Η περιστροφή είναι ένας τυπικός τύπος μηχανικής κίνησης που συναντάται συχνά στη φύση και την τεχνολογία. Οποιαδήποτε περιστροφή συμβαίνει ως αποτέλεσμα της επίδρασης κάποιας εξωτερικής δύναμης στο υπό εξέταση σύστημα. Αυτή η δύναμη δημιουργεί το λεγόμενο Τι είναι, από τι εξαρτάται, συζητείται στο άρθρο.
Διαδικασία περιστροφής
Πριν εξετάσουμε την έννοια της ροπής, ας χαρακτηρίσουμε τα συστήματα στα οποία μπορεί να εφαρμοστεί αυτή η έννοια. Ένα σύστημα περιστροφής προϋποθέτει την παρουσία ενός άξονα γύρω από τον οποίο εκτελείται κυκλική κίνηση ή περιστροφή. Η απόσταση από αυτόν τον άξονα έως τα υλικά σημεία του συστήματος ονομάζεται ακτίνα περιστροφής.
Από την άποψη της κινηματικής, η διαδικασία χαρακτηρίζεται από τρία γωνιακά μεγέθη:
- γωνία περιστροφής θ (μετρούμενη σε ακτίνια).
- γωνιακή ταχύτητα ω (μετρούμενη σε ακτίνια ανά δευτερόλεπτο).
- γωνιακή επιτάχυνση α (μετρούμενη σε ακτίνια ανά τετραγωνικό δευτερόλεπτο).
Αυτές οι ποσότητες συνδέονται μεταξύ τους με τις ακόλουθες ισότητες:
Παραδείγματα περιστροφής στη φύση είναι οι κινήσεις των πλανητών στις τροχιές τους και γύρω από τους άξονές τους, και οι κινήσεις των ανεμοστρόβιλων. Στην καθημερινή ζωή και την τεχνολογία, η εν λόγω κίνηση είναι χαρακτηριστική για κινητήρες κινητήρα, κλειδιά, γερανούς κατασκευής, ανοιγόμενες πόρτες κ.λπ.
Προσδιορισμός ροπής δύναμης
Ας περάσουμε τώρα στο άμεσο θέμα του άρθρου. Σύμφωνα με τον φυσικό ορισμό, είναι το διανυσματικό γινόμενο του διανύσματος εφαρμογής της δύναμης σε σχέση με τον άξονα περιστροφής και το διάνυσμα της ίδιας της δύναμης. Η αντίστοιχη μαθηματική έκφραση μπορεί να γραφτεί ως εξής:
Εδώ το διάνυσμα r¯ κατευθύνεται από τον άξονα περιστροφής στο σημείο εφαρμογής της δύναμης F¯.
Σε αυτόν τον τύπο για τη ροπή M¯, η δύναμη F¯ μπορεί να κατευθυνθεί με οποιοδήποτε τρόπο σε σχέση με την κατεύθυνση του άξονα. Ωστόσο, μια συνιστώσα δύναμης παράλληλη προς τον άξονα δεν θα παράγει περιστροφή εάν ο άξονας είναι σταθερά στερεωμένος. Στα περισσότερα προβλήματα της φυσικής, πρέπει να ληφθούν υπόψη οι δυνάμεις F¯, οι οποίες βρίσκονται σε επίπεδα κάθετα στον άξονα περιστροφής. Σε αυτές τις περιπτώσεις, η απόλυτη τιμή της ροπής μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:
|M¯| = |r¯|*|F¯|*sin(β).
Όπου β είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων r¯ και F¯.
Τι είναι η μόχλευση;
Ο μοχλός δύναμης παίζει σημαντικό ρόλο στον προσδιορισμό του μεγέθους της ροπής δύναμης. Για να καταλάβετε για τι πράγμα μιλάμε, λάβετε υπόψη το παρακάτω σχήμα.
Εδώ φαίνεται μια ράβδος μήκους L, η οποία στερεώνεται στο σημείο περιστροφής με ένα από τα άκρα της. Στο άλλο άκρο ασκείται μια δύναμη F που κατευθύνεται σε οξεία γωνία φ. Σύμφωνα με τον ορισμό της ροπής δύναμης, μπορούμε να γράψουμε:
M = F*L*sin(180 o -φ).
Η γωνία (180 o -φ) εμφανίστηκε επειδή το διάνυσμα L¯ κατευθύνεται από το σταθερό άκρο στο ελεύθερο. Λαμβάνοντας υπόψη την περιοδικότητα της τριγωνομετρικής συνάρτησης ημιτόνου, μπορούμε να ξαναγράψουμε αυτήν την ισότητα ως εξής:
Ας στρέψουμε τώρα την προσοχή μας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο χτισμένο στις πλευρές L, d και F. Με τον ορισμό της ημιτονοειδούς συνάρτησης, το γινόμενο της υποτείνουσας L και του ημιτόνου της γωνίας φ δίνει την τιμή του σκέλους d. Τότε φτάνουμε στην ισότητα:
Το γραμμικό μέγεθος d ονομάζεται μοχλός δύναμης. Είναι ίση με την απόσταση από το διάνυσμα δύναμης F¯ στον άξονα περιστροφής. Όπως φαίνεται από τον τύπο, η έννοια του μοχλού δύναμης είναι βολική στη χρήση κατά τον υπολογισμό της ροπής M. Ο τύπος που προκύπτει λέει ότι η μέγιστη ροπή για μια ορισμένη δύναμη F θα συμβεί μόνο όταν το μήκος του διανύσματος ακτίνας r¯ ( Το L¯ στο παραπάνω σχήμα) ισούται με το μοχλό δύναμης, δηλαδή, το r¯ και το F¯ θα είναι αμοιβαία κάθετα.
Κατεύθυνση δράσης της ποσότητας M¯
Φάνηκε παραπάνω ότι η ροπή είναι ένα διανυσματικό χαρακτηριστικό για ένα δεδομένο σύστημα. Πού κατευθύνεται αυτό το διάνυσμα; Η απάντηση σε αυτή την ερώτηση δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολη αν θυμηθούμε ότι το αποτέλεσμα του γινομένου δύο διανυσμάτων είναι ένα τρίτο διάνυσμα, το οποίο βρίσκεται σε άξονα κάθετο στο επίπεδο θέσης των αρχικών διανυσμάτων.
Απομένει να αποφασιστεί εάν η ροπή της δύναμης θα κατευθυνθεί προς τα πάνω ή προς τα κάτω (προς ή μακριά από τον αναγνώστη) σε σχέση με το αναφερόμενο επίπεδο. Αυτό μπορεί να προσδιοριστεί είτε από τον κανόνα gimlet είτε από τον κανόνα του δεξιού χεριού. Εδώ είναι και οι δύο κανόνες:
- Κανόνας του δεξιού χεριού. Εάν τοποθετήσετε το δεξί χέρι με τέτοιο τρόπο ώστε τα τέσσερα δάχτυλά του να κινούνται από την αρχή του διανύσματος r¯ στο τέλος του και μετά από την αρχή του διανύσματος F¯ στο άκρο του, τότε ο αντίχειρας που προεξέχει θα δείχνει προς την κατεύθυνση της στιγμής M¯.
- Ο κανόνας του gimlet. Εάν η φορά περιστροφής ενός φανταστικού στίχου συμπίπτει με την κατεύθυνση της περιστροφικής κίνησης του συστήματος, τότε η μεταφορική κίνηση του αυλακιού θα υποδεικνύει την κατεύθυνση του διανύσματος M¯. Θυμηθείτε ότι περιστρέφεται μόνο δεξιόστροφα.
Και οι δύο κανόνες είναι ίσοι, επομένως όλοι μπορούν να χρησιμοποιήσουν αυτόν που είναι πιο βολικός για αυτούς.
Κατά την επίλυση πρακτικών προβλημάτων, λαμβάνονται υπόψη διαφορετικές κατευθύνσεις ροπής (πάνω - κάτω, αριστερά - δεξιά) χρησιμοποιώντας τα σήματα "+" ή "-". Θα πρέπει να θυμόμαστε ότι η θετική φορά της στιγμής M¯ θεωρείται αυτή που οδηγεί στην περιστροφή του συστήματος αριστερόστροφα. Αντίστοιχα, εάν μια συγκεκριμένη δύναμη κάνει το σύστημα να περιστρέφεται προς την κατεύθυνση του ρολογιού, τότε η στιγμή που δημιουργεί θα έχει αρνητική τιμή.
Φυσική σημασία της ποσότητας M¯
Στη φυσική και τη μηχανική της περιστροφής, η τιμή M¯ καθορίζει την ικανότητα μιας δύναμης ή ενός αθροίσματος δυνάμεων να εκτελεί περιστροφή. Δεδομένου ότι ο μαθηματικός ορισμός της τιμής M¯ περιλαμβάνει όχι μόνο τη δύναμη, αλλά και το διάνυσμα ακτίνας της εφαρμογής της, είναι αυτό που καθορίζει σε μεγάλο βαθμό τη σημειωθείσα περιστροφική ικανότητα. Για να γίνει πιο σαφές για ποιο είδος ικανότητας μιλάμε, ακολουθούν μερικά παραδείγματα:
- Κάθε άνθρωπος, τουλάχιστον μία φορά στη ζωή του, προσπάθησε να ανοίξει μια πόρτα, όχι πιάνοντας το χερούλι, αλλά σπρώχνοντάς το κοντά στους μεντεσέδες. Στην τελευταία περίπτωση, πρέπει να καταβάλετε σημαντική προσπάθεια για να επιτύχετε το επιθυμητό αποτέλεσμα.
- Για να ξεβιδώσετε το παξιμάδι από ένα μπουλόνι, χρησιμοποιήστε ειδικά κλειδιά. Όσο μακρύτερο είναι το κλειδί, τόσο πιο εύκολο είναι να ξεβιδώσετε το παξιμάδι.
- Για να νιώσουν τη σημασία του μοχλού δύναμης, προσκαλούμε τους αναγνώστες να κάνουν το ακόλουθο πείραμα: πάρτε μια καρέκλα και προσπαθήστε να την κρατήσετε κρεμασμένη με το ένα χέρι, στη μία περίπτωση ακουμπήστε το χέρι σας στο σώμα σας, στην άλλη - εκτελέστε την εργασία με ένα ίσιο χέρι. Το τελευταίο θα είναι αδύνατο έργο για πολλούς, αν και το βάρος της καρέκλας παραμένει το ίδιο.
Μονάδες ροπής
Θα πρέπει επίσης να ειπωθούν λίγα λόγια για τις μονάδες SI στις οποίες μετράται η ροπή. Σύμφωνα με τον τύπο που έχει γραφτεί για αυτό, μετριέται σε Newton ανά μέτρο (N*m). Ωστόσο, αυτές οι μονάδες μετρούν επίσης το έργο και την ενέργεια στη φυσική (1 N*m = 1 joule). Το τζάουλ για τη στιγμή M¯ δεν ισχύει, αφού το έργο είναι ένα βαθμωτό μέγεθος, ενώ το M¯ είναι ένα διάνυσμα.
Ωστόσο, η σύμπτωση μονάδων ροπής δύναμης με μονάδες ενέργειας δεν είναι τυχαία. Η εργασία που γίνεται για την περιστροφή του συστήματος, που εκτελείται από τη στιγμή M, υπολογίζεται από τον τύπο:
Από αυτό διαπιστώνουμε ότι το M μπορεί επίσης να εκφραστεί σε τζάουλ ανά ακτίνιο (J/rad).
Δυναμική περιστροφής
Στην αρχή του άρθρου, καταγράψαμε τα κινηματικά χαρακτηριστικά που χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της περιστροφικής κίνησης. Στη δυναμική περιστροφής, η κύρια εξίσωση που χρησιμοποιεί αυτά τα χαρακτηριστικά είναι η εξής:
Η δράση της ροπής M σε ένα σύστημα που έχει ροπή αδράνειας Ι οδηγεί στην εμφάνιση γωνιακής επιτάχυνσης α.
Αυτός ο τύπος χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό των γωνιακών συχνοτήτων περιστροφής στην τεχνολογία. Για παράδειγμα, γνωρίζοντας τη ροπή ενός ασύγχρονου κινητήρα, η οποία εξαρτάται από τη συχνότητα του ρεύματος στο πηνίο του στάτορα και από το μέγεθος του μεταβαλλόμενου μαγνητικού πεδίου, καθώς και τη γνώση των αδρανειακών ιδιοτήτων του περιστρεφόμενου ρότορα, είναι δυνατό να προσδιοριστεί σε ποια ταχύτητα περιστροφής ω περιστρέφεται ο ρότορας του κινητήρα σε γνωστό χρόνο t.
Παράδειγμα λύσης προβλήματος
Ο αβαρής μοχλός, που έχει μήκος 2 μέτρα, έχει στήριγμα στη μέση. Τι βάρος πρέπει να τοποθετηθεί στο ένα άκρο του μοχλού ώστε να βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας εάν ένα φορτίο βάρους 10 kg βρίσκεται στην άλλη πλευρά του στηρίγματος σε απόσταση 0,5 μέτρων από αυτό;
Προφανώς, τι θα συμβεί εάν οι ροπές δύναμης που δημιουργούνται από τα φορτία είναι ίσες σε μέγεθος. Η δύναμη που δημιουργεί τη στιγμή σε αυτό το πρόβλημα είναι το βάρος του σώματος. Οι μοχλοί δύναμης είναι ίσοι με τις αποστάσεις από τα φορτία στο στήριγμα. Ας γράψουμε την αντίστοιχη ισότητα:
m 1 *g*d 1 = m 2 *g*d 2 =>
P 2 = m 2 *g = m 1 *g*d 1 /d 2 .
Λαμβάνουμε το βάρος P 2 αν αντικαταστήσουμε από τις συνθήκες του προβλήματος τις τιμές m 1 = 10 kg, d 1 = 0,5 m, d 2 = 1 m. Η γραπτή ισότητα δίνει την απάντηση: P 2 = 49,05 newton.
Ορισμός
Το διανυσματικό γινόμενο της ακτίνας - διανύσματος (), το οποίο σύρεται από το σημείο Ο (Εικ. 1) στο σημείο στο οποίο εφαρμόζεται η δύναμη στο ίδιο το διάνυσμα ονομάζεται ροπή δύναμης () ως προς το σημείο Ο:
Στο Σχ. 1, το σημείο Ο και το διάνυσμα δύναμης () και το διάνυσμα ακτίνας βρίσκονται στο επίπεδο του σχήματος. Στην περίπτωση αυτή, το διάνυσμα της ροπής της δύναμης () είναι κάθετο στο επίπεδο του σχεδίου και έχει διεύθυνση μακριά από εμάς. Το διάνυσμα της ροπής δύναμης είναι αξονικό. Η κατεύθυνση του διανύσματος της ροπής δύναμης επιλέγεται με τέτοιο τρόπο ώστε η περιστροφή γύρω από το σημείο Ο προς την κατεύθυνση της δύναμης και το διάνυσμα να δημιουργούν ένα δεξιόστροφο σύστημα. Η κατεύθυνση της ροπής των δυνάμεων και η γωνιακή επιτάχυνση συμπίπτουν.
Το μέγεθος του διανύσματος είναι:
όπου είναι η γωνία μεταξύ των κατευθύνσεων της ακτίνας και του διανύσματος δύναμης, είναι ο βραχίονας δύναμης σε σχέση με το σημείο Ο.
Ροπή δύναμης γύρω από τον άξονα
Η ροπή δύναμης σε σχέση με έναν άξονα είναι ένα φυσικό μέγεθος ίσο με την προβολή του διανύσματος της ροπής δύναμης σε σχέση με το σημείο του επιλεγμένου άξονα σε έναν δεδομένο άξονα. Σε αυτή την περίπτωση, η επιλογή του σημείου δεν έχει σημασία.
Η κύρια στιγμή της δύναμης
Η κύρια ροπή ενός συνόλου δυνάμεων σε σχέση με το σημείο Ο ονομάζεται διάνυσμα (ροπή δύναμης), που ισούται με το άθροισμα των ροπών όλων των δυνάμεων που δρουν στο σύστημα σε σχέση με το ίδιο σημείο:
Στην περίπτωση αυτή, το σημείο Ο ονομάζεται κέντρο αναγωγής του συστήματος δυνάμεων.
Εάν υπάρχουν δύο κύριες ροπές ( και ) για ένα σύστημα δυνάμεων για διαφορετικά δύο κέντρα δυνάμεων (Ο και Ο'), τότε σχετίζονται με την έκφραση:
όπου είναι το διάνυσμα ακτίνας, το οποίο σύρεται από το σημείο Ο στο σημείο Ο», είναι το κύριο διάνυσμα του συστήματος δυνάμεων.
Στη γενική περίπτωση, το αποτέλεσμα της δράσης ενός αυθαίρετου συστήματος δυνάμεων σε ένα στερεό σώμα είναι το ίδιο με το αποτέλεσμα στο σώμα της κύριας ροπής του συστήματος δυνάμεων και του κύριου διανύσματος του συστήματος δυνάμεων, που είναι εφαρμόζεται στο κέντρο της αναγωγής (σημείο Ο).
Βασικός νόμος της δυναμικής της περιστροφικής κίνησης
όπου είναι η γωνιακή ορμή ενός σώματος σε περιστροφή.
Για ένα συμπαγές σώμα αυτός ο νόμος μπορεί να αναπαρασταθεί ως:
όπου I είναι η ροπή αδράνειας του σώματος, και είναι η γωνιακή επιτάχυνση.
Μονάδες ροπής
Η βασική μονάδα μέτρησης της ροπής δύναμης στο σύστημα SI είναι: [M]=N m
Σε GHS: [M]=din cm
Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων
Παράδειγμα
Ασκηση.Το σχήμα 1 δείχνει ένα σώμα που έχει άξονα περιστροφής OO". Η ροπή της δύναμης που εφαρμόζεται στο σώμα σε σχέση με έναν δεδομένο άξονα θα είναι ίση με μηδέν; Ο άξονας και το διάνυσμα δύναμης βρίσκονται στο επίπεδο του σχήματος.
Λύση.Ως βάση για την επίλυση του προβλήματος, θα πάρουμε τον τύπο που καθορίζει τη στιγμή της δύναμης:
Στο διανυσματικό γινόμενο (μπορεί να φανεί από το σχήμα). Η γωνία μεταξύ του διανύσματος δύναμης και του διανύσματος ακτίνας θα είναι επίσης διαφορετική από το μηδέν (ή), επομένως, το γινόμενο του διανύσματος (1.1) δεν είναι ίσο με μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι η ροπή της δύναμης είναι διαφορετική από το μηδέν.
Απάντηση.
Παράδειγμα
Ασκηση.Η γωνιακή ταχύτητα ενός περιστρεφόμενου άκαμπτου σώματος αλλάζει σύμφωνα με το γράφημα που φαίνεται στο Σχ. 2. Σε ποιο από τα σημεία που φαίνονται στο γράφημα η ροπή των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα είναι ίση με μηδέν;
Που ισούται με το γινόμενο της δύναμης από τον ώμο του.
Η ροπή δύναμης υπολογίζεται με τον τύπο:
Οπου φά- δύναμη, μεγάλο- ώμος δύναμης.
Ώμος της εξουσίας- αυτή είναι η μικρότερη απόσταση από τη γραμμή δράσης της δύναμης μέχρι τον άξονα περιστροφής του σώματος. Το παρακάτω σχήμα δείχνει ένα άκαμπτο σώμα που μπορεί να περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα. Ο άξονας περιστροφής αυτού του σώματος είναι κάθετος στο επίπεδο του σχήματος και διέρχεται από το σημείο, το οποίο ορίζεται ως το γράμμα Ο. Ο ώμος της δύναμης Ftεδώ είναι η απόσταση μεγάλο, από τον άξονα περιστροφής μέχρι τη γραμμή δράσης της δύναμης. Ορίζεται έτσι. Το πρώτο βήμα είναι να σχεδιάσετε μια γραμμή δράσης της δύναμης, στη συνέχεια από το σημείο Ο, από το οποίο διέρχεται ο άξονας περιστροφής του σώματος, χαμηλώστε μια κάθετη στη γραμμή δράσης της δύναμης. Το μήκος αυτής της κάθετης αποδεικνύεται ότι είναι ο βραχίονας μιας δεδομένης δύναμης.
Η ροπή δύναμης χαρακτηρίζει την περιστροφική δράση μιας δύναμης. Αυτή η ενέργεια εξαρτάται τόσο από τη δύναμη όσο και από τη μόχλευση. Όσο μεγαλύτερος είναι ο βραχίονας, τόσο λιγότερη δύναμη πρέπει να ασκηθεί για να επιτευχθεί το επιθυμητό αποτέλεσμα, δηλαδή η ίδια ροπή δύναμης (βλ. παραπάνω σχήμα). Γι' αυτό είναι πολύ πιο δύσκολο να ανοίξεις μια πόρτα σπρώχνοντάς την κοντά στους μεντεσέδες παρά πιάνοντας τη λαβή και είναι πολύ πιο εύκολο να ξεβιδώσεις ένα παξιμάδι με μακρύ παρά με κοντό κλειδί.
Η μονάδα SI της ροπής δύναμης λαμβάνεται ως μια ροπή δύναμης 1 N, ο βραχίονας της οποίας είναι ίσος με 1 m - νιόνμετρο (N m).
Κανόνας στιγμών.
Ένα άκαμπτο σώμα που μπορεί να περιστρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα βρίσκεται σε ισορροπία εάν η ροπή της δύναμης Μ 1η περιστροφή του δεξιόστροφα είναι ίση με τη στιγμή της δύναμης Μ 2 , που το περιστρέφει αριστερόστροφα:
Ο κανόνας των ροπών είναι συνέπεια ενός από τα θεωρήματα της μηχανικής, που διατύπωσε ο Γάλλος επιστήμονας P. Varignon το 1687.
Μια δυο δυνάμεις.
Εάν σε ένα σώμα ασκούνται 2 ίσες και αντίθετα κατευθυνόμενες δυνάμεις που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία γραμμή, τότε ένα τέτοιο σώμα δεν βρίσκεται σε ισορροπία, αφού η ροπή αυτών των δυνάμεων που προκύπτει σε σχέση με οποιονδήποτε άξονα δεν είναι ίση με μηδέν, αφού και οι δύο δυνάμεις έχουν ροπές που κατευθύνονται προς την ίδια κατεύθυνση . Δύο τέτοιες δυνάμεις που δρουν ταυτόχρονα σε ένα σώμα ονομάζονται μια-δυο δυνάμεις. Εάν το σώμα είναι στερεωμένο σε έναν άξονα, τότε υπό τη δράση ενός ζεύγους δυνάμεων θα περιστραφεί. Εάν ασκηθούν δύο δυνάμεις σε ένα ελεύθερο σώμα, τότε αυτό θα περιστραφεί γύρω από τον άξονά του. περνώντας από το κέντρο βάρους του σώματος, σχήμα σι.
Η ροπή ενός ζεύγους δυνάμεων είναι ίδια για οποιονδήποτε άξονα κάθετο στο επίπεδο του ζεύγους. Συνολική στιγμή Μζεύγη ισούται πάντα με το γινόμενο μιας από τις δυνάμεις φάσε απόσταση μεγάλομεταξύ δυνάμεων, που καλείται τον ώμο του ζευγαριού, ανεξάρτητα από τα τμήματα μεγάλο, και μοιράζεται τη θέση του άξονα του ώμου του ζευγαριού:
Η ροπή πολλών δυνάμεων, το αποτέλεσμα των οποίων είναι μηδέν, θα είναι η ίδια σε σχέση με όλους τους παράλληλους άξονες μεταξύ τους, επομένως η δράση όλων αυτών των δυνάμεων στο σώμα μπορεί να αντικατασταθεί από τη δράση ενός ζεύγους δυνάμεων με την ίδια στιγμή.
Στο άρθρο θα μιλήσουμε για τη στιγμή της δύναμης για ένα σημείο και έναν άξονα, ορισμούς, σχέδια και γραφήματα, ποια μονάδα μέτρησης της ροπής δύναμης, εργασίας και δύναμης σε περιστροφική κίνηση, καθώς και παραδείγματα και προβλήματα.
Στιγμή δύναμηςαντιπροσωπεύει ένα διάνυσμα μιας φυσικής ποσότητας ίσου με το γινόμενο των διανυσμάτων δύναμη ώμου(διάνυσμα ακτίνας του σωματιδίου) και δύναμη, ενεργώντας σε ένα σημείο. Ο μοχλός δύναμης είναι ένα διάνυσμα που συνδέει το σημείο από το οποίο διέρχεται ο άξονας περιστροφής ενός άκαμπτου σώματος με το σημείο στο οποίο ασκείται η δύναμη.
όπου: r είναι ο βραχίονας δύναμης, F είναι η δύναμη που εφαρμόζεται στο σώμα.
Διάνυσμα κατεύθυνση δυνάμεις της στιγμήςπάντα κάθετο στο επίπεδο που ορίζεται από τα διανύσματα r και F.
Κύριο σημείο- οποιοδήποτε σύστημα δυνάμεων σε ένα επίπεδο σε σχέση με τον αποδεκτό πόλο ονομάζεται αλγεβρική ροπή της ροπής όλων των δυνάμεων αυτού του συστήματος σε σχέση με αυτόν τον πόλο.
Στις περιστροφικές κινήσεις δεν έχουν σημασία μόνο τα ίδια τα φυσικά μεγέθη, αλλά και το πώς βρίσκονται σε σχέση με τον άξονα περιστροφής, δηλαδή στιγμές. Γνωρίζουμε ήδη ότι στην περιστροφική κίνηση δεν είναι μόνο σημαντική η μάζα, αλλά και. Στην περίπτωση μιας δύναμης, η αποτελεσματικότητά της στην ενεργοποίηση της επιτάχυνσης καθορίζεται από τον τρόπο που εφαρμόζεται η δύναμη στον άξονα περιστροφής.
Η σχέση μεταξύ της δύναμης και του τρόπου που εφαρμόζεται περιγράφει ΣΤΙΓΜΗ ΔΥΝΑΜΗΣ.Η ροπή της δύναμης είναι το διανυσματικό γινόμενο του βραχίονα δύναμης Rστο διάνυσμα δύναμης ΦΑ:
Όπως σε κάθε διανυσματικό προϊόν, έτσι και εδώ
Επομένως, η δύναμη δεν θα επηρεάσει την περιστροφή όταν η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων δύναμης φάκαι μοχλός Rίσο με 0 o ή 180 o. Ποιο είναι το αποτέλεσμα της εφαρμογής μιας ροπής δύναμης Μ?
Χρησιμοποιούμε τον δεύτερο νόμο της κίνησης του Νεύτωνα και τη σχέση μεταξύ σχοινιού και γωνιακής ταχύτητας v = Rωσε κλιμακωτή μορφή, ισχύουν όταν τα διανύσματα RΚαι ω κάθετα μεταξύ τους
Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το R, παίρνουμε
Εφόσον mR 2 = I, συμπεραίνουμε ότι
Η παραπάνω εξάρτηση ισχύει και για την περίπτωση υλικού σώματος. Σημειώστε ότι ενώ η εξωτερική δύναμη δίνει γραμμική επιτάχυνση ένα, η ροπή της εξωτερικής δύναμης δίνει τη γωνιακή επιτάχυνση ε.
Μονάδα μέτρησης ροπής δύναμης
Το κύριο μέτρο της ροπής δύναμης στη συντεταγμένη του συστήματος SI είναι: [M]=N m
Σε GHS: [M]=din cm
Εργασία και δύναμη σε περιστροφική κίνηση
Η εργασία σε γραμμική κίνηση καθορίζεται από τη γενική έκφραση,
αλλά σε περιστροφική κίνηση,
και συνεπώς
Με βάση τις ιδιότητες του μικτού γινόμενου τριών διανυσμάτων, μπορούμε να γράψουμε
Επομένως έχουμε λάβει μια έκφραση για εργασία σε περιστροφική κίνηση:
Ισχύς σε περιστροφική κίνηση:
Εύρημα στιγμή δύναμης,ενεργώντας στο σώμα στις καταστάσεις που φαίνονται στα παρακάτω σχήματα. Ας υποθέσουμε ότι r = 1m και F = 2N.
ΕΝΑ)αφού η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων r και F είναι 90°, τότε sin(a)=1:
M = r F = 1m 2N = 2N m
σι)επειδή η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων r και F είναι 0°, άρα sin(a)=0:
M = 0
ναι κατευθυνόμενη δύναμηδεν μπορώ να δώσω σημείο περιστροφική κίνηση.
ντο)αφού η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων r και F είναι 30°, τότε sin(a)=0,5:
M = 0,5 r F = 1 N m.
Έτσι, η κατευθυνόμενη δύναμη θα προκαλέσει περιστροφή του σώματος, ωστόσο, η επίδρασή του θα είναι μικρότερη από ό,τι στην περίπτωση ένα).
Ροπή δύναμης γύρω από τον άξονα
Ας υποθέσουμε ότι τα δεδομένα είναι ένα σημείο Ο(πόλος) και δύναμη Π. Στο σημείο Οπαίρνουμε την αρχή ενός ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων. Στιγμή δύναμης R σε σχέση με τους πόλους Οαντιπροσωπεύει ένα διάνυσμα Μ από (R), (εικόνα παρακάτω) .
Οποιοδήποτε σημείο ΕΝΑΣε σύνδεση Π
έχει συντεταγμένες (ξο, γιο, ζο).
Διάνυσμα δύναμης Π
έχει συντεταγμένες Px, Py, Pz.
Σημείο συνδυασμού A (xo, yo, zo)με την αρχή του συστήματος, παίρνουμε το διάνυσμα Π. Συντεταγμένες διανυσματικών δυνάμεων Π
σε σχέση με τον πόλο Ουποδεικνύεται με σύμβολα Mx, My, Mz.
Αυτές οι συντεταγμένες μπορούν να υπολογιστούν ως τα ελάχιστα μιας δεδομένης ορίζουσας, όπου ( i, j, k) - μοναδιαία διανύσματα στους άξονες συντεταγμένων (επιλογές): i, j, k
Μετά την επίλυση της ορίζουσας, οι συντεταγμένες της στιγμής θα είναι ίσες με:
Συντεταγμένες του διανύσματος στιγμής Μο (Π) ονομάζονται ροπές δύναμης γύρω από τον αντίστοιχο άξονα. Για παράδειγμα, η στιγμή της δύναμης Π σε σχέση με τον άξονα Οζπρότυπο περιβάλλει:
Μζ = Πύξο - Πξύο
Αυτό το μοτίβο ερμηνεύεται γεωμετρικά όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Με βάση αυτή την ερμηνεία, η ροπή δύναμης γύρω από τον άξονα Οζμπορεί να οριστεί ως η στιγμή της προβολής της δύναμης Π
κάθετα στον άξονα Οζσε σχέση με το σημείο διείσδυσης αυτού του επιπέδου από τον άξονα. Προβολή δύναμης Π
υποδεικνύεται κάθετος στον άξονα Pxy
, και το επίπεδο σημείο διείσδυσης Oxy- άξονας OSσύμβολο Ο.
Από τον παραπάνω ορισμό της ροπής μιας δύναμης γύρω από έναν άξονα, προκύπτει ότι η ροπή μιας δύναμης γύρω από έναν άξονα είναι μηδέν όταν η δύναμη και ο άξονας είναι ίσοι, στο ίδιο επίπεδο (όταν η δύναμη είναι παράλληλη προς τον άξονα ή όταν η δύναμη τέμνει τον άξονα).
Χρησιμοποιώντας τους τύπους για Mx, My, Mz,
μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή της ροπής δύναμης Π
σε σχέση με το σημείο Οκαι προσδιορίστε τις γωνίες που περιέχονται μεταξύ του διανύσματος Μ
και άξονες συστήματος:
Σημάδι ροπής:
συν (+) - περιστροφή της δύναμης γύρω από τον άξονα O δεξιόστροφα,
μείον (-) — περιστροφή της δύναμης γύρω από τον άξονα Ο αριστερόστροφα.
Μια στιγμή δύναμηςσε σχέση με ένα αυθαίρετο κέντρο στο επίπεδο δράσης της δύναμης, ονομάζεται το γινόμενο του συντελεστή δύναμης και του ώμου.
Ωμος- τη μικρότερη απόσταση από το κέντρο Ο έως τη γραμμή δράσης της δύναμης, αλλά όχι από το σημείο εφαρμογής της δύναμης, επειδή διάνυσμα δύναμης-ολίσθησης.
Σημάδι στιγμής:
Δεξιόστροφα - μείον, αριστερόστροφα - συν.
Η ροπή δύναμης μπορεί να εκφραστεί ως διάνυσμα. Αυτό είναι κάθετο στο επίπεδο σύμφωνα με τον κανόνα του Gimlet.
Εάν στο επίπεδο βρίσκονται πολλές δυνάμεις ή ένα σύστημα δυνάμεων, τότε το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών τους θα μας δώσει κύριο σημείοσυστήματα δυνάμεων.
Ας εξετάσουμε τη ροπή δύναμης γύρω από τον άξονα, να υπολογίσουμε τη ροπή δύναμης γύρω από τον άξονα Z.
Ας προβάλουμε το F στο XY.
F xy =F cosα= αβ
m 0 (F xy)=m z (F), δηλαδή m z =F xy * η=Φ cosα* η
Η ροπή δύναμης σε σχέση με τον άξονα είναι ίση με τη στιγμή της προβολής της στο επίπεδο που είναι κάθετο στον άξονα, που λαμβάνεται στη τομή των αξόνων και του επιπέδου
Αν η δύναμη είναι παράλληλη προς τον άξονα ή τον τέμνει, τότε m z (F)=0
Έκφραση ροπής δύναμης ως διανυσματική έκφραση
Ας σχεδιάσουμε το r a στο σημείο Α. Θεωρήστε το OA x F.
Αυτό είναι το τρίτο διάνυσμα m o , κάθετο στο επίπεδο. Το μέγεθος του διασταυρούμενου γινομένου μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας το διπλάσιο του εμβαδού του σκιασμένου τριγώνου.
Αναλυτική έκφραση δύναμης σε σχέση με άξονες συντεταγμένων.
Ας υποθέσουμε ότι οι άξονες Y και Z, X με μοναδιαία διανύσματα i, j, k συνδέονται με το σημείο O. Λαμβάνοντας υπόψη ότι:
r x =X * Fx ; r y =Y * F y ; r z =Z * F y παίρνουμε: m o (F)=x =
Ας επεκτείνουμε την ορίζουσα και πάρουμε:
m x =YF z - ZF y
m y =ZF x - XF z
m z =XF y - YF x
Αυτοί οι τύποι καθιστούν δυνατό τον υπολογισμό της προβολής της διανυσματικής ροπής στον άξονα και στη συνέχεια της ίδιας της διανυσματικής ροπής.
Το θεώρημα του Varignon για τη ροπή του προκύπτοντος
Εάν ένα σύστημα δυνάμεων έχει αποτέλεσμα, τότε η ροπή του σε σχέση με οποιοδήποτε κέντρο είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών όλων των δυνάμεων σε σχέση με αυτό το σημείο
Αν εφαρμόσουμε Q= -R, τότε το σύστημα (Q,F 1 ... F n) θα είναι εξίσου ισορροπημένο.
Το άθροισμα των ροπών για οποιοδήποτε κέντρο θα είναι ίσο με μηδέν.
Αναλυτική συνθήκη ισορροπίας για επίπεδο σύστημα δυνάμεων
Αυτό είναι ένα επίπεδο σύστημα δυνάμεων, οι γραμμές δράσης του οποίου βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο
Ο σκοπός του υπολογισμού των προβλημάτων αυτού του τύπου είναι να προσδιοριστούν οι αντιδράσεις των εξωτερικών συνδέσεων. Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιούνται οι βασικές εξισώσεις σε ένα επίπεδο σύστημα δυνάμεων.
Μπορούν να χρησιμοποιηθούν εξισώσεις 2 ή 3 ροπών.
Παράδειγμα
Ας δημιουργήσουμε μια εξίσωση για το άθροισμα όλων των δυνάμεων στον άξονα Χ και Υ:
Το άθροισμα των ροπών όλων των δυνάμεων σε σχέση με το σημείο Α:
Παράλληλες δυνάμεις
Εξίσωση για το σημείο Α:
Εξίσωση για το σημείο Β:
Το άθροισμα των προβολών των δυνάμεων στον άξονα Υ.
