Rotacija je tipičan tip mehaničkog pokreta koji se često nalazi u prirodi i tehnologiji. Svaka rotacija nastaje kao rezultat utjecaja neke vanjske sile na sistem koji se razmatra. Ova sila stvara tzv. Šta je, o čemu zavisi, govori se u članku.
Proces rotacije
Prije razmatranja koncepta obrtnog momenta, hajde da okarakteriziramo sisteme na koje se ovaj koncept može primijeniti. Sistem rotacije pretpostavlja postojanje ose oko koje se vrši kružno kretanje ili rotacija. Udaljenost od ove ose do materijalnih tačaka sistema naziva se radijus rotacije.
Sa stanovišta kinematike, proces karakterišu tri ugaone veličine:
- ugao rotacije θ (mjereno u radijanima);
- ugaona brzina ω (mjereno u radijanima po sekundi);
- kutno ubrzanje α (mjereno u radijanima po kvadratnoj sekundi).
Ove veličine su međusobno povezane sljedećim jednakostima:
Primjeri rotacije u prirodi su kretanja planeta u njihovim orbitama i oko njihovih osa, te kretanja tornada. U svakodnevnom životu i tehnologiji, dotični pokret je tipičan za motore motora, ključeve, građevinske dizalice, otvaranje vrata i tako dalje.
Određivanje momenta sile
Sada pređimo na neposrednu temu članka. Prema fizičkoj definiciji, to je vektorski proizvod vektora primjene sile u odnosu na os rotacije i vektor same sile. Odgovarajući matematički izraz može se napisati na sljedeći način:
Ovde je vektor r¯ usmeren od ose rotacije do tačke primene sile F¯.
U ovoj formuli za moment M¯, sila F¯ može biti usmjerena na bilo koji način u odnosu na smjer ose. Međutim, komponenta sile paralelna s osi neće proizvesti rotaciju ako je os čvrsto fiksirana. U većini problema u fizici, treba uzeti u obzir sile F¯, koje leže u ravninama okomitim na os rotacije. U tim slučajevima, apsolutna vrijednost momenta može se odrediti pomoću sljedeće formule:
|M¯| = |r¯|*|F¯|*sin(β).
Gdje je β ugao između vektora r¯ i F¯.
Šta je leveridž?
Poluga sile igra važnu ulogu u određivanju veličine momenta sile. Da biste razumjeli o čemu govorimo, razmotrite sljedeću sliku.
Ovdje je prikazan štap dužine L, koji je jednim od svojih krajeva fiksiran na mjestu rotacije. Na drugi kraj djeluje sila F usmjerena pod oštrim uglom φ. Prema definiciji momenta sile možemo napisati:
M = F*L*sin(180 o -φ).
Ugao (180 o -φ) se pojavio jer je vektor L¯ usmjeren od fiksnog kraja ka slobodnom. Uzimajući u obzir periodičnost trigonometrijske sinusne funkcije, ovu jednakost možemo prepisati na sljedeći način:
Sada obratimo pažnju na pravokutni trokut izgrađen na stranicama L, d i F. Po definiciji sinusne funkcije, proizvod hipotenuze L i sinusa ugla φ daje vrijednost kraka d. Onda dolazimo do jednakosti:
Linearna veličina d naziva se poluga sile. Jednaka je udaljenosti od vektora sile F¯ do ose rotacije. Kao što se može vidjeti iz formule, koncept poluge sile je pogodan za korištenje prilikom izračunavanja momenta M. Rezultirajuća formula kaže da će se maksimalni moment za određenu silu F pojaviti samo kada je dužina vektora radijusa r¯ ( L¯ na gornjoj slici) jednako je poluzi sile, odnosno r¯ i F¯ će biti međusobno okomiti.
Smjer djelovanja veličine M¯
Gore je pokazano da je moment vektorska karakteristika za dati sistem. Gdje je usmjeren ovaj vektor? Odgovor na ovo pitanje nije posebno težak ako se sjetimo da je rezultat proizvoda dva vektora treći vektor, koji leži na osi okomitoj na ravan lokacije originalnih vektora.
Ostaje da se odluči da li će moment sile biti usmeren nagore ili naniže (prema ili od čitača) u odnosu na pomenutu ravan. To se može odrediti bilo pravilom gimleta ili pravilom desne ruke. Evo oba pravila:
- Pravilo desne ruke. Ako desnu ruku postavite na način da se njena četiri prsta kreću od početka vektora r¯ do njegovog kraja, a zatim od početka vektora F¯ do njegovog kraja, tada će istureni palac pokazivati u smjeru trenutka M¯.
- Pravilo gimleta. Ako se smjer rotacije imaginarnog gimleta poklapa sa smjerom rotacijskog kretanja sistema, tada će translacijsko pomicanje gimleta ukazati na smjer vektora M¯. Zapamtite da se rotira samo u smjeru kazaljke na satu.
Oba pravila su jednaka, tako da svako može koristiti ono koje mu odgovara.
Prilikom rješavanja praktičnih zadataka uzimaju se u obzir različiti smjerovi okretnog momenta (gore - dolje, lijevo - desno) pomoću znakova "+" ili "-". Treba imati na umu da se pozitivnim smjerom momenta M¯ smatra onaj koji dovodi do rotacije sistema u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Shodno tome, ako određena sila uzrokuje rotaciju sistema u smjeru sata, tada će trenutak koji stvori imati negativnu vrijednost.
Fizičko značenje veličine M¯
U fizici i mehanici rotacije, vrijednost M¯ određuje sposobnost sile ili zbroja sila da izvrši rotaciju. Budući da matematička definicija vrijednosti M¯ uključuje ne samo silu, već i radijus vektor njene primjene, potonji je taj koji u velikoj mjeri određuje zapaženu sposobnost rotacije. Da bi bilo jasnije o kojoj vrsti sposobnosti je riječ, evo nekoliko primjera:
- Svaka osoba je barem jednom u životu pokušala da otvori vrata, ne hvatanjem za kvaku, već tako što je gurala blizu šarki. U potonjem slučaju morate uložiti značajan napor da biste postigli željeni rezultat.
- Da biste odvrnuli maticu sa vijka, koristite posebne ključeve. Što je ključ duži, lakše je odvrnuti maticu.
- Da bi osjetili važnost poluge sile, pozivamo čitatelje da urade sljedeći eksperiment: uzmite stolicu i pokušajte je držati obješenu jednom rukom, u jednom slučaju naslonite ruku na tijelo, u drugom - obavite zadatak sa ravna ruka. Ovo posljednje će za mnoge biti nemoguć zadatak, iako težina stolice ostaje ista.
Jedinice obrtnog momenta
Treba reći nekoliko riječi i o SI jedinicama u kojima se mjeri obrtni moment. Prema formuli zapisanoj za njega, mjeri se u njutnima po metru (N*m). Međutim, ove jedinice mjere i rad i energiju u fizici (1 N*m = 1 džul). Džoul za trenutak M¯ ne važi, pošto je rad skalarna veličina, dok je M¯ vektor.
Međutim, podudarnost jedinica momenta sile sa jedinicama energije nije slučajna. Rad obavljen na rotaciji sistema, obavljen do trenutka M, izračunava se po formuli:
Iz ovoga nalazimo da se M također može izraziti u džulima po radijanu (J/rad).
Dinamika rotacije
Na početku članka zapisali smo kinematičke karakteristike koje se koriste za opisivanje rotacijskog kretanja. U dinamici rotacije, glavna jednadžba koja koristi ove karakteristike je sljedeća:
Djelovanje momenta M na sistem koji ima moment inercije I dovodi do pojave ugaonog ubrzanja α.
Ova formula se koristi za određivanje ugaonih frekvencija rotacije u tehnologiji. Na primjer, poznavanjem momenta asinhronog motora, koji ovisi o frekvenciji struje u zavojnici statora i o veličini promjenjivog magnetskog polja, kao i poznavanjem inercijskih svojstava rotirajućeg rotora, moguće je odrediti do koje brzine rotacije ω se rotor motora okreće u poznatom vremenu t.
Primjer rješenja problema
Poluga bez težine, duga 2 metra, ima oslonac u sredini. Koju težinu treba staviti na jedan kraj poluge da bi bila u stanju ravnoteže ako teret težine 10 kg leži na drugoj strani oslonca na udaljenosti od 0,5 metara od njega?
Očigledno, šta će se dogoditi ako su momenti sile koje stvaraju opterećenja jednaki po veličini. Sila koja stvara trenutak u ovom problemu je težina tijela. Poluge sile jednake su udaljenostima od tereta do oslonca. Napišimo odgovarajuću jednakost:
m 1 *g*d 1 = m 2 *g*d 2 =>
P 2 = m 2 *g = m 1 *g*d 1 /d 2 .
Težinu P 2 dobijamo ako iz uslova zadatka zamijenimo vrijednosti m 1 = 10 kg, d 1 = 0,5 m, d 2 = 1 m. Napisana jednakost daje odgovor: P 2 = 49,05 njutna.
Definicija
Vektorski proizvod radijusa - vektora (), koji se povlači iz tačke O (slika 1) do tačke na koju se sila primenjuje na sam vektor naziva se moment sile () u odnosu na tačku O:
Na slici 1, tačka O i vektor sile () i radijus vektor su u ravnini slike. U ovom slučaju, vektor momenta sile () je okomit na ravninu crteža i ima smjer od nas. Vektor momenta sile je aksijalan. Smjer vektora momenta sile bira se na način da rotacija oko tačke O u smjeru sile i vektora stvaraju desnoruki sistem. Smjer momenta sila i kutnog ubrzanja se poklapaju.
Veličina vektora je:
gdje je ugao između radijusa i smjera vektora sile, je krak sile u odnosu na tačku O.
Moment sile oko ose
Moment sile u odnosu na osu je fizička veličina jednaka projekciji vektora momenta sile u odnosu na tačku izabrane ose na datu osu. U ovom slučaju, izbor tačke nije bitan.
Glavni momenat snage
Glavni moment skupa sila u odnosu na tačku O naziva se vektor (moment sile), koji je jednak zbiru momenata svih sila koje djeluju u sistemu u odnosu na istu tačku:
U ovom slučaju, tačka O se naziva središte redukcije sistema sila.
Ako postoje dva glavna momenta ( i ) za jedan sistem sila za različita dva centra dovođenja sila (O i O’), onda su oni povezani izrazom:
gdje je vektor radijusa, koji je povučen od tačke O do tačke O’, glavni vektor sistema sila.
U opštem slučaju, rezultat dejstva proizvoljnog sistema sila na čvrsto telo je isti kao i dejstvo na telo glavnog momenta sistema sila i glavnog vektora sistema sila, tj. primijenjen u centru redukcije (tačka O).
Osnovni zakon dinamike rotacionog kretanja
gdje je ugaoni moment tijela u rotaciji.
Za čvrsto tijelo ovaj zakon se može predstaviti kao:
gdje je I moment inercije tijela, a ugaono ubrzanje.
Jedinice obrtnog momenta
Osnovna jedinica mjerenja momenta sile u SI sistemu je: [M]=N m
U GHS: [M]=din cm
Primjeri rješavanja problema
Primjer
Vježbajte. Na slici 1 prikazano je tijelo koje ima os rotacije OO". Moment sile primijenjene na tijelo u odnosu na datu osu bit će jednak nuli? Osa i vektor sile nalaze se u ravnini slike.
Rješenje. Kao osnovu za rješavanje problema uzet ćemo formulu koja određuje moment sile:
U vektorskom proizvodu (može se vidjeti sa slike). Ugao između vektora sile i vektora radijusa će se takođe razlikovati od nule (ili), stoga vektorski proizvod (1.1) nije jednak nuli. To znači da je moment sile različit od nule.
Odgovori.
Primjer
Vježbajte. Ugaona brzina rotirajućeg krutog tijela mijenja se u skladu sa grafikom prikazanim na slici 2. U kojoj je od tačaka prikazanih na grafikonu moment sila primijenjenih na tijelo jednak nuli?
Što je jednako proizvodu sile na njegovom ramenu.
Moment sile se izračunava pomoću formule:
Gdje F- sila, l- rame snage.
Rame moći- ovo je najkraća udaljenost od linije djelovanja sile do ose rotacije tijela. Slika ispod prikazuje kruto tijelo koje se može rotirati oko ose. Os rotacije ovog tijela je okomita na ravan figure i prolazi kroz tačku koja je označena slovom O. Rame sile Ft evo udaljenosti l, od ose rotacije do linije djelovanja sile. Definisano je na ovaj način. Prvi korak je povlačenje linije djelovanja sile, a zatim iz tačke O, kroz koju prolazi osa rotacije tijela, spustiti okomitu na liniju djelovanja sile. Ispada da je dužina ove okomice krak date sile.
Moment sile karakterizira rotacijsko djelovanje sile. Ova akcija zavisi i od snage i od poluge. Što je krak veći, manje sile se mora primijeniti da bi se postigao željeni rezultat, odnosno isti moment sile (vidi sliku iznad). Zato je mnogo teže otvoriti vrata gurajući ih blizu šarki nego hvatanjem za ručku, a mnogo je lakše odvrnuti maticu dugim nego kratkim ključem.
Za SI jedinicu momenta sile uzima se moment sile od 1 N, čiji je krak jednak 1 m - njutn metar (N m).
Pravilo trenutaka.
Kruto tijelo koje se može rotirati oko fiksne ose je u ravnoteži ako je moment sile M 1 rotiranje u smjeru kazaljke na satu jednako je momentu sile M 2 , koji ga rotira u smjeru suprotnom od kazaljke na satu:
Pravilo momenata je posledica jedne od teorema mehanike, koju je formulisao francuski naučnik P. Varignon 1687. godine.
Par sila.
Ako na tijelo djeluju 2 jednake i suprotno usmjerene sile koje ne leže na istoj pravoj liniji, onda takvo tijelo nije u ravnoteži, jer rezultirajući moment tih sila u odnosu na bilo koju osu nije jednak nuli, jer obe sile imaju momente usmerene u istom pravcu. Zovu se dvije takve sile koje istovremeno djeluju na tijelo par sila. Ako je tijelo fiksirano na osi, onda će se pod djelovanjem para sila rotirati. Ako se na slobodno tijelo primijeni nekoliko sila, ono će se rotirati oko svoje ose. prolazeći kroz težište tijela, figura b.
Moment para sila je isti oko bilo koje ose okomite na ravan para. Totalni trenutak M parova je uvijek jednak proizvodu jedne od sila F na daljinu l između sila, što se zove rame para, bez obzira na segmente l, i dijeli položaj ose ramena para:
Moment nekoliko sila, čija je rezultanta nula, bit će isti u odnosu na sve ose paralelne jedna s drugom, pa se djelovanje svih ovih sila na tijelo može zamijeniti djelovanjem jednog para sila sa istim momenat.
U članku ćemo govoriti o momentu sile na tačku i os, definicijama, crtežima i grafovima, koja jedinica mjerenja momenta sile, rada i sile u rotacionom kretanju, kao i primjerima i problemima.
Trenutak snage predstavlja vektor fizičke veličine jednak proizvodu vektora snaga ramena(radijus vektor čestice) i snagu, djelujući na tačku. Poluga sile je vektor koji povezuje tačku kroz koju prolazi osa rotacije krutog tijela sa tačkom na koju se primjenjuje sila.
gdje je: r krak sile, F sila primijenjena na tijelo.
Vektorski smjer trenutne sile uvijek okomito na ravan definiranu vektorima r i F.
Glavna tačka- svaki sistem sila na ravni u odnosu na prihvaćeni pol naziva se algebarski moment momenta svih sila ovog sistema u odnosu na ovaj pol.
U rotacijskim kretanjima nisu važne samo fizičke veličine, već i kako se one nalaze u odnosu na os rotacije, tj. momente. Već znamo da u rotacionom kretanju nije važna samo masa, već i. U slučaju sile, njena efikasnost u pokretanju ubrzanja određena je načinom na koji se sila primjenjuje na os rotacije.
Odnos između sile i načina na koji se primjenjuje opisuje TRENUTAK MOĆI. Moment sile je vektorski proizvod kraka sile R na vektor sile F:
Kao u svakom vektorskom proizvodu, tako i ovdje
Dakle, sila neće uticati na rotaciju kada je ugao između vektora sila F i poluga R jednako 0 o ili 180 o. Kakav je učinak primjene momenta sile M?
Koristimo Newtonov Drugi zakon kretanja i odnos između užeta i ugaone brzine v = Rω u skalarnom obliku, vrijede kada su vektori R I ω okomito jedno na drugo
Množenjem obe strane jednačine sa R, dobijamo
Pošto je mR 2 = I, zaključujemo da
Navedena zavisnost vrijedi i za slučaj materijalnog tijela. Imajte na umu da dok vanjska sila daje linearno ubrzanje a, moment vanjske sile daje kutno ubrzanje ε.
Jedinica mjerenja momenta sile
Glavna mjera momenta sile u koordinatama SI sistema je: [M]=N m
U GHS: [M]=din cm
Rad i sila u rotacionom kretanju
Rad u linearnom kretanju određen je općim izrazom,
ali u rotacionom kretanju,
i shodno tome
Na osnovu svojstava mješovitog proizvoda tri vektora možemo pisati
Stoga smo dobili izraz za rad u rotacionom kretanju:
Snaga u rotacionom kretanju:
Nađi trenutak snage, djelujući na tijelo u situacijama prikazanim na slikama ispod. Pretpostavimo da je r = 1m i F = 2N.
A) pošto je ugao između vektora r i F 90°, tada je sin(a)=1:
M = r F = 1m 2N = 2N m
b) jer je ugao između vektora r i F 0°, pa sin(a)=0:
M = 0
da usmjereno sila ne mogu dati poen rotaciono kretanje.
c) pošto je ugao između vektora r i F 30°, tada je sin(a)=0,5:
M = 0,5 r F = 1 N m.
Dakle, usmjerena sila će uzrokovati rotacija tela, međutim, njegov učinak će biti manji nego u slučaju a).
Moment sile oko ose
Pretpostavimo da su podaci tačka O(stup) i snaga P. U tački O uzimamo ishodište pravougaonog koordinatnog sistema. Trenutak snage R u odnosu na polove O predstavlja vektor M iz (R), (slika ispod) .
Bilo koja tačka A on line P
ima koordinate (xo, yo, zo).
Vektor sile P
ima koordinate Px, Py, Pz.
Kombinovana tačka A (xo, yo, zo) sa početkom sistema dobijamo vektor str. Koordinate vektora sile P
u odnosu na pol O označeno simbolima Mx, My, Mz.
Ove koordinate se mogu izračunati kao minimumi date determinante, gdje je ( i, j, k) - jedinični vektori na koordinatnoj osi (opcije): i, j, k
Nakon rješavanja determinante, koordinate trenutka će biti jednake:
Vektorske koordinate momenta Mo (P) nazivaju se momenti sile oko odgovarajuće ose. Na primjer, moment sile P u odnosu na osu Oz okružuje šablon:
Mz = Pyxo - Pxyo
Ovaj uzorak se tumači geometrijski kao što je prikazano na slici ispod.
Na osnovu ovog tumačenja, moment sile oko ose Oz može se definisati kao moment projekcije sile P
okomito na osu Oz u odnosu na tačku prodora ove ravni od strane ose. Projekcija sile P
je naznačeno okomito na osu Pxy
, i tačku penetracije u ravninu Oxy- osa OS simbol O.
Iz gornje definicije momenta sile oko ose proizilazi da je moment sile oko ose jednak nuli kada su sila i os jednake, u istoj ravni (kada je sila paralelna sa osi ili kada sila siječe osu).
Koristeći formule na Mx, My, Mz,
možemo izračunati vrijednost momenta sile P
u odnosu na tačku O i odrediti uglove sadržane između vektora M
i sistemske ose:
Oznaka obrtnog momenta:
plus (+) - rotacija sile oko ose O u smjeru kazaljke na satu,
minus (-) — rotacija sile oko ose O u smeru suprotnom od kazaljke na satu.
Trenutak moći U odnosu na proizvoljni centar u ravni djelovanja sile, proizvod modula sile i ramena naziva se.
Rame- najkraća udaljenost od centra O do linije dejstva sile, ali ne i do tačke primene sile, jer vektor klizanja sile.
Znak trenutka:
U smjeru kazaljke na satu - minus, suprotno od kazaljke na satu - plus;
Moment sile se može izraziti kao vektor. Ovo je okomito na ravan prema Gimletovom pravilu.
Ako se u ravni nalazi nekoliko sila ili sistem sila, onda će nam algebarski zbir njihovih momenata dati glavna tačka sisteme snaga.
Razmotrimo moment sile oko ose, izračunajmo moment sile oko Z ose;
Projektujmo F na XY;
F xy =F cosα= ab
m 0 (F xy)=m z (F), odnosno m z =F xy * h=F cosα* h
Moment sile u odnosu na osu jednak je momentu njene projekcije na ravan okomitu na osu, uzetu na presjeku osi i ravni
Ako je sila paralelna s osi ili je siječe, tada je m z (F)=0
Izražavanje momenta sile kao vektorski izraz
Nacrtajmo r a u tačku A. Razmotrimo OA x F.
Ovo je treći vektor m o , okomit na ravan. Veličina unakrsnog proizvoda može se izračunati korištenjem dvostruke površine osjenčanog trokuta.
Analitički izraz sile u odnosu na koordinatne ose.
Pretpostavimo da su Y i Z, X ose sa jediničnim vektorima i, j, k pridružene tački O. Uzimajući u obzir da:
r x =X * Fx ; r y =Y * F y ; r z =Z * F y dobijamo: m o (F)=x =
Proširimo determinantu i dobijemo:
m x =YF z - ZF y
m y =ZF x - XF z
m z =XF y - YF x
Ove formule omogućavaju izračunavanje projekcije vektorskog momenta na osu, a zatim i samog vektorskog momenta.
Varignonova teorema o momentu rezultante
Ako sistem sila ima rezultantu, tada je njegov moment u odnosu na bilo koje središte jednak algebarskom zbroju momenata svih sila u odnosu na ovu tačku
Ako primijenimo Q= -R, tada će sistem (Q,F 1 ... F n) biti jednako uravnotežen.
Zbir momenata oko bilo kojeg centra bit će jednak nuli.
Uslov analitičke ravnoteže za ravan sistem sila
Ovo je ravan sistem sila čije se linije djelovanja nalaze u istoj ravni
Svrha proračuna problema ove vrste je određivanje reakcija vanjskih veza. Za to se koriste osnovne jednadžbe u ravan sistemu sila.
Mogu se koristiti jednadžbe za 2 ili 3 momenta.
Primjer
Napravimo jednačinu za zbir svih sila na X i Y osi:
Zbir momenata svih sila u odnosu na tačku A:
Paralelne sile
Jednadžba za tačku A:
Jednadžba za tačku B:
Zbir projekcija sila na Y os.
