Έκφραση για τη μέση θερμοχωρητικότητα μιας ουσίας. Πραγματικές και μέσες θερμοχωρητικότητες

Οι πειραματικές τιμές των θερμοχωρητικοτήτων σε διάφορες θερμοκρασίες παρουσιάζονται με τη μορφή πινάκων, γραφημάτων και εμπειρικών συναρτήσεων.

Υπάρχουν πραγματικές και μέσες θερμοχωρητικότητες.

Η πραγματική θερμοχωρητικότητα C είναι η θερμοχωρητικότητα για μια δεδομένη θερμοκρασία.

Στους μηχανικούς υπολογισμούς, χρησιμοποιείται συχνά η μέση τιμή της θερμοχωρητικότητας σε ένα δεδομένο εύρος θερμοκρασίας (t1;t2).

Η μέση θερμοχωρητικότητα συμβολίζεται με δύο τρόπους: ,.

Το μειονέκτημα της τελευταίας ονομασίας είναι ότι το εύρος θερμοκρασίας δεν καθορίζεται.

Η πραγματική και η μέση θερμοχωρητικότητα σχετίζονται με τη σχέση:

Η πραγματική θερμοχωρητικότητα είναι το όριο στο οποίο τείνει η μέση θερμοχωρητικότητα, σε ένα δεδομένο εύρος θερμοκρασίας t1…t2, στο Δt=t2-t1

Η εμπειρία δείχνει ότι οι πραγματικές θερμικές ικανότητες των περισσότερων αερίων αυξάνονται με την αύξηση της θερμοκρασίας. Η φυσική εξήγηση αυτής της αύξησης είναι η εξής:

Είναι γνωστό ότι η θερμοκρασία ενός αερίου δεν σχετίζεται με τη δονητική κίνηση των ατόμων και των μορίων, αλλά εξαρτάται από την κινητική ενέργεια E k της μεταφορικής κίνησης των σωματιδίων. Αλλά καθώς αυξάνεται η θερμοκρασία, η θερμότητα που παρέχεται στο αέριο ανακατανέμεται όλο και περισσότερο προς όφελος της ταλαντευτικής κίνησης, δηλ. Η αύξηση της θερμοκρασίας με την ίδια παροχή θερμότητας επιβραδύνεται καθώς αυξάνεται η θερμοκρασία.

Τυπική εξάρτηση της θερμοχωρητικότητας από τη θερμοκρασία:

c=c 0 + at + bt 2 + dt 3 + … (82)

όπου c 0 , a, b, d είναι εμπειρικοί συντελεστές.

γ – Πραγματική θερμοχωρητικότητα, δηλ. τιμή της θερμοχωρητικότητας για μια δεδομένη θερμοκρασία T.

Για τη θερμοχωρητικότητα, η διπλοεγγύς καμπύλη είναι ένα πολυώνυμο με τη μορφή μιας σειράς σε δυνάμεις t.

Η καμπύλη προσαρμογής εκτελείται χρησιμοποιώντας ειδικές μεθόδους, για παράδειγμα, τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Η ουσία αυτής της μεθόδου είναι ότι όταν χρησιμοποιείται, όλα τα σημεία απέχουν περίπου ίση απόσταση από την προσεγγιστική καμπύλη.

Για τους μηχανικούς υπολογισμούς, κατά κανόνα, περιορίζονται στους δύο πρώτους όρους στη δεξιά πλευρά, δηλ. Ας υποθέσουμε ότι η εξάρτηση της θερμοχωρητικότητας από τη θερμοκρασία είναι γραμμική c=c 0 + στο (83)

Η μέση θερμοχωρητικότητα ορίζεται γραφικά ως η μεσαία γραμμή ενός σκιασμένου τραπεζοειδούς· όπως είναι γνωστό, η μέση γραμμή ενός τραπεζοειδούς ορίζεται ως το ήμισυ του αθροίσματος των βάσεων.

Οι τύποι εφαρμόζονται εάν η εμπειρική εξάρτηση είναι γνωστή.

Σε περιπτώσεις όπου η εξάρτηση της θερμοχωρητικότητας από τη θερμοκρασία δεν μπορεί να προσεγγιστεί ικανοποιητικά με την εξάρτηση c=c 0 +at, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο τύπο:

Αυτός ο τύπος χρησιμοποιείται σε περιπτώσεις όπου η εξάρτηση του c από το t είναι σημαντικά μη γραμμική.

Από τη μοριακή κινητική θεωρία των αερίων είναι γνωστό

U  = 12,56T, U  είναι η εσωτερική ενέργεια ενός kilomole ιδανικού αερίου.

Προηγουμένως λήφθηκε για ιδανικό αέριο:

, ,

Από το ληφθέν αποτέλεσμα προκύπτει ότι η θερμοχωρητικότητα που λαμβάνεται με τη χρήση MCT δεν εξαρτάται από τη θερμοκρασία.

Εξίσωση Mayer: c  p -c  v =R  ,

c  p =c  v +R  =12,56+8,31420,93.

Όπως και στην προηγούμενη περίπτωση για το MCT αερίων, η μοριακή ισοβαρική θερμοχωρητικότητα δεν εξαρτάται από τη θερμοκρασία.

Η έννοια του ιδανικού αερίου αντιστοιχεί περισσότερο σε μονοατομικά αέρια σε χαμηλές πιέσεις· στην πράξη, έχουμε να αντιμετωπίσουμε 2, 3... ατομικά αέρια. Για παράδειγμα, ο αέρας, ο οποίος κατά όγκο αποτελείται από 79% άζωτο (N 2), 21% οξυγόνο (O 2) (στους μηχανικούς υπολογισμούς, τα αδρανή αέρια δεν λαμβάνονται υπόψη λόγω της χαμηλής περιεκτικότητάς τους).

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο πίνακα για υπολογισμούς εκτίμησης:

μονατομικός
διατονικός
τριατομική

Για τα πραγματικά αέρια, σε αντίθεση με τα ιδανικά αέρια, οι θερμικές ικανότητες μπορεί να εξαρτώνται όχι μόνο από τη θερμοκρασία, αλλά και από τον όγκο και την πίεση του συστήματος.

Λαμβάνοντας υπόψη ότι η θερμοχωρητικότητα δεν είναι σταθερή, αλλά εξαρτάται από τη θερμοκρασία και άλλες θερμικές παραμέτρους, γίνεται διάκριση μεταξύ πραγματικής και μέσης θερμοχωρητικότητας. Η πραγματική θερμοχωρητικότητα εκφράζεται με την εξίσωση (2.2) για ορισμένες παραμέτρους της θερμοδυναμικής διεργασίας, δηλαδή σε μια δεδομένη κατάσταση του ρευστού εργασίας. Συγκεκριμένα, εάν θέλουν να τονίσουν την εξάρτηση της θερμοχωρητικότητας του ρευστού εργασίας από τη θερμοκρασία, τότε τη γράφουν ως , και την ειδική θερμοχωρητικότητα ως. Τυπικά, η πραγματική θερμοχωρητικότητα νοείται ως ο λόγος της στοιχειώδους ποσότητας θερμότητας που προσδίδεται σε ένα θερμοδυναμικό σύστημα σε οποιαδήποτε διεργασία προς την απειροελάχιστη αύξηση της θερμοκρασίας αυτού του συστήματος που προκαλείται από την εκπεμπόμενη θερμότητα. Θα υποθέσουμε ότι η πραγματική θερμοχωρητικότητα ενός θερμοδυναμικού συστήματος στη θερμοκρασία του συστήματος είναι ίση και η πραγματική ειδική θερμότητα του ρευστού εργασίας στη θερμοκρασία του είναι ίση. Στη συνέχεια, η μέση ειδική θερμοχωρητικότητα του ρευστού εργασίας όταν αλλάζει η θερμοκρασία του μπορεί να προσδιοριστεί ως εξής:

Συνήθως, οι πίνακες δίνουν μέσες τιμές θερμοχωρητικότητας για διάφορα εύρη θερμοκρασίας ξεκινώντας από. Επομένως, σε όλες τις περιπτώσεις που λαμβάνει χώρα μια θερμοδυναμική διεργασία στο εύρος θερμοκρασίας από έως το οποίο, η ποσότητα της ειδικής θερμότητας της διεργασίας προσδιορίζεται με τη χρήση πινακοποιημένων τιμών της μέσης θερμοχωρητικότητας ως εξής:

.

Οι τιμές της μέσης θερμικής ικανότητας και βρίσκονται από τους πίνακες.

2.3 Ικανότητες θερμότητας σε σταθερό όγκο και πίεση

Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι μέσες και πραγματικές θερμικές ικανότητες σε διεργασίες σε σταθερό όγκο ( ισοχωρική θερμοχωρητικότητα, ίση με την αναλογία της ειδικής ποσότητας θερμότητας σε μια ισοχωρική διεργασία προς τη μεταβολή της θερμοκρασίας του ρευστού εργασίας dT) και σε σταθερή πίεση ( ισοβαρική θερμοχωρητικότητα, ίση με την αναλογία της ειδικής ποσότητας θερμότητας σε μια ισοβαρή διεργασία προς τη μεταβολή της θερμοκρασίας του ρευστού εργασίας dT).

Για τα ιδανικά αέρια, η σχέση μεταξύ ισοβαρικής και ισοχωρικής θερμοχωρητικότητας καθορίζεται από τη γνωστή εξίσωση Mayer.

Από την εξίσωση του Mayer προκύπτει ότι η ισοβαρική θερμοχωρητικότητα είναι μεγαλύτερη από την ισοχωρική θερμοχωρητικότητα κατά την τιμή της ειδικής χαρακτηριστικής σταθεράς ενός ιδανικού αερίου. Αυτό εξηγείται από το γεγονός ότι σε μια ισοχωρική διαδικασία () δεν εκτελείται εξωτερική εργασία και η θερμότητα δαπανάται μόνο για την αλλαγή της εσωτερικής ενέργειας του ρευστού εργασίας, ενώ σε μια ισοβαρική διεργασία () η θερμότητα δαπανάται όχι μόνο για την αλλαγή της εσωτερικής ενέργειας του ρευστού εργασίας, ανάλογα με τη θερμοκρασία του, αλλά και για την εκτέλεση εξωτερικών εργασιών.

Για τα πραγματικά αέρια, δεδομένου ότι όταν διαστέλλονται, η εργασία γίνεται όχι μόνο ενάντια σε εξωτερικές δυνάμεις, αλλά και εσωτερική εργασία ενάντια στις δυνάμεις αλληλεπίδρασης μεταξύ μορίων αερίου, η οποία επιπλέον καταναλώνει θερμότητα.

Στη θερμική μηχανική χρησιμοποιείται ευρέως η αναλογία θερμικών ικανοτήτων, η οποία ονομάζεται αναλογία Poisson (αδιαβατικός δείκτης). Στον πίνακα Ο Πίνακας 2.1 δείχνει τις τιμές ορισμένων αερίων που ελήφθησαν πειραματικά σε θερμοκρασία 15 °C.

Οι θερμοχωρητικότητες εξαρτώνται από τη θερμοκρασία, επομένως, ο αδιαβατικός δείκτης θα πρέπει να εξαρτάται από τη θερμοκρασία.

Είναι γνωστό ότι με την αύξηση της θερμοκρασίας η θερμοχωρητικότητα αυξάνεται. Επομένως, με την αύξηση της θερμοκρασίας μειώνεται, πλησιάζοντας την ενότητα. Ωστόσο, απομένουν πάντα περισσότερα από ένα. Συνήθως, η εξάρτηση του αδιαβατικού δείκτη από τη θερμοκρασία εκφράζεται με έναν τύπο της μορφής

και από τότε

Ειδική, μοριακή και ογκομετρική θερμοχωρητικότητα. Αν και η θερμότητα που περιλαμβάνεται στις εξισώσεις PZT μπορεί θεωρητικά να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα της μικροεργασίας που εκτελείται κατά τη σύγκρουση μικροσωματιδίων στα όρια του συστήματος χωρίς την εμφάνιση μακροδυνάμεων και μακροκινήσεων, στην πράξη αυτή η μέθοδος υπολογισμού θερμότητας είναι ελάχιστη και ιστορικά Η θερμότητα προσδιορίστηκε αναλογικά με τη μεταβολή της θερμοκρασίας του σώματος dT και μια ορισμένη τιμή C του σώματος, που χαρακτηρίζει την περιεκτικότητα μιας ουσίας στο σώμα και την ικανότητά της να συσσωρεύει θερμική κίνηση (θερμότητα),

Q = C σώμα dT. (2.36)

Μέγεθος

Σώμα C = Q/dT; = 1 J/K, (2,37)

ίση με την αναλογία της στοιχειώδους θερμότητας Q που προσδίδεται στο σώμα προς τη μεταβολή της θερμοκρασίας του σώματος dT ονομάζεται (αληθινή) θερμοχωρητικότητα του σώματος. Η θερμοχωρητικότητα ενός σώματος είναι αριθμητικά ίση με τη θερμότητα που απαιτείται για να αλλάξει η θερμοκρασία του σώματος κατά ένα βαθμό.

Δεδομένου ότι η θερμοκρασία του σώματος αλλάζει όταν εκτελείται η εργασία, η εργασία, κατ' αναλογία με τη θερμότητα (4.36), μπορεί επίσης να προσδιοριστεί μέσω μιας αλλαγής στη θερμοκρασία του σώματος (αυτή η μέθοδος υπολογισμού της εργασίας έχει ορισμένα πλεονεκτήματα κατά τον υπολογισμό της σε πολυτροπικές διεργασίες):

W = C w dT. (2.38)

C w = dW/dT = pdV / dT, (2,39)

ίση με την αναλογία του έργου που παρέχεται (αφαιρείται) στο σώμα προς τη μεταβολή της θερμοκρασίας του σώματος, κατ' αναλογία με τη θερμοχωρητικότητα, μπορούμε να ονομάσουμε «εργατική ικανότητα του σώματος». Ο όρος «εργατική ικανότητα» είναι εξίσου συμβατικός με τον όρος «θερμοχωρητικότητα». Ο όρος «θερμοχωρητικότητα» (χωρητικότητα για θερμότητα) - ως φόρος τιμής στην πραγματική θεωρία της θερμότητας (θερμιδική) - εισήχθη για πρώτη φορά από τον Joseph Black (1728-1779) στη δεκαετία του '60 του 18ου αιώνα. στις διαλέξεις του (οι ίδιες οι διαλέξεις δημοσιεύτηκαν μόνο μετά θάνατον το 1803)..

Η ειδική θερμοχωρητικότητα c (μερικές φορές ονομάζεται μάζα ή ειδική θερμοχωρητικότητα μάζας, η οποία είναι ξεπερασμένη) είναι ο λόγος της θερμοχωρητικότητας ενός σώματος προς τη μάζα του:

c = Stele / m = dQ / (m dT) = dq / dT; [c] = 1 J /(kgK), (2,40)

όπου dq = dQ / m - ειδική θερμότητα, J / kg.

Η ειδική θερμοχωρητικότητα είναι αριθμητικά ίση με τη θερμότητα που πρέπει να παρέχεται σε μια ουσία μοναδιαίας μάζας προκειμένου να αλλάξει η θερμοκρασία της κατά ένα βαθμό.

Μοριακή θερμοχωρητικότητα είναι ο λόγος της θερμοχωρητικότητας ενός σώματος προς την ποσότητα της ουσίας (μοριακότητα) αυτού του σώματος:

C m = C σώμα / m, = 1 J / (molK). (2.41)

Η ογκομετρική θερμοχωρητικότητα είναι ο λόγος της θερμοχωρητικότητας ενός σώματος προς τον όγκο του μειωμένου σε κανονικές φυσικές συνθήκες (p 0 = 101325 Pa = 760 mm Hg, T 0 = 273,15 K (0 o C)):

c" = σώμα C / V 0 , = 1 J / (m 3 K). (2,42)

Στην περίπτωση ενός ιδανικού αερίου, ο όγκος του υπό κανονικές φυσικές συνθήκες υπολογίζεται από την εξίσωση της κατάστασης (1.28)

V 0 = mRT 0 / p 0 . (2.43)

Η μοριακή θερμοχωρητικότητα είναι ο λόγος της θερμοχωρητικότητας ενός σώματος προς τον αριθμό των μορίων αυτού του σώματος:

c m = C σώμα / N; = 1 J/K. (2,44)

Η σύνδεση μεταξύ διαφορετικών τύπων θερμοχωρητικοτήτων δημιουργείται με την από κοινού επίλυση των σχέσεων (2.40) - (2.44) για τις θερμοχωρητικότητες. Η σχέση μεταξύ ειδικής και μοριακής θερμικής ικανότητας καθορίζεται από την ακόλουθη σχέση:

c = C σώμα / m = C m. m/m = C m / (m/m) = C m /M, (2,45)

όπου M = m / m - μοριακή μάζα της ουσίας, kg / mol.

Δεδομένου ότι οι πινακικές τιμές για τις μοριακές θερμοχωρητικότητες δίνονται συχνότερα, η σχέση (2.45) θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό των τιμών των ειδικών θερμοχωρητικοτήτων μέσω των μοριακών θερμοχωρητικοτήτων.

Η σχέση μεταξύ ογκομετρικής και ειδικής θερμοχωρητικότητας καθορίζεται από τη σχέση

c" = σώμα C / V 0 = cm / V 0 = c 0 , (2,46)

όπου 0 = m / V 0 - πυκνότητα αερίου υπό κανονικές φυσικές συνθήκες (για παράδειγμα, πυκνότητα αέρα υπό κανονικές συνθήκες

0 = p 0 /(RT 0) = 101325 / (287273,15) = 1,29 kg / m 3).

Η σχέση μεταξύ ογκομετρικής και μοριακής θερμοχωρητικότητας καθορίζεται από τη σχέση

c" = C σώμα / V 0 = C m m / V 0 = C m / (V 0 / m) = C m / V m0, (2,47)

όπου V 0 = V 0 / m = 22,4141 m 3 / kmol - μοριακός όγκος μειωμένος σε NFU.

Στο μέλλον, όταν εξετάζουμε γενικές διατάξεις για όλους τους τύπους θερμοχωρητικοτήτων, θα θεωρούμε ως αρχική την ειδική θερμοχωρητικότητα, την οποία, για να συντομεύσουμε τον συμβολισμό, θα ονομάζουμε απλώς θερμοχωρητικότητα και την αντίστοιχη ειδική θερμότητα - απλώς θερμότητα.

Πραγματική και μέση θερμοχωρητικότητα. Η θερμοχωρητικότητα ενός ιδανικού αερίου εξαρτάται από τη θερμοκρασία c = c (T), και αυτή ενός πραγματικού αερίου εξαρτάται επίσης από την πίεση c = c (T, p). Με βάση αυτό το κριτήριο, διακρίνονται η πραγματική και η μέση θερμοχωρητικότητα. Για αέρια με χαμηλή πίεση και υψηλή θερμοκρασία, η εξάρτηση της θερμοχωρητικότητας από την πίεση αποδεικνύεται αμελητέα.

Η πραγματική θερμοχωρητικότητα αντιστοιχεί σε μια ορισμένη θερμοκρασία σώματος (θερμοχωρητικότητα σε ένα σημείο), αφού προσδιορίζεται με μια απειροελάχιστη μεταβολή της θερμοκρασίας του σώματος dT

c = dq / dT. (2.48)

Συχνά στους θερμοτεχνικούς υπολογισμούς η μη γραμμική εξάρτηση της πραγματικής θερμοχωρητικότητας από τη θερμοκρασία αντικαθίσταται από μια γραμμική εξάρτηση κοντά σε αυτήν

c = b 0 + b 1 t = c 0 + bt, (2,49)

όπου c 0 = b 0 - θερμοχωρητικότητα σε θερμοκρασία Κελσίου t = 0 o C.

Η στοιχειώδης ειδική θερμότητα μπορεί να προσδιοριστεί από την έκφραση (4.48) για ειδική θερμοχωρητικότητα:

dq = c dT. (2,50)

Γνωρίζοντας την εξάρτηση της πραγματικής θερμοχωρητικότητας από τη θερμοκρασία c = c(t), μπορούμε να προσδιορίσουμε τη θερμότητα που παρέχεται στο σύστημα σε ένα πεπερασμένο εύρος θερμοκρασίας ενσωματώνοντας την έκφραση (2.53) από την αρχική κατάσταση 1 στην τελική κατάσταση 2,

Σύμφωνα με τη γραφική αναπαράσταση του ολοκληρώματος, αυτή η θερμότητα αντιστοιχεί σε μια περιοχή 122"1" κάτω από την καμπύλη c = f(t) (Εικ. 4.4).

Εικόνα 2.4 - Στην έννοια της πραγματικής και της μέσης θερμοχωρητικότητας

Η περιοχή ενός καμπύλου τραπεζοειδούς 122"1", που αντιστοιχεί στη θερμότητα q 1-2, μπορεί να αντικατασταθεί από την ισοδύναμη περιοχή ενός ορθογωνίου 1"342" με βάση DT = T 2 - T 1 = t 2 - t 1 και ύψος: .

Η τιμή που καθορίζεται από την έκφραση

και θα είναι η μέση θερμοχωρητικότητα της ουσίας στο εύρος θερμοκρασίας από t 1 έως t 2.

Εάν η εξάρτηση (2.52) για την πραγματική θερμοχωρητικότητα αντικατασταθεί στην έκφραση (2.55) για τη μέση θερμοχωρητικότητα και ενσωματωθεί σε θερμοκρασία, λαμβάνουμε

Co + b(t1 + t2) / 2 = , (2,53)

όπου t cp = (t 1 + t 2)/2 είναι η μέση θερμοκρασία Κελσίου στο εύρος θερμοκρασίας από t 1 έως t 2.

Έτσι, σύμφωνα με το (2.56), η μέση θερμοχωρητικότητα στην περιοχή θερμοκρασίας από t 1 έως t 2 μπορεί να προσδιοριστεί κατά προσέγγιση ως η πραγματική θερμοχωρητικότητα που υπολογίζεται από τη μέση θερμοκρασία t cp για ένα δεδομένο διάστημα θερμοκρασίας.

Για τη μέση θερμοχωρητικότητα στην περιοχή θερμοκρασίας από 0 o C (t 1 = 0) έως t, η εξάρτηση (2,56) έχει τη μορφή

C o + (b / 2)t = c o + b"t. (2.54)

Κατά τον υπολογισμό των ειδικών θερμοτήτων που απαιτούνται για τη θέρμανση ενός αερίου από 0 o C σε t 1 και t 2, χρησιμοποιώντας πίνακες όπου κάθε θερμοκρασία t αντιστοιχεί στη μέση θερμοχωρητικότητα, χρησιμοποιούνται οι ακόλουθες σχέσεις:

q 0-1 = t 1 και q 0-2 = t 2

(στο Σχ. 4.4 αυτές οι θερμότητες απεικονίζονται ως οι περιοχές των σχημάτων 0511" και 0522") και για τον υπολογισμό της παρεχόμενης θερμότητας στο εύρος θερμοκρασίας από t 1 έως t 2, χρησιμοποιείται η σχέση

q 1-2 = q 0-2 - q 0-1 = t 2 - t 1 = (t 2 - t 1).

Από αυτή την έκφραση μπορούμε να βρούμε τη μέση θερμική ικανότητα του αερίου στο εύρος θερμοκρασίας από t 1 έως t 2:

= = (t 2 - t 1) / (t 2 - t 1). (2,55)

Επομένως, για να βρεθεί η μέση θερμοχωρητικότητα στο εύρος θερμοκρασίας από t 1 έως t 2 χρησιμοποιώντας τον τύπο (2.59), πρέπει πρώτα να προσδιοριστεί η μέση θερμοχωρητικότητα και χρησιμοποιώντας τους αντίστοιχους πίνακες. Μετά τον υπολογισμό της μέσης θερμικής ικανότητας για μια δεδομένη διεργασία, η παρεχόμενη θερμότητα προσδιορίζεται από τον τύπο

q 1-2 = (t 2 - t 1). (2,56)

Εάν το εύρος των αλλαγών θερμοκρασίας είναι μικρό, τότε η εξάρτηση της πραγματικής θερμοχωρητικότητας από τη θερμοκρασία είναι κοντά στη γραμμική και η θερμότητα μπορεί να υπολογιστεί ως το γινόμενο της πραγματικής θερμοχωρητικότητας c(t cp), που προσδιορίζεται για τη μέση θερμοκρασία αερίου ? t cp σε μια δεδομένη περιοχή θερμοκρασίας, με διαφορά θερμοκρασίας:

q 1-2 = = . (2,57)

Αυτός ο υπολογισμός της θερμότητας είναι ισοδύναμος με τον υπολογισμό του εμβαδού του τραπεζοειδούς 1"1""22" (βλ. Εικ. 2.4) ως το γινόμενο της μέσης γραμμής του τραπεζοειδούς c(t cp) και του ύψους του DT.

Η πραγματική θερμοχωρητικότητα στη μέση θερμοκρασία t cp σύμφωνα με το (4.56) έχει τιμή κοντά στη μέση θερμοχωρητικότητα σε αυτό το εύρος θερμοκρασίας.

Για παράδειγμα, σύμφωνα με τον πίνακα Γ.4, η μέση γραμμομοριακή ισοχορική θερμοχωρητικότητα στο εύρος θερμοκρασίας από 0 έως 1000 o C = 23,283 kJ / (kmol.K), και η πραγματική γραμμομοριακή ισοχορική θερμοχωρητικότητα που αντιστοιχεί στη μέση θερμοκρασία του 500 o C για αυτό το διάστημα θερμοκρασίας είναι C mv = 23.316 kJ/(kmol.K). Η διαφορά μεταξύ αυτών των θερμικών ικανοτήτων δεν υπερβαίνει το 0,2%.

Ισοχωρική και ισοβαρική θερμοχωρητικότητα. Τις περισσότερες φορές στην πράξη, χρησιμοποιούνται οι θερμοχωρητικότητες των ισοχωρικών και ισοβαρών διεργασιών, που εμφανίζονται σε σταθερό ειδικό όγκο x = const και πίεση p = const, αντίστοιχα. Αυτές οι ειδικές θερμοχωρητικότητες ονομάζονται ισοχορικές cv και ισοβαρικές c p θερμοχωρητικότητες, αντίστοιχα. Χρησιμοποιώντας αυτές τις θερμικές ικανότητες, μπορούν να υπολογιστούν οποιοσδήποτε άλλος τύπος θερμικής ικανότητας.

Έτσι, ένα ιδανικό αέριο είναι ένα φανταστικό αέριο (μοντέλο αερίου), η κατάσταση του οποίου αντιστοιχεί ακριβώς στην εξίσωση κατάστασης Clapeyron και η εσωτερική ενέργεια εξαρτάται μόνο από τη θερμοκρασία.

Σε σχέση με ένα ιδανικό αέριο, αντί των μερικών παραγώγων (4.66) και (4.71), θα πρέπει να ληφθούν συνολικά παράγωγα:

c x = du/dT; (2,58)

c p = dh / dT. (2,59)

Από αυτό προκύπτει ότι τα c x και c p για ένα ιδανικό αέριο, όπως το u και το h, εξαρτώνται μόνο από τη θερμοκρασία.

Στην περίπτωση σταθερών θερμοχωρητικοτήτων, η εσωτερική ενέργεια και η ενθαλπία ενός ιδανικού αερίου προσδιορίζονται από τις εκφράσεις:

U = c x mT και u = c x T; (2,60)

H = c p mT και h = c p T. (2,61)

Κατά τον υπολογισμό της καύσης αερίων, η ογκομετρική ενθαλπία, J/m 3, χρησιμοποιείται ευρέως,

h" = H/V 0 = c p mT/V 0 = c p c 0 T = c" p T, (2,62)

όπου c"p = cp c0 - ογκομετρική ισοβαρική θερμοχωρητικότητα, J/(m 3 .K).

Η εξίσωση του Mayer. Ας δημιουργήσουμε μια σύνδεση μεταξύ των θερμοχωρητικοτήτων ενός ιδανικού αερίου c x και c p. Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιούμε την εξίσωση PZT (4.68) για ένα ιδανικό αέριο κατά τη διάρκεια μιας ισοβαρικής διεργασίας

dq p = c p dT = du + pdх = c x dT + pdх. (2.63)

Πού βρίσκουμε τη διαφορά στις θερμοχωρητικότητες;

c p - c x = pdx / dT = p (x / T) p = dw p / dT (2,64)

(αυτή η σχέση για ένα ιδανικό αέριο είναι μια ειδική περίπτωση της σχέσης (2.75) για ένα πραγματικό αέριο).

Διαφοροποιώντας την εξίσωση Clapeyron της κατάστασης d(pх) p = R dT υπό την συνθήκη σταθερής πίεσης, λαμβάνουμε

dx / dT = R / p. (2,65)

Αντικαθιστώντας αυτή τη σχέση με την εξίσωση (2.83), λαμβάνουμε

c p - c x = R. (2,66)

Πολλαπλασιάζοντας όλες τις ποσότητες σε αυτή τη σχέση με τη μοριακή μάζα M, προκύπτει παρόμοια σχέση για τις μοριακές θερμοχωρητικότητες

cm p - cm x = Rm. (2,67)

Οι σχέσεις (2.65) και (2.66) ονομάζονται τύποι (εξισώσεις) του Mayer για ένα ιδανικό αέριο. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι ο Mayer χρησιμοποίησε την εξίσωση (2.65) για να υπολογίσει το μηχανικό ισοδύναμο της θερμότητας.

Ο λόγος των θερμοχωρητικοτήτων c p / c x. Στη θερμοδυναμική και τις εφαρμογές της, μεγάλη σημασία έχει όχι μόνο η διαφορά στις θερμοχωρητικότητες c p και c x, που προσδιορίζεται από την εξίσωση Mayer, αλλά και η αναλογία τους c p / c x, η οποία στην περίπτωση ενός ιδανικού αερίου είναι ίση με την αναλογία θερμότητα στη μεταβολή του HE σε μια ισοβαρή διεργασία, δηλαδή ο λόγος είναι χαρακτηριστικό μιας ισοβαρικής διεργασίας:

k p = k X = dq p / du = c p dT / = c p dT / c x dT = c p / c x.

Συνεπώς, εάν στη διαδικασία αλλαγής της κατάστασης ενός ιδανικού αερίου, ο λόγος της θερμότητας προς τη μεταβολή του HE είναι ίσος με τον λόγο c p /c x, τότε αυτή η διαδικασία θα είναι ισόβαρη.

Δεδομένου ότι αυτός ο λόγος χρησιμοποιείται συχνά και περιλαμβάνεται ως εκθέτης στην εξίσωση της αδιαβατικής διαδικασίας, συνήθως συμβολίζεται με το γράμμα k (χωρίς δείκτη) και ονομάζεται αδιαβατικός εκθέτης

k = dq p / du = c p / c x = C m p / Cm x = c" p /c" x. (2,68)

Οι τιμές των πραγματικών θερμοχωρητικοτήτων και ο λόγος k ορισμένων αερίων σε ιδανική κατάσταση (σε p > 0 και T C = 0 o C) δίνονται στον Πίνακα 3.1.

Πίνακας 3.1 - Μερικά χαρακτηριστικά ιδανικών αερίων

	Χημική φόρμουλα
	kJ/(kmolK)
υδρατμούς
Μονοξείδιο του άνθρακα
Οξυγόνο
Διοξείδιο του άνθρακα
Διοξείδιο του θείου
Ατμοί υδραργύρου

Κατά μέσο όρο για όλα τα αέρια της ίδιας ατομικότητας, είναι γενικά αποδεκτό ότι για τα μονοατομικά αέρια k? 1,67, για διατομικό k ? 1,40, για τριατομικό k ? 1,29 (για τους υδρατμούς λαμβάνεται συχνά η ακριβής τιμή k = 1,33).

Λύνοντας τις (2.65) και (2.67) μαζί, μπορούμε να εκφράσουμε τις θερμοχωρητικότητες με όρους k και R:

Λαμβάνοντας υπόψη το (2,69), η εξίσωση (2,50) για τη συγκεκριμένη ενθαλπία παίρνει τη μορφή

h = c p T = . (2.71)

Για διατομικά και πολυατομικά ιδανικά αέρια, το k εξαρτάται από τη θερμοκρασία: k = f(T). Σύμφωνα με την εξίσωση (2.58)

k = 1 + R / c x = 1 + Rm / Cm x. (2,72)

Θερμοχωρητικότητα του μείγματος αερίων. Για να προσδιοριστεί η θερμοχωρητικότητα ενός μείγματος αερίων, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τη σύνθεση του μείγματος, η οποία μπορεί να προσδιοριστεί με κλάσματα μάζας g i, μοριακά x i ή όγκου r i, καθώς και τις τιμές των θερμοχωρητικοτήτων του συστατικά μείγματος, τα οποία λαμβάνονται από τους πίνακες για τα αντίστοιχα αέρια.

Η ειδική θερμοχωρητικότητα ενός μείγματος που αποτελείται από N συστατικά για ισοδιεργασίες X = x, p = const προσδιορίζεται μέσω κλασμάτων μάζας σύμφωνα με τον τύπο

cXcm = . (2,73)

Η γραμμομοριακή θερμοχωρητικότητα ενός μείγματος προσδιορίζεται με βάση τα μοριακά κλάσματα

Η ογκομετρική θερμοχωρητικότητα του μείγματος προσδιορίζεται μέσω των κλασμάτων όγκου σύμφωνα με τον τύπο

Για τα ιδανικά αέρια, τα μοριακά κλάσματα και τα κλάσματα όγκου είναι ίσα: x i = r i.

Υπολογισμός θερμότητας μέσω θερμοχωρητικότητας. Ακολουθούν οι τύποι για τον υπολογισμό της θερμότητας σε διάφορες διαδικασίες:

α) μέσω της μέσης ειδικής θερμοχωρητικότητας και μάζας m

β) μέσω της μέσης μοριακής θερμοχωρητικότητας και της ποσότητας της ουσίας m

γ) μέσω της μέσης ογκομετρικής θερμοχωρητικότητας και του όγκου V 0 μειωμένη σε κανονικές συνθήκες,

δ) μέσω της μέσης μοριακής θερμοχωρητικότητας και του αριθμού των μορίων Ν

όπου DT = T 2 - T 1 = t 2 - t 1 - αλλαγή στη θερμοκρασία του σώματος.

Μέση θερμοχωρητικότητα στο εύρος θερμοκρασίας από t 1 έως t 2.

c(t cp) - πραγματική θερμοχωρητικότητα, προσδιοριζόμενη για τη μέση θερμοκρασία σώματος t cp = (t 1 + t 2)/2.

Χρησιμοποιώντας τον Πίνακα Γ.4 των θερμοχωρητικοτήτων του αέρα, βρίσκουμε τις μέσες θερμοχωρητικότητες: = = 1,0496 kJ / (kgK); = 1,1082 kJ / (kgK). Η μέση θερμοχωρητικότητα σε αυτό το εύρος θερμοκρασίας προσδιορίζεται από τον τύπο (4.59)

= (1,10821200 - 1,0496600) / 600 = 1,1668 kJ / (kgK),

όπου DT = 1200 - 600 = 600 K.

Ειδική θερμότητα μέσω μέσης θερμοχωρητικότητας σε δεδομένο εύρος θερμοκρασίας = 1,1668600 = 700,08 kJ/kg.

Τώρα ας προσδιορίσουμε αυτή τη θερμότητα χρησιμοποιώντας τον κατά προσέγγιση τύπο (4.61) μέσω της πραγματικής θερμοχωρητικότητας c(t cp), που προσδιορίζεται για τη μέση θερμοκρασία θέρμανσης t cp = (t 1 + t 2)/2 = (600 + 1200) / 2 = 900 o C.

Η πραγματική θερμοχωρητικότητα του αέρα c p για 900 o C σύμφωνα με τον πίνακα Γ.1 είναι ίση με 1,1707 kJ/(kgK).

Στη συνέχεια η ειδική θερμότητα μέσω της πραγματικής θερμοχωρητικότητας στη μέση θερμοκρασία παροχής θερμότητας

q p = c p (t cp) = c p (900) DT = 1,1707600 = 702,42 kJ/kg.

Το σχετικό σφάλμα στον υπολογισμό της θερμότητας χρησιμοποιώντας έναν κατά προσέγγιση τύπο μέσω της πραγματικής θερμοχωρητικότητας σε μια μέση θερμοκρασία θέρμανσης είναι e(q p) = 0,33%.

Επομένως, εάν έχετε έναν πίνακα πραγματικών θερμοχωρητικοτήτων, η ειδική θερμότητα υπολογίζεται πιο εύκολα χρησιμοποιώντας τον τύπο (4.61) μέσω της πραγματικής θερμοχωρητικότητας που λαμβάνεται στη μέση θερμοκρασία θέρμανσης.