σε δύναμη με φυσικό εκθέτη 3. ο δεύτερος είναι ο αριθμός που αντιστοιχεί στην αντίθετη τιμή του βαθμού 2 3 .

Μερικές φορές στα βιβλία μπορείτε να βρείτε μια ελαφρώς διαφορετική ορθογραφία της δύναμης ενός αριθμού - a^n(όπου a είναι η βάση και n ο εκθέτης). Δηλαδή το 4^9 είναι το ίδιο με 4 9 . Αν το n είναι πολυψήφιος αριθμός, τοποθετείται σε παρένθεση. Για παράδειγμα, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Αλλά θα χρησιμοποιήσουμε τη σημειογραφία a nως πιο συνηθισμένο.

Είναι εύκολο να μαντέψετε πώς να υπολογίσετε την τιμή ενός εκθέτη με φυσικό εκθέτη από τον ορισμό του: χρειάζεται απλώς να πολλαπλασιάσετε ένα ν ο αριθμό φορές. Γράψαμε περισσότερα για αυτό σε άλλο άρθρο.

Η έννοια του βαθμού είναι το αντίστροφο μιας άλλης μαθηματικής έννοιας - της ρίζας ενός αριθμού. Αν γνωρίζουμε την τιμή της ισχύος και του εκθέτη, μπορούμε να υπολογίσουμε τη βάση της. Ο βαθμός έχει κάποιες συγκεκριμένες ιδιότητες που είναι χρήσιμες για την επίλυση προβλημάτων, τις οποίες συζητήσαμε σε ξεχωριστό υλικό.

Οι εκθέτες μπορούν να περιλαμβάνουν όχι μόνο φυσικούς αριθμούς, αλλά και οποιεσδήποτε ακέραιες τιμές γενικά, συμπεριλαμβανομένων των αρνητικών και των μηδενικών, επειδή ανήκουν επίσης στο σύνολο των ακεραίων.

Ορισμός 2

Η δύναμη ενός αριθμού με θετικό ακέραιο εκθέτη μπορεί να αναπαρασταθεί ως τύπος: .

Στην περίπτωση αυτή, n είναι οποιοσδήποτε θετικός ακέραιος αριθμός.

Ας κατανοήσουμε την έννοια του μηδενικού βαθμού. Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιούμε μια προσέγγιση που λαμβάνει υπόψη την ιδιότητα πηλίκου για δυνάμεις με ίσες βάσεις. Διατυπώνεται ως εξής:

Ορισμός 3

Ισότητα a m: a n = a m − nθα ισχύει υπό τις ακόλουθες συνθήκες: m και n είναι φυσικοί αριθμοί, m< n , a ≠ 0 .

Η τελευταία συνθήκη είναι σημαντική γιατί αποφεύγει τη διαίρεση με το μηδέν. Εάν οι τιμές των m και n είναι ίσες, τότε έχουμε το ακόλουθο αποτέλεσμα: a n: a n = a n − n = a 0

Αλλά ταυτόχρονα a n: a n = 1 είναι το πηλίκο των ίσων αριθμών a nκαι ένα. Αποδεικνύεται ότι η μηδενική ισχύς οποιουδήποτε μη μηδενικού αριθμού είναι ίση με ένα.

Ωστόσο, μια τέτοια απόδειξη δεν ισχύει για το μηδέν προς τη μηδενική ισχύ. Για να γίνει αυτό, χρειαζόμαστε μια άλλη ιδιότητα των δυνάμεων - την ιδιότητα των προϊόντων δυνάμεων με ίσες βάσεις. Μοιάζει με αυτό: a m · a n = a m + n .

Αν το n είναι ίσο με 0, τότε a m · a 0 = a m(Αυτή η ισότητα μας το αποδεικνύει επίσης a 0 = 1). Αλλά αν και είναι επίσης ίσο με μηδέν, η ισότητα μας παίρνει τη μορφή 0 m · 0 0 = 0 m, Θα ισχύει για οποιαδήποτε φυσική τιμή του n, και δεν έχει σημασία με τι ακριβώς ισούται η τιμή του βαθμού 0 0 , δηλαδή μπορεί να είναι ίσος με οποιονδήποτε αριθμό και αυτό δεν θα επηρεάσει την ακρίβεια της ισότητας. Επομένως, μια σημείωση της φόρμας 0 0 δεν έχει το δικό του ιδιαίτερο νόημα και δεν θα του το αποδώσουμε.

Εάν θέλετε, είναι εύκολο να το ελέγξετε a 0 = 1συγκλίνει με την ιδιότητα πτυχίου (a m) n = a m nμε την προϋπόθεση ότι η βάση του βαθμού δεν είναι μηδέν. Έτσι, η ισχύς οποιουδήποτε μη μηδενικού αριθμού με εκθέτη μηδέν είναι ένα.

Παράδειγμα 2

Ας δούμε ένα παράδειγμα με συγκεκριμένους αριθμούς: Λοιπόν, 5 0 - μονάδα, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , και η τιμή 0 0 απροσδιόριστος.

Μετά τον μηδενικό βαθμό, πρέπει απλώς να καταλάβουμε τι είναι ο αρνητικός βαθμός. Για να γίνει αυτό, χρειαζόμαστε την ίδια ιδιότητα του γινομένου των δυνάμεων με ίσες βάσεις που χρησιμοποιήσαμε ήδη παραπάνω: a m · a n = a m + n.

Ας εισάγουμε τη συνθήκη: m = − n, τότε το a δεν πρέπει να είναι ίσο με μηδέν. Από αυτό προκύπτει ότι a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. Αποδεικνύεται ότι ένα ν και a−nέχουμε αμοιβαία αμοιβαία νούμερα.

Ως αποτέλεσμα, το a στην αρνητική ακέραια δύναμη δεν είναι τίποτα άλλο από το κλάσμα 1 a n.

Αυτή η διατύπωση επιβεβαιώνει ότι για έναν βαθμό με ακέραιο αρνητικό εκθέτη, ισχύουν όλες οι ίδιες ιδιότητες που έχει ένας βαθμός με φυσικό εκθέτη (με την προϋπόθεση ότι η βάση δεν είναι ίση με μηδέν).

Παράδειγμα 3

Μια δύναμη a με αρνητικό ακέραιο εκθέτη n μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα 1 a n . Έτσι, a - n = 1 a n υπόκειται σε a ≠ 0και n είναι οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός.

Ας επεξηγήσουμε την ιδέα μας με συγκεκριμένα παραδείγματα:

Παράδειγμα 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Στο τελευταίο μέρος της παραγράφου, θα προσπαθήσουμε να απεικονίσουμε όλα όσα έχουν ειπωθεί ξεκάθαρα σε έναν τύπο:

Ορισμός 4

Η δύναμη ενός αριθμού με φυσικό εκθέτη z είναι: a z = a z, e με l και z - θετικός ακέραιος 1, z = 0 και a ≠ 0, (για z = 0 και a = 0 το αποτέλεσμα είναι 0 0, το οι τιμές της παράστασης 0 0 δεν είναι ορίζονται) 1 a z, αν και z είναι αρνητικός ακέραιος και a ≠ 0 (αν z είναι αρνητικός ακέραιος και a = 0 παίρνετε 0 z, egoz η τιμή είναι απροσδιόριστη)

Τι είναι οι δυνάμεις με λογικό εκθέτη;

Εξετάσαμε περιπτώσεις όπου ο εκθέτης περιέχει έναν ακέραιο. Ωστόσο, μπορείτε να αυξήσετε έναν αριθμό σε δύναμη ακόμα και όταν ο εκθέτης του περιέχει έναν κλασματικό αριθμό. Αυτό ονομάζεται δύναμη με λογικό εκθέτη. Σε αυτή την ενότητα θα αποδείξουμε ότι έχει τις ίδιες ιδιότητες με άλλες δυνάμεις.

Τι είναι οι ορθολογικοί αριθμοί; Το σύνολο τους περιλαμβάνει τόσο ακέραιους όσο και κλασματικούς αριθμούς και οι κλασματικοί αριθμοί μπορούν να αναπαρασταθούν ως συνηθισμένα κλάσματα (τόσο θετικά όσο και αρνητικά). Ας διατυπώσουμε τον ορισμό της ισχύος ενός αριθμού a με κλασματικό εκθέτη m / n, όπου n είναι φυσικός αριθμός και m είναι ακέραιος.

Έχουμε κάποιο βαθμό με κλασματικό εκθέτη a m n . Για να ισχύει η ιδιότητα power to power, η ισότητα a m n n = a m n · n = a m πρέπει να είναι αληθής.

Δεδομένου του ορισμού της νης ρίζας και του ότι a m n n = a m, μπορούμε να δεχτούμε τη συνθήκη a m n = a m n εάν το m n έχει νόημα για τις δεδομένες τιμές των m, n και a.

Οι παραπάνω ιδιότητες ενός βαθμού με ακέραιο εκθέτη θα είναι αληθείς υπό την συνθήκη a m n = a m n .

Το κύριο συμπέρασμα από τη συλλογιστική μας είναι το εξής: η ισχύς ενός συγκεκριμένου αριθμού α με κλασματικό εκθέτη m / n είναι η ν η ρίζα του αριθμού α στην ισχύ m. Αυτό ισχύει εάν, για δεδομένες τιμές των m, n και a, η έκφραση a m n παραμένει σημαντική.

1. Μπορούμε να περιορίσουμε την τιμή της βάσης του βαθμού: ας πάρουμε το a, το οποίο για θετικές τιμές του m θα είναι μεγαλύτερο ή ίσο με 0, και για αρνητικές τιμές - αυστηρά μικρότερο (αφού για m ≤ 0 παίρνουμε 0 μ, αλλά τέτοιο πτυχίο δεν ορίζεται). Σε αυτήν την περίπτωση, ο ορισμός ενός βαθμού με κλασματικό εκθέτη θα μοιάζει με αυτό:

Μια δύναμη με κλασματικό εκθέτη m/n για κάποιο θετικό αριθμό a είναι η ν η ρίζα του a αυξημένη στην ισχύ m. Αυτό μπορεί να εκφραστεί ως τύπος:

Για μια ισχύ με μηδενική βάση, αυτή η διάταξη είναι επίσης κατάλληλη, αλλά μόνο εάν ο εκθέτης της είναι θετικός αριθμός.

Μια ισχύς με βάση μηδέν και κλασματικό θετικό εκθέτη m/n μπορεί να εκφραστεί ως

0 m n = 0 m n = 0 με την προϋπόθεση ότι ο m είναι θετικός ακέραιος και ο n είναι φυσικός αριθμός.

Για αρνητικό λόγο m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Ας σημειώσουμε ένα σημείο. Εφόσον εισαγάγαμε την συνθήκη ότι το a είναι μεγαλύτερο ή ίσο με μηδέν, καταλήξαμε να απορρίψουμε ορισμένες περιπτώσεις.

Η έκφραση a m n μερικές φορές εξακολουθεί να έχει νόημα για ορισμένες αρνητικές τιμές του a και μερικές m. Έτσι, οι σωστές εγγραφές είναι (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, στις οποίες η βάση είναι αρνητική.

2. Η δεύτερη προσέγγιση είναι να εξετάσουμε χωριστά τη ρίζα a m n με άρτιους και περιττούς εκθέτες. Τότε θα χρειαστεί να εισαγάγουμε μια ακόμη συνθήκη: ο βαθμός a, στον εκθέτη του οποίου υπάρχει ένα αναγώγιμο κοινό κλάσμα, θεωρείται ο βαθμός a, στον εκθέτη του οποίου υπάρχει το αντίστοιχο μη αναγώγιμο κλάσμα. Αργότερα θα εξηγήσουμε γιατί χρειαζόμαστε αυτή την κατάσταση και γιατί είναι τόσο σημαντική. Έτσι, αν έχουμε τον συμβολισμό a m · k n · k , τότε μπορούμε να τον αναγάγουμε σε m n και να απλοποιήσουμε τους υπολογισμούς.

Αν το n είναι ένας περιττός αριθμός και η τιμή του m είναι θετική και το a είναι οποιοσδήποτε μη αρνητικός αριθμός, τότε το a m n έχει νόημα. Η προϋπόθεση για να είναι το α μη αρνητικό είναι απαραίτητη γιατί δεν μπορεί να εξαχθεί μια ρίζα ζυγού βαθμού από έναν αρνητικό αριθμό. Αν η τιμή του m είναι θετική, τότε το a μπορεί να είναι και αρνητικό και μηδέν, γιατί Η περιττή ρίζα μπορεί να ληφθεί από οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό.

Ας συνδυάσουμε όλους τους παραπάνω ορισμούς σε μια καταχώρηση:

Εδώ m/n σημαίνει μη αναγώγιμο κλάσμα, m είναι ακέραιος αριθμός και n κάθε φυσικός αριθμός.

Ορισμός 5

Για οποιοδήποτε συνηθισμένο αναγώγιμο κλάσμα m · k n · k ο βαθμός μπορεί να αντικατασταθεί από ένα m n .

Η ισχύς ενός αριθμού a με μη αναγώγιμο κλασματικό εκθέτη m / n – μπορεί να εκφραστεί ως m n στις ακόλουθες περιπτώσεις: - για κάθε πραγματικό a, θετικές ακέραιες τιμές m και περιττές φυσικές τιμές n. Παράδειγμα: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

Για κάθε μη μηδενικό πραγματικό a, αρνητικές ακέραιες τιμές του m και περιττές τιμές του n, για παράδειγμα, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

Για κάθε μη αρνητικό a, θετικό ακέραιο m και άρτιο n, για παράδειγμα, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

Για κάθε θετικό a, αρνητικό ακέραιο m και άρτιο n, για παράδειγμα, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

Στην περίπτωση άλλων τιμών, ο βαθμός με κλασματικό εκθέτη δεν προσδιορίζεται. Παραδείγματα τέτοιων βαθμών: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Ας εξηγήσουμε τώρα τη σημασία της συνθήκης που συζητήθηκε παραπάνω: γιατί να αντικαταστήσουμε ένα κλάσμα με έναν αναγώσιμο εκθέτη με ένα κλάσμα με έναν μη αναγώσιμο εκθέτη. Αν δεν το είχαμε κάνει αυτό, θα είχαμε τις ακόλουθες καταστάσεις, ας πούμε, 6/10 = 3/5. Τότε θα πρέπει να είναι αλήθεια (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , αλλά - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 , και (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Ο ορισμός ενός βαθμού με κλασματικό εκθέτη, που παρουσιάσαμε πρώτος, είναι πιο βολικός στην πράξη από τον δεύτερο, επομένως θα συνεχίσουμε να τον χρησιμοποιούμε.

Ορισμός 6

Έτσι, η ισχύς ενός θετικού αριθμού a με κλασματικό εκθέτη m/n ορίζεται ως 0 m n = 0 m n = 0. Σε περίπτωση αρνητικής έναο συμβολισμός a m n δεν έχει νόημα. Ισχύς μηδέν για θετικούς κλασματικούς εκθέτες m/nορίζεται ως 0 m n = 0 m n = 0 , για αρνητικούς κλασματικούς εκθέτες δεν ορίζουμε το βαθμό μηδέν.

Συμπερασματικά, σημειώνουμε ότι μπορείτε να γράψετε οποιονδήποτε κλασματικό δείκτη τόσο ως μικτό όσο και ως δεκαδικό κλάσμα: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Κατά τον υπολογισμό, είναι καλύτερο να αντικαταστήσετε τον εκθέτη με ένα συνηθισμένο κλάσμα και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσετε τον ορισμό του εκθέτη με έναν κλασματικό εκθέτη. Για τα παραπάνω παραδείγματα παίρνουμε:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Τι είναι οι δυνάμεις με παράλογους και πραγματικούς εκθέτες;

Τι είναι οι πραγματικοί αριθμοί; Το σύνολο τους περιλαμβάνει τόσο λογικούς όσο και παράλογους αριθμούς. Επομένως, για να καταλάβουμε τι είναι ένας βαθμός με πραγματικό εκθέτη, πρέπει να ορίσουμε βαθμούς με λογικούς και παράλογους εκθέτες. Έχουμε ήδη αναφέρει ορθολογικά παραπάνω. Ας ασχοληθούμε βήμα-βήμα με τους παράλογους δείκτες.

Παράδειγμα 5

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε έναν παράλογο αριθμό a και μια ακολουθία των δεκαδικών προσεγγίσεων του a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Για παράδειγμα, ας πάρουμε την τιμή a = 1,67175331. . . , Επειτα

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753, . . .

Μπορούμε να συσχετίσουμε ακολουθίες προσεγγίσεων με μια ακολουθία μοιρών a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Αν θυμηθούμε τι είπαμε νωρίτερα για την αύξηση των αριθμών σε ορθολογικές δυνάμεις, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε μόνοι μας τις τιμές αυτών των δυνάμεων.

Ας πάρουμε για παράδειγμα α = 3, τότε a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . και τα λοιπά.

Η ακολουθία των δυνάμεων μπορεί να μειωθεί σε έναν αριθμό, ο οποίος θα είναι η τιμή της ισχύος με βάση α και παράλογο εκθέτη α. Ως αποτέλεσμα: ένας βαθμός με έναν παράλογο εκθέτη της μορφής 3 1, 67175331. . μπορεί να μειωθεί στον αριθμό 6, 27.

Ορισμός 7

Η δύναμη ενός θετικού αριθμού α με παράλογο εκθέτη α γράφεται ως a . Η τιμή του είναι το όριο της ακολουθίας a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , όπου a 0 , a 1 , a 2 , . . . είναι διαδοχικές δεκαδικές προσεγγίσεις του άρρητου αριθμού α. Ένας βαθμός με μηδενική βάση μπορεί επίσης να οριστεί για θετικούς παράλογους εκθέτες, με 0 a = 0 Άρα, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Αλλά αυτό δεν μπορεί να γίνει για αρνητικές, αφού, για παράδειγμα, η τιμή 0 - 5, 0 - 2 π δεν ορίζεται. Μια μονάδα ανυψωμένη σε οποιαδήποτε παράλογη ισχύ παραμένει μια μονάδα, για παράδειγμα, και το 1 2, 1 5 στο 2 και το 1 - 5 θα είναι ίσο με 1.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Σε αυτό το άρθρο θα καταλάβουμε τι είναι βαθμός του. Εδώ θα δώσουμε ορισμούς της δύναμης ενός αριθμού, ενώ θα εξετάσουμε αναλυτικά όλους τους πιθανούς εκθέτες, ξεκινώντας από τον φυσικό εκθέτη και τελειώνοντας με τον παράλογο. Στο υλικό θα βρείτε πολλά παραδείγματα πτυχίων, καλύπτοντας όλες τις λεπτότητες που προκύπτουν.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Ισχύς με φυσικό εκθέτη, τετράγωνο αριθμού, κύβος αριθμού

Ας ξεκινήσουμε με . Κοιτώντας μπροστά, ας πούμε ότι ο ορισμός της ισχύος ενός αριθμού a με φυσικό εκθέτη n δίνεται για το a, τον οποίο θα ονομάσουμε βάση πτυχίου, και n, που θα ονομάσουμε εκθέτης. Σημειώνουμε επίσης ότι ένας βαθμός με φυσικό εκθέτη καθορίζεται μέσω ενός γινόμενου, επομένως για να κατανοήσετε το παρακάτω υλικό πρέπει να κατανοήσετε τον πολλαπλασιασμό των αριθμών.

Ορισμός.

Ισχύς αριθμού με φυσικό εκθέτη nείναι μια έκφραση της μορφής a n, η τιμή της οποίας είναι ίση με το γινόμενο n παραγόντων, καθένας από τους οποίους είναι ίσος με a, δηλαδή, .
Συγκεκριμένα, η ισχύς ενός αριθμού α με εκθέτη 1 είναι ο ίδιος ο αριθμός a, δηλαδή a 1 =a.

Αξίζει να αναφέρουμε αμέσως τους κανόνες για την ανάγνωση πτυχίων. Ο καθολικός τρόπος ανάγνωσης του συμβολισμού a n είναι: "a στη δύναμη του n". Σε ορισμένες περιπτώσεις, οι ακόλουθες επιλογές είναι επίσης αποδεκτές: "a στην nth δύναμη" και "nth power of a". Για παράδειγμα, ας πάρουμε τη δύναμη 8 12, αυτή είναι "οκτώ στη δύναμη του δώδεκα", ή "οκτώ στη δωδέκατη δύναμη" ή "δωδέκατη δύναμη του οκτώ".

Η δεύτερη δύναμη ενός αριθμού, καθώς και η τρίτη δύναμη ενός αριθμού, έχουν τα δικά τους ονόματα. Η δεύτερη δύναμη ενός αριθμού ονομάζεται τετράγωνο του αριθμού, για παράδειγμα, το 7 2 διαβάζεται ως "επτά τετράγωνο" ή "το τετράγωνο του αριθμού επτά". Η τρίτη δύναμη ενός αριθμού ονομάζεται κυβικοί αριθμοί, για παράδειγμα, το 5 3 μπορεί να διαβαστεί ως "πέντε κύβους" ή μπορείτε να πείτε "κύβος του αριθμού 5".

Ήρθε η ώρα να φέρεις παραδείγματα μοιρών με φυσικούς εκθέτες. Ας ξεκινήσουμε με τον βαθμό 5 7, εδώ το 5 είναι η βάση του βαθμού και το 7 είναι ο εκθέτης. Ας δώσουμε ένα άλλο παράδειγμα: 4,32 είναι η βάση και ο φυσικός αριθμός 9 είναι ο εκθέτης (4,32) 9 .

Σημειώστε ότι στο τελευταίο παράδειγμα, η βάση της δύναμης 4.32 είναι γραμμένη σε παρένθεση: για να αποφύγουμε αποκλίσεις, θα βάλουμε σε παρένθεση όλες τις βάσεις της ισχύος που είναι διαφορετικές από τους φυσικούς αριθμούς. Ως παράδειγμα, δίνουμε τους ακόλουθους βαθμούς με φυσικούς εκθέτες , οι βάσεις τους δεν είναι φυσικοί αριθμοί, άρα γράφονται σε παρένθεση. Λοιπόν, για πλήρη σαφήνεια, σε αυτό το σημείο θα δείξουμε τη διαφορά που περιέχεται στις εγγραφές της μορφής (−2) 3 και −2 3. Η παράσταση (−2) 3 είναι δύναμη του −2 με φυσικό εκθέτη 3, και η παράσταση −2 3 (μπορεί να γραφτεί ως −(2 3) ) αντιστοιχεί στον αριθμό, την τιμή της δύναμης 2 3 .

Σημειώστε ότι υπάρχει συμβολισμός για τη δύναμη ενός αριθμού a με εκθέτη n της μορφής a^n. Επιπλέον, εάν το n είναι ένας φυσικός αριθμός πολλών τιμών, τότε ο εκθέτης λαμβάνεται σε αγκύλες. Για παράδειγμα, το 4^9 είναι ένας άλλος συμβολισμός για την ισχύ του 4 9 . Και εδώ είναι μερικά ακόμη παραδείγματα γραφής βαθμών χρησιμοποιώντας το σύμβολο "^": 14^(21) , (−2,1)^(155) . Σε αυτό που ακολουθεί, θα χρησιμοποιήσουμε κυρίως συμβολισμό βαθμών της μορφής a n .

Ένα από τα προβλήματα αντίστροφα της αύξησης σε μια ισχύ με φυσικό εκθέτη είναι το πρόβλημα της εύρεσης της βάσης μιας δύναμης από μια γνωστή τιμή της ισχύος και έναν γνωστό εκθέτη. Αυτή η εργασία οδηγεί σε .

Είναι γνωστό ότι το σύνολο των ρητών αριθμών αποτελείται από ακέραιους και κλάσματα, και κάθε κλάσμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως θετικό ή αρνητικό συνηθισμένο κλάσμα. Ορίσαμε ένα βαθμό με ακέραιο εκθέτη στην προηγούμενη παράγραφο, επομένως, για να συμπληρώσουμε τον ορισμό του βαθμού με ορθολογικό εκθέτη, πρέπει να δώσουμε νόημα στο βαθμό του αριθμού a με κλασματικό εκθέτη m/n, όπου Το m είναι ακέραιος και το n φυσικός αριθμός. Ας το κάνουμε.

Ας θεωρήσουμε έναν βαθμό με κλασματικό εκθέτη της μορφής . Για να παραμείνει έγκυρη η ιδιότητα power-to-power, πρέπει να ισχύει η ισότητα . Αν λάβουμε υπόψη την προκύπτουσα ισότητα και τον τρόπο με τον οποίο προσδιορίσαμε το , τότε είναι λογικό να το αποδεχθούμε με την προϋπόθεση ότι για δεδομένα m, n και a η έκφραση έχει νόημα.

Είναι εύκολο να ελεγχθεί ότι για όλες τις ιδιότητες ενός βαθμού με ακέραιο εκθέτη είναι έγκυρες (αυτό έγινε στην ενότητα ιδιότητες ενός βαθμού με λογικό εκθέτη).

Ο παραπάνω συλλογισμός μας επιτρέπει να κάνουμε τα εξής συμπέρασμα: αν δοθεί m, n και a η έκφραση έχει νόημα, τότε η δύναμη του a με κλασματικό εκθέτη m/n λέγεται ν η ρίζα του a στη δύναμη του m.

Αυτή η δήλωση μας φέρνει κοντά στον ορισμό του βαθμού με κλασματικό εκθέτη. Το μόνο που μένει είναι να περιγράψουμε σε τι m, n και a έχει νόημα η έκφραση. Ανάλογα με τους περιορισμούς που τίθενται στα m, n και a, υπάρχουν δύο κύριες προσεγγίσεις.

Ο ευκολότερος τρόπος είναι να επιβληθεί ένας περιορισμός στο a λαμβάνοντας a≥0 για θετικό m και a>0 για αρνητικό m (καθώς για m≤0 ο βαθμός 0 του m δεν ορίζεται). Τότε παίρνουμε τον ακόλουθο ορισμό του βαθμού με κλασματικό εκθέτη.

Ορισμός.

Ισχύς θετικού αριθμού α με κλασματικό εκθέτη m/n, όπου m είναι ακέραιος και n φυσικός αριθμός, λέγεται ν η ρίζα του αριθμού a στην ισχύ m, δηλαδή .

Η κλασματική ισχύς του μηδενός προσδιορίζεται επίσης με τη μόνη προειδοποίηση ότι ο δείκτης πρέπει να είναι θετικός.

Ορισμός.

Ισχύς μηδέν με κλασματικό θετικό εκθέτη m/n, όπου m είναι θετικός ακέραιος και n φυσικός αριθμός, ορίζεται ως .
Όταν δεν προσδιορίζεται ο βαθμός, δηλαδή ο βαθμός του αριθμού μηδέν με κλασματικό αρνητικό εκθέτη δεν έχει νόημα.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι με αυτόν τον ορισμό ενός βαθμού με κλασματικό εκθέτη, υπάρχει μια προειδοποίηση: για μερικά αρνητικά a και μερικά m και n, η έκφραση έχει νόημα, και απορρίψαμε αυτές τις περιπτώσεις εισάγοντας τη συνθήκη a≥0. Για παράδειγμα, οι συμμετοχές έχουν νόημα ή , και ο ορισμός που δόθηκε παραπάνω μας αναγκάζει να πούμε ότι δυνάμεις με κλασματικό εκθέτη της μορφής δεν έχει νόημα, αφού η βάση δεν πρέπει να είναι αρνητική.

Μια άλλη προσέγγιση για τον προσδιορισμό ενός βαθμού με κλασματικό εκθέτη m/n είναι να εξετάζουμε χωριστά τους άρτιους και τους περιττούς εκθέτες της ρίζας. Αυτή η προσέγγιση απαιτεί μια πρόσθετη συνθήκη: η ισχύς του αριθμού a, ο εκθέτης του οποίου είναι , θεωρείται ότι είναι η δύναμη του αριθμού a, ο εκθέτης του οποίου είναι το αντίστοιχο μη αναγώγιμο κλάσμα (θα εξηγήσουμε τη σημασία αυτής της συνθήκης παρακάτω ). Δηλαδή, αν το m/n είναι μη αναγώγιμο κλάσμα, τότε για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό k ο βαθμός αντικαθίσταται πρώτα από .

Για άρτιο n και θετικό m, η έκφραση έχει νόημα για κάθε μη αρνητικό a (η άρτια ρίζα ενός αρνητικού αριθμού δεν έχει νόημα), για το αρνητικό m, ο αριθμός a πρέπει να είναι ακόμα διαφορετικός από το μηδέν (διαφορετικά θα υπάρχει διαίρεση με μηδέν). Και για περιττό n και θετικό m, ο αριθμός a μπορεί να είναι οποιοσδήποτε (η ρίζα ενός περιττού βαθμού ορίζεται για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό), και για το αρνητικό m, ο αριθμός a πρέπει να είναι διαφορετικός από το μηδέν (έτσι ώστε να μην υπάρχει διαίρεση με το μηδέν).

Ο παραπάνω συλλογισμός μας οδηγεί σε αυτόν τον ορισμό του βαθμού με κλασματικό εκθέτη.

Ορισμός.

Έστω m/n μη αναγώγιμο κλάσμα, m ακέραιος και n φυσικός αριθμός. Για οποιοδήποτε αναγώγιμο κλάσμα, ο βαθμός αντικαθίσταται από . Η ισχύς ενός αριθμού με μη αναγώγιμο κλασματικό εκθέτη m/n είναι για



Ας εξηγήσουμε γιατί ένας βαθμός με ανάγιμο κλασματικό εκθέτη αντικαθίσταται πρώτα από έναν βαθμό με μη αναγώσιμο εκθέτη. Αν απλώς ορίζαμε τον βαθμό ως , και δεν κάναμε επιφύλαξη σχετικά με τη μη αναγωγιμότητα του κλάσματος m/n, τότε θα βρισκόμασταν αντιμέτωποι με καταστάσεις παρόμοιες με τις ακόλουθες: αφού 6/10 = 3/5, τότε η ισότητα πρέπει να ισχύει , Αλλά , ΕΝΑ .

Πίνακας δυνάμεων 2 (δύο) από 0 έως 32

Ο παρακάτω πίνακας δείχνει, εκτός από τις δυνάμεις των δύο, τους μέγιστους αριθμούς που μπορεί να αποθηκεύσει ένας υπολογιστής για έναν δεδομένο αριθμό bit. Επιπλέον, τόσο για ακέραιους όσο και για προσημασμένους αριθμούς.

Ιστορικά, οι υπολογιστές χρησιμοποιούσαν το δυαδικό σύστημα αριθμών και, κατά συνέπεια, την αποθήκευση δεδομένων. Έτσι, οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως ακολουθία μηδενικών και μονάδων (bits πληροφοριών). Υπάρχουν διάφοροι τρόποι να αναπαραστήσουμε τους αριθμούς ως δυαδική ακολουθία.

Ας εξετάσουμε τα πιο απλά από αυτά - αυτός είναι ένας θετικός ακέραιος αριθμός. Τότε όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός που πρέπει να γράψουμε, τόσο μεγαλύτερη είναι η ακολουθία των bits που χρειαζόμαστε.

Παρακάτω είναι πίνακας εξουσιών του αριθμού 2. Θα μας δώσει μια αναπαράσταση του απαιτούμενου αριθμού bit που χρειαζόμαστε για να αποθηκεύσουμε αριθμούς.

Τρόπος χρήσης πίνακας δυνάμεων του αριθμού δύο?

Η πρώτη στήλη είναι δύναμη δύο, που δηλώνει ταυτόχρονα τον αριθμό των bit που αντιπροσωπεύουν τον αριθμό.

Δεύτερη στήλη - τιμή δύο στην κατάλληλη ισχύ (n).

Ένα παράδειγμα εύρεσης της δύναμης του 2. Βρίσκουμε τον αριθμό 7 στην πρώτη στήλη. Κοιτάμε κατά μήκος της γραμμής στα δεξιά και βρίσκουμε την τιμή δύο στην έβδομη δύναμη(2 7) είναι 128

Τρίτη στήλη - ο μέγιστος αριθμός που μπορεί να αναπαρασταθεί χρησιμοποιώντας έναν δεδομένο αριθμό bit(στην πρώτη στήλη).

Ένα παράδειγμα προσδιορισμού του μέγιστου ανυπόγραφου ακέραιου αριθμού. Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα από το προηγούμενο παράδειγμα, γνωρίζουμε ότι 2 7 = 128. Αυτό ισχύει αν θέλουμε να καταλάβουμε τι ποσότητα αριθμών, μπορεί να αναπαρασταθεί χρησιμοποιώντας επτά bit. Όμως, από τότε ο πρώτος αριθμός είναι μηδέν, τότε ο μέγιστος αριθμός που μπορεί να αναπαρασταθεί χρησιμοποιώντας επτά bit είναι 128 - 1 = 127. Αυτή είναι η τιμή της τρίτης στήλης.

Ισχύς δύο (n)	Δύναμη δύο αξίας 2n	Μέγιστος ανυπόγραφος αριθμός γραμμένο με n bits	Μέγιστος υπογεγραμμένος αριθμός γραμμένο με n bits
0	1	-	-
1	2	1	-
2	4	3	1
3	8	7	3
4	16	15	7
5	32	31	15
6	64	63	31
7	128	127	63
8	256	255	127
9	512	511	255
10	1 024	1 023	511
11	2 048	2 047	1023
12	40 96	4 095	2047
13	8 192	8 191	4095
14	16 384	16 383	8191
15	32 768	32 767	16383
16	65 536	65 535	32767
17	131 072	131 071	65 535
18	262 144	262 143	131 071
19	524 288	524 287	262 143
20	1 048 576	1 048 575	524 287
21	2 097 152	2 097 151	1 048 575
22	4 194 304	4 194 303	2 097 151
23	8 388 608	8 388 607	4 194 303
24	16 777 216	16 777 215	8 388 607
25	33 554 432	33 554 431	16 777 215
26	67 108 864	67 108 863	33 554 431
27	134 217 728	134 217 727	67 108 863
28	268 435 456	268 435 455	134 217 727
29	536 870 912	536 870 911	268 435 455
30	1 073 741 824	1 073 741 823	536 870 911
31	2 147 483 648	2 147 483 647	1 073 741 823
32	4 294 967 296	4 294 967 295	2 147 483 647

Καταλάβαμε τι είναι στην πραγματικότητα η δύναμη ενός αριθμού. Τώρα πρέπει να καταλάβουμε πώς να το υπολογίσουμε σωστά, δηλ. ανεβάσουν τους αριθμούς σε δυνάμεις. Σε αυτό το υλικό θα αναλύσουμε τους βασικούς κανόνες για τον υπολογισμό των βαθμών στην περίπτωση ακέραιων, φυσικών, κλασματικών, ορθολογικών και παράλογων εκθετών. Όλοι οι ορισμοί θα επεξηγηθούν με παραδείγματα.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Η έννοια της εκθέσεως

Ας ξεκινήσουμε διατυπώνοντας βασικούς ορισμούς.

Ορισμός 1

Εκθεσιμότητα- αυτός είναι ο υπολογισμός της τιμής της ισχύος ενός συγκεκριμένου αριθμού.

Δηλαδή, οι λέξεις «υπολογισμός της αξίας μιας δύναμης» και «ανύψωση σε δύναμη» σημαίνουν το ίδιο πράγμα. Έτσι, εάν το πρόβλημα λέει "Αυξήστε τον αριθμό 0, 5 στην πέμπτη δύναμη", αυτό θα πρέπει να γίνει κατανοητό ως "υπολογίστε την τιμή της ισχύος (0, 5) 5.

Τώρα παρουσιάζουμε τους βασικούς κανόνες που πρέπει να ακολουθούνται κατά την πραγματοποίηση τέτοιων υπολογισμών.

Ας θυμηθούμε τι είναι η δύναμη ενός αριθμού με φυσικό εκθέτη. Για μια ισχύ με βάση a και εκθέτη n, αυτό θα είναι το γινόμενο του nου αριθμού παραγόντων, καθένας από τους οποίους είναι ίσος με a. Αυτό μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Για να υπολογίσετε την τιμή ενός βαθμού, πρέπει να εκτελέσετε μια ενέργεια πολλαπλασιασμού, δηλαδή να πολλαπλασιάσετε τις βάσεις του βαθμού τον καθορισμένο αριθμό φορών. Η ίδια η έννοια ενός βαθμού με φυσικό εκθέτη βασίζεται στην ικανότητα γρήγορου πολλαπλασιασμού. Ας δώσουμε παραδείγματα.

Παράδειγμα 1

Κατάσταση: ανύψωση - 2 στην ισχύ 4.

Λύση

Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω ορισμό, γράφουμε: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . Στη συνέχεια, πρέπει απλώς να ακολουθήσουμε αυτά τα βήματα και να πάρουμε 16.

Ας πάρουμε ένα πιο περίπλοκο παράδειγμα.

Παράδειγμα 2

Υπολογίστε την τιμή 3 2 7 2

Λύση

Αυτή η καταχώρηση μπορεί να ξαναγραφτεί ως 3 2 7 · 3 2 7 . Προηγουμένως, εξετάσαμε πώς να πολλαπλασιάσουμε σωστά τους μικτούς αριθμούς που αναφέρονται στη συνθήκη.

Ας εκτελέσουμε αυτά τα βήματα και ας λάβουμε την απάντηση: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Εάν το πρόβλημα υποδεικνύει την ανάγκη αύξησης των παράλογων αριθμών σε μια φυσική ισχύ, θα πρέπει πρώτα να στρογγυλοποιήσουμε τις βάσεις τους στο ψηφίο που θα μας επιτρέψει να λάβουμε μια απάντηση της απαιτούμενης ακρίβειας. Ας δούμε ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα 3

Εκτελέστε το τετράγωνο του π.

Λύση

Αρχικά, ας το στρογγυλοποιήσουμε στα εκατοστά. Τότε π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Αν π ≈ 3. 14159, τότε έχουμε ένα πιο ακριβές αποτέλεσμα: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Σημειώστε ότι η ανάγκη υπολογισμού των δυνάμεων των παράλογων αριθμών προκύπτει σχετικά σπάνια στην πράξη. Μπορούμε στη συνέχεια να γράψουμε την απάντηση ως την ίδια την ισχύ (ln 6) 3 ή να μετατρέψουμε αν είναι δυνατόν: 5 7 = 125 5 .

Ξεχωριστά, θα πρέπει να αναφέρεται ποια είναι η πρώτη δύναμη ενός αριθμού. Εδώ μπορείτε απλά να θυμάστε ότι οποιοσδήποτε αριθμός αυξηθεί στην πρώτη δύναμη θα παραμείνει ο ίδιος:

Αυτό φαίνεται ξεκάθαρα από την ηχογράφηση .

Δεν εξαρτάται από τη βάση του πτυχίου.

Παράδειγμα 4

Άρα, (− 9) 1 = − 9, και το 7 3 ανυψωμένο στην πρώτη δύναμη θα παραμείνει ίσο με 7 3.

Για ευκολία, θα εξετάσουμε τρεις περιπτώσεις χωριστά: αν ο εκθέτης είναι θετικός ακέραιος, αν είναι μηδέν και αν είναι αρνητικός ακέραιος.

Στην πρώτη περίπτωση, αυτό είναι το ίδιο με την αύξηση σε μια φυσική δύναμη: τελικά, οι θετικοί ακέραιοι ανήκουν στο σύνολο των φυσικών αριθμών. Έχουμε ήδη μιλήσει παραπάνω για το πώς να δουλέψουμε με τέτοια πτυχία.

Τώρα ας δούμε πώς να αυξήσετε σωστά τη μηδενική ισχύ. Για βάση διαφορετική από το μηδέν, αυτός ο υπολογισμός βγάζει πάντα 1. Εξηγήσαμε προηγουμένως ότι η 0η δύναμη του a μπορεί να οριστεί για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό που δεν ισούται με 0, και a 0 = 1.

Παράδειγμα 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - δεν ορίζεται.

Μας μένει μόνο η περίπτωση ενός βαθμού με ακέραιο αρνητικό εκθέτη. Έχουμε ήδη συζητήσει ότι τέτοιοι βαθμοί μπορούν να γραφτούν ως κλάσμα 1 a z, όπου a είναι οποιοσδήποτε αριθμός και z είναι αρνητικός ακέραιος. Βλέπουμε ότι ο παρονομαστής αυτού του κλάσματος δεν είναι τίποτα άλλο από μια συνηθισμένη δύναμη με θετικό ακέραιο εκθέτη και έχουμε ήδη μάθει πώς να τον υπολογίζουμε. Ας δώσουμε παραδείγματα εργασιών.

Παράδειγμα 6

Ανεβάστε το 3 στην ισχύ - 2.

Λύση

Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω ορισμό, γράφουμε: 2 - 3 = 1 2 3

Ας υπολογίσουμε τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος και πάρουμε 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8.

Τότε η απάντηση είναι: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Παράδειγμα 7

Ανεβάστε το 1,43 στην ισχύ -2.

Λύση

Ας επαναδιατυπώσουμε: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2

Υπολογίζουμε το τετράγωνο στον παρονομαστή: 1,43·1,43. Οι δεκαδικοί μπορούν να πολλαπλασιαστούν με αυτόν τον τρόπο:

Ως αποτέλεσμα, πήραμε (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449. Το μόνο που έχουμε να κάνουμε είναι να γράψουμε αυτό το αποτέλεσμα με τη μορφή ενός συνηθισμένου κλάσματος, για το οποίο πρέπει να το πολλαπλασιάσουμε επί 10 χιλιάδες (δείτε το υλικό για τη μετατροπή των κλασμάτων).

Απάντηση: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Μια ειδική περίπτωση είναι η αύξηση ενός αριθμού στην μείον πρώτη δύναμη. Η τιμή αυτού του βαθμού είναι ίση με το αντίστροφο της αρχικής τιμής της βάσης: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.

Παράδειγμα 8

Παράδειγμα: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Πώς να αυξήσετε έναν αριθμό σε κλασματική δύναμη

Για να εκτελέσουμε μια τέτοια πράξη, πρέπει να θυμόμαστε τον βασικό ορισμό ενός βαθμού με κλασματικό εκθέτη: a m n = a m n για κάθε θετικό a, ακέραιο m και φυσικό n.

Ορισμός 2

Έτσι, ο υπολογισμός μιας κλασματικής ισχύος πρέπει να εκτελεστεί σε δύο βήματα: αύξηση σε ακέραιο αριθμό και εύρεση της ρίζας της nης δύναμης.

Έχουμε την ισότητα a m n = a m n , η οποία, λαμβάνοντας υπόψη τις ιδιότητες των ριζών, χρησιμοποιείται συνήθως για την επίλυση προβλημάτων με τη μορφή a m n = a n m . Αυτό σημαίνει ότι αν υψώσουμε έναν αριθμό a σε κλασματική ισχύ m / n, τότε πρώτα παίρνουμε την ντη ρίζα του a, μετά ανεβάζουμε το αποτέλεσμα σε δύναμη με ακέραιο εκθέτη m.

Ας το διευκρινίσουμε με ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα 9

Υπολογίστε 8 - 2 3 .

Λύση

Μέθοδος 1: Σύμφωνα με τον βασικό ορισμό, μπορούμε να το αναπαραστήσουμε ως: 8 - 2 3 = 8 - 2 3

Τώρα ας υπολογίσουμε τον βαθμό κάτω από τη ρίζα και ας εξαγάγουμε την τρίτη ρίζα από το αποτέλεσμα: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Μέθοδος 2. Μετασχηματίστε τη βασική ισότητα: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2

Μετά από αυτό, εξάγουμε τη ρίζα 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 και τετραγωνίζουμε το αποτέλεσμα: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Βλέπουμε ότι οι λύσεις είναι πανομοιότυπες. Μπορείτε να το χρησιμοποιήσετε με όποιον τρόπο θέλετε.

Υπάρχουν περιπτώσεις που ο βαθμός έχει δείκτη που εκφράζεται ως μικτός αριθμός ή δεκαδικό κλάσμα. Για να απλοποιήσετε τους υπολογισμούς, είναι καλύτερο να το αντικαταστήσετε με ένα συνηθισμένο κλάσμα και να υπολογίσετε όπως υποδεικνύεται παραπάνω.

Παράδειγμα 10

Σηκώστε το 44, 89 στη δύναμη του 2, 5.

Λύση

Ας μετατρέψουμε την τιμή του δείκτη σε ένα συνηθισμένο κλάσμα - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

Τώρα εκτελούμε με τη σειρά όλες τις ενέργειες που υποδεικνύονται παραπάνω: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = 1 = 25107 501, 25107

Απάντηση: 13 501, 25107.

Εάν ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλασματικού εκθέτη περιέχουν μεγάλους αριθμούς, τότε ο υπολογισμός τέτοιων εκθετών με ορθολογικούς εκθέτες είναι μια αρκετά δύσκολη δουλειά. Συνήθως απαιτεί τεχνολογία υπολογιστών.

Ας σταθούμε χωριστά στις δυνάμεις με μηδενική βάση και κλασματικό εκθέτη. Σε μια έκφραση της μορφής 0 m n μπορεί να δοθεί η ακόλουθη έννοια: εάν m n > 0, τότε 0 m n = 0 m n = 0; αν m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Πώς να αυξήσετε έναν αριθμό σε μια παράλογη δύναμη

Η ανάγκη υπολογισμού της τιμής μιας δύναμης της οποίας ο εκθέτης είναι ένας παράλογος αριθμός δεν προκύπτει τόσο συχνά. Στην πράξη, η εργασία συνήθως περιορίζεται στον υπολογισμό μιας κατά προσέγγιση τιμής (μέχρι ένα ορισμένο αριθμό δεκαδικών ψηφίων). Αυτό συνήθως υπολογίζεται σε υπολογιστή λόγω της πολυπλοκότητας τέτοιων υπολογισμών, επομένως δεν θα σταθούμε λεπτομερώς σε αυτό, θα αναφέρουμε μόνο τις κύριες διατάξεις.

Αν πρέπει να υπολογίσουμε την τιμή μιας δύναμης α με παράλογο εκθέτη α, τότε παίρνουμε τη δεκαδική προσέγγιση του εκθέτη και μετράμε από αυτήν. Το αποτέλεσμα θα είναι μια κατά προσέγγιση απάντηση. Όσο πιο ακριβής είναι η δεκαδική προσέγγιση, τόσο πιο ακριβής είναι η απάντηση. Ας δείξουμε με ένα παράδειγμα:

Παράδειγμα 11

Υπολογίστε την κατά προσέγγιση τιμή του 21, 174367....

Λύση

Ας περιοριστούμε στη δεκαδική προσέγγιση a n = 1, 17. Ας κάνουμε τους υπολογισμούς χρησιμοποιώντας αυτόν τον αριθμό: 2 1, 17 ≈ 2, 250116. Αν πάρουμε, για παράδειγμα, την προσέγγιση a n = 1, 1743, τότε η απάντηση θα είναι λίγο πιο ακριβής: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Η αριθμομηχανή σάς βοηθά να αυξήσετε γρήγορα έναν αριθμό σε ισχύ στο διαδίκτυο. Η βάση του βαθμού μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αριθμός (και ακέραιοι και πραγματικοί). Ο εκθέτης μπορεί επίσης να είναι ακέραιος ή πραγματικός και μπορεί επίσης να είναι θετικός ή αρνητικός. Λάβετε υπόψη ότι για τους αρνητικούς αριθμούς, η αύξηση σε μια μη ακέραια ισχύ δεν είναι καθορισμένη, επομένως η αριθμομηχανή θα αναφέρει ένα σφάλμα εάν το επιχειρήσετε.

Αριθμομηχανή πτυχίου

Ανέβασε στην εξουσία

Εκπτώσεις: 28402

Τι είναι η φυσική δύναμη ενός αριθμού;

Ο αριθμός p ονομάζεται ν η δύναμη ενός αριθμού αν το p είναι ίσο με τον αριθμό a πολλαπλασιασμένο με τον εαυτό του n φορές: p = a n = a·...·a
n - κάλεσε εκθέτης, και ο αριθμός a είναι βάση πτυχίου.

Πώς να αυξήσετε έναν αριθμό σε μια φυσική δύναμη;

Για να κατανοήσετε πώς να αυξήσετε διάφορους αριθμούς σε φυσικές δυνάμεις, εξετάστε μερικά παραδείγματα:

Παράδειγμα 1. Ανεβάστε τον αριθμό τρία στην τέταρτη δύναμη. Δηλαδή, είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το 3 4
Λύση: όπως αναφέρθηκε παραπάνω, 3 4 = 3·3·3·3 = 81.
Απάντηση: 3 4 = 81 .

Παράδειγμα 2. Ανεβάστε τον αριθμό πέντε στην πέμπτη δύναμη. Δηλαδή, είναι απαραίτητο να υπολογίσετε το 5 5
Λύση: ομοίως, 5 5 = 5·5·5·5·5 = 3125.
Απάντηση: 5 5 = 3125 .

Έτσι, για να αυξήσετε έναν αριθμό σε μια φυσική δύναμη, χρειάζεται απλώς να τον πολλαπλασιάσετε από τον εαυτό του n φορές.

Ποια είναι η αρνητική δύναμη ενός αριθμού;

Η αρνητική δύναμη -n του a διαιρείται με το a στη δύναμη του n: a -n = .

Σε αυτή την περίπτωση, αρνητική ισχύς υπάρχει μόνο για μη μηδενικούς αριθμούς, αφού διαφορετικά θα γινόταν διαίρεση με το μηδέν.

Πώς να αυξήσετε έναν αριθμό σε αρνητική ακέραια δύναμη;

Για να αυξήσετε έναν μη μηδενικό αριθμό σε αρνητική ισχύ, πρέπει να υπολογίσετε την τιμή αυτού του αριθμού στην ίδια θετική ισχύ και να διαιρέσετε έναν με το αποτέλεσμα.

Παράδειγμα 1. Ανεβάστε τον αριθμό δύο στην αρνητική τέταρτη δύναμη. Δηλαδή, πρέπει να υπολογίσετε 2 -4

Λύση: όπως αναφέρθηκε παραπάνω, 2 -4 = = = 0,0625.

Απάντηση: 2 -4 = 0.0625 .