U ovom materijalu ćemo pogledati šta je stepen broja. Pored osnovnih definicija, formulisaćemo šta su stepene sa prirodnim, celobrojnim, racionalnim i iracionalnim eksponentima. Kao i uvijek, svi koncepti će biti ilustrovani primjerima problema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Prvo, hajde da formulišemo osnovnu definiciju stepena sa prirodnim eksponentom. Da bismo to učinili, moramo zapamtiti osnovna pravila množenja. Pojasnimo unaprijed da ćemo za sada uzeti realan broj kao bazu (označen slovom a), a prirodni broj kao indikator (označen slovom n).

Definicija 1

Potencija broja a sa prirodnim eksponentom n je proizvod n-tog broja faktora, od kojih je svaki jednak broju a. Stepen se piše ovako: a n, a u obliku formule njegov sastav se može predstaviti na sljedeći način:

Na primjer, ako je eksponent 1, a baza je a, tada se prvi stepen a zapisuje kao a 1. S obzirom da je a vrijednost faktora, a 1 broj faktora, možemo zaključiti da a 1 = a.

Uopšteno govoreći, možemo reći da je stepen zgodan oblik pisanja velikog broja jednakih faktora. Dakle, zapis obrasca 8 8 8 8 može se skratiti na 8 4 . Na sličan način, proizvod nam pomaže da izbjegnemo pisanje velikog broja pojmova (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); O tome smo već govorili u članku posvećenom množenju prirodnih brojeva.

Kako pravilno pročitati unos diplome? Općenito prihvaćena opcija je “a na stepen n”. Ili možete reći “nth power of a” ili “ant power”. Ako smo, recimo, u primjeru naišli na unos 8 12 , možemo čitati "8 na 12. stepen", "8 na stepen od 12" ili "12. stepen od 8".

Drugi i treći stepen brojeva imaju svoja ustaljena imena: kvadrat i kocka. Ako vidimo drugi stepen, na primjer, broj 7 (7 2), onda možemo reći "7 na kvadrat" ili "kvadrat broja 7". Slično, treći stepen se čita ovako: 5 3 - ovo je "kocka broja 5" ili "5 kockica." Međutim, možete koristiti i standardnu ​​formulaciju “na drugu/treću potenciju”; to neće biti greška.

Primjer 1

Pogledajmo primjer stepena s prirodnim eksponentom: for 5 7 pet će biti osnova, a sedam će biti eksponent.

Baza ne mora biti cijeli broj: za stepen (4 , 32) 9 baza će biti razlomak 4, 32, a eksponent devet. Obratite pažnju na zagrade: ovaj zapis je napravljen za sve potencije čije se baze razlikuju od prirodnih brojeva.

Na primjer: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

Čemu služe zagrade? Oni pomažu da se izbjegnu greške u proračunima. Recimo da imamo dva unosa: (− 2) 3 I − 2 3 . Prvi od njih znači negativan broj minus dva podignut na stepen sa prirodnim eksponentom tri; drugi je broj koji odgovara suprotnoj vrijednosti stepena 2 3 .

Ponekad u knjigama možete pronaći malo drugačije pravopis snage broja - a^n(gdje je a baza, a n eksponent). To jest, 4^9 je isto kao 4 9 . Ako je n višecifreni broj, stavlja se u zagrade. Na primjer, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Ali mi ćemo koristiti notaciju a n kao češći.

Lako je pogoditi kako izračunati vrijednost eksponenta s prirodnim eksponentom iz njegove definicije: samo trebate pomnožiti n-ti broj puta. Više o tome pisali smo u drugom članku.

Koncept stepena je inverzan drugom matematičkom konceptu - korenu broja. Ako znamo vrijednost stepena i eksponenta, možemo izračunati njegovu bazu. Stepen ima neka specifična svojstva koja su korisna za rješavanje problema, o čemu smo govorili u posebnom materijalu.

Eksponenti mogu uključivati ​​ne samo prirodne brojeve, već i bilo koje cjelobrojne vrijednosti općenito, uključujući negativne i nule, jer oni također pripadaju skupu cijelih brojeva.

Definicija 2

Potencija broja s pozitivnim cijelim eksponentom može se predstaviti kao formula: .

U ovom slučaju, n je bilo koji pozitivan cijeli broj.

Hajde da razumemo koncept nultog stepena. Da bismo to učinili, koristimo pristup koji uzima u obzir svojstvo količnika za stepene jednakih baza. Formulisan je ovako:

Definicija 3

Jednakost a m: a n = a m − n bit će istinit pod sljedećim uslovima: m i n su prirodni brojevi, m< n , a ≠ 0 .

Poslednji uslov je važan jer izbegava deljenje sa nulom. Ako su vrijednosti m i n jednake, onda dobijamo sljedeći rezultat: a n: a n = a n − n = a 0

Ali u isto vrijeme a n: a n = 1 je količnik jednakih brojeva a n i a. Ispada da je nulta snaga bilo kog broja različitog od nule jednaka jedan.

Međutim, takav dokaz se ne odnosi na nulu na nulti stepen. Da bismo to učinili, potrebno nam je još jedno svojstvo moći - svojstvo proizvoda snaga jednakih baza. izgleda ovako: a m · a n = a m + n .

Ako je n jednako 0, onda a m · a 0 = a m(ova jednakost nam takođe dokazuje da a 0 = 1). Ali ako je i jednako nuli, naša jednakost poprima oblik 0 m · 0 0 = 0 m, To će vrijediti za bilo koju prirodnu vrijednost n, i nije bitno kojoj je tačno vrijednost stepena jednaka 0 0 , odnosno može biti jednako bilo kojem broju, a to neće uticati na tačnost jednakosti. Dakle, zapis oblika 0 0 nema svoje posebno značenje i nećemo mu ga pripisivati.

Po želji, to je lako provjeriti a 0 = 1 konvergira sa svojstvom stepena (a m) n = a m n pod uslovom da osnova stepena nije nula. Dakle, snaga bilo kog broja različitog od nule sa eksponentom nula je jedan.

Primjer 2

Pogledajmo primjer s određenim brojevima: Dakle, 5 0 - jedinica, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 i vrijednost 0 0 nedefinisano.

Nakon nultog stepena, samo treba da shvatimo šta je negativan stepen. Da bismo to učinili, potrebno nam je isto svojstvo proizvoda potencija sa jednakim bazama koje smo već koristili gore: a m · a n = a m + n.

Hajde da uvedemo uslov: m = − n, tada a ne bi trebalo da bude jednako nuli. Iz toga slijedi a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. Ispada da je n i a−n imamo uzajamno recipročne brojeve.

Kao rezultat, a na negativnu cjelinu nije ništa drugo do razlomak 1 a n.

Ova formulacija potvrđuje da za stepen sa celobrojnim negativnim eksponentom važe sva ista svojstva koja ima stepen sa prirodnim eksponentom (pod uslovom da baza nije jednaka nuli).

Primjer 3

Potencija a sa negativnim cijelim eksponentom n može se predstaviti kao razlomak 1 a n . Dakle, a - n = 1 a n podliježe a ≠ 0 i n je bilo koji prirodan broj.

Ilustrirajmo našu ideju konkretnim primjerima:

Primjer 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

U poslednjem delu pasusa pokušaćemo da sve što je rečeno jasno opišemo u jednoj formuli:

Definicija 4

Potencija broja sa prirodnim eksponentom z je: a z = a z, e sa l i z - pozitivan cijeli broj 1, z = 0 i a ≠ 0, (za z = 0 i a = 0 rezultat je 0 0, vrijednosti izraza 0 0 nisu definirane) 1 a z, ako je i z negativan cijeli broj i a ≠ 0 (ako je z negativan cijeli broj i a = 0 dobija se 0 z, egoz vrijednost je neodređena)

Šta su moći sa racionalnim eksponentom?

Ispitivali smo slučajeve kada eksponent sadrži cijeli broj. Međutim, možete podići broj na stepen čak i kada njegov eksponent sadrži razlomak. Ovo se zove stepen sa racionalnim eksponentom. U ovom odeljku ćemo dokazati da ima ista svojstva kao i druge moći.

Šta su racionalni brojevi? Njihov skup uključuje i cijele i razlomke, a razlomci se mogu predstaviti kao obični razlomci (i pozitivni i negativni). Hajde da formulišemo definiciju stepena broja a sa razlomkom eksponenta m / n, gde je n prirodan broj, a m ceo broj.

Imamo neki stepen sa razlomanim eksponentom a m n . Da bi svojstvo snage snage moglo biti istinito, jednakost a m n n = a m n · n = a m mora biti tačna.

S obzirom na definiciju n-tog korijena i da je a m n n = a m, možemo prihvatiti uvjet a m n = a m n ako a m n ima smisla za date vrijednosti m, n i a.

Gornja svojstva stepena sa celobrojnim eksponentom biće tačna pod uslovom a m n = a m n .

Glavni zaključak iz našeg rasuđivanja je sljedeći: potencija određenog broja a sa razlomnim eksponentom m / n je n-ti korijen broja a na stepen m. Ovo je tačno ako, za date vrednosti m, n i a, izraz a m n ostaje smislen.

1. Možemo ograničiti vrijednost osnove stepena: uzmimo a, koja će za pozitivne vrijednosti m biti veća ili jednaka 0, a za negativne vrijednosti - striktno manje (pošto za m ≤ 0 dobijamo 0 m, ali takav stepen nije definisan). U ovom slučaju, definicija stepena sa frakcijskim eksponentom će izgledati ovako:

Potencija s razlomanim eksponentom m/n za neki pozitivan broj a je n-ti korijen od a podignut na stepen m. Ovo se može izraziti formulom:

Za stepen sa nultom bazom, ova odredba je takođe prikladna, ali samo ako je njen eksponent pozitivan broj.

Potencija sa baznom nulom i razlomanim pozitivnim eksponentom m/n može se izraziti kao

0 m n = 0 m n = 0 pod uvjetom da je m pozitivan cijeli broj, a n prirodan broj.

Za negativan omjer m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Zapazimo jednu tačku. Pošto smo uveli uslov da je a veće ili jednako nuli, na kraju smo odbacili neke slučajeve.

Izraz a m n ponekad ipak ima smisla za neke negativne vrijednosti a i neke m. Dakle, tačni unosi su (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, u kojima je baza negativna.

2. Drugi pristup je razmatranje odvojeno korijena a m n s parnim i neparnim eksponentima. Zatim ćemo morati da uvedemo još jedan uslov: stepen a, u čijem eksponentu se nalazi svodivi obični razlomak, smatra se stepenom a, u čijem eksponentu se nalazi odgovarajući nesvodljivi razlomak. Kasnije ćemo objasniti zašto nam je ovo stanje potrebno i zašto je toliko važno. Dakle, ako imamo zapis a m · k n · k , onda ga možemo svesti na a m n i pojednostaviti proračune.

Ako je n neparan broj i vrijednost m je pozitivna, a a bilo koji nenegativan broj, onda m n ima smisla. Uslov da a nije negativan je neophodan jer se korijen parnog stepena ne može izvući iz negativnog broja. Ako je vrijednost m pozitivna, tada a može biti i negativna i nula, jer Neparni korijen se može uzeti iz bilo kojeg realnog broja.

Kombinirajmo sve gore navedene definicije u jednom unosu:

Ovdje m/n znači nesvodljivi razlomak, m je bilo koji cijeli broj, a n je bilo koji prirodan broj.

Definicija 5

Za bilo koji obični svodljivi razlomak m · k n · k stepen se može zamijeniti sa m n .

Potencija broja a sa nesmanjivim razlomačnim eksponentom m / n – može se izraziti kao m n u sljedećim slučajevima: - za bilo koje realno a, pozitivne cjelobrojne vrijednosti m i neparne prirodne vrijednosti n. Primjer: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

Za bilo koje realno a različito od nule, negativne cjelobrojne vrijednosti m i neparne vrijednosti n, na primjer, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

Za bilo koji nenegativni a, pozitivan cijeli broj m i paran n, na primjer, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

Za bilo koji pozitivan a, negativan cijeli broj m i paran n, na primjer, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

U slučaju drugih vrijednosti, stepen sa razlomačnim eksponentom nije određen. Primjeri takvih stupnjeva: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Objasnimo sada važnost uvjeta o kojem smo gore raspravljali: zašto zamijeniti razlomak sa reducibilnim eksponentom razlomkom s nesvodljivim eksponentom. Da to nismo uradili, imali bismo sljedeće situacije, recimo, 6/10 = 3/5. Tada bi trebalo biti tačno (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , ali - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 , i (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Definicija stepena sa razlomačnim eksponentom, koju smo prvi predstavili, pogodnija je za upotrebu u praksi od druge, pa ćemo je nastaviti koristiti.

Definicija 6

Dakle, snaga pozitivnog broja a sa razlomkom eksponenta m/n je definirana kao 0 m n = 0 m n = 0. U slučaju negativnog a notacija a m n nema smisla. Snaga nule za pozitivne frakcione eksponente m/n je definisan kao 0 m n = 0 m n = 0 , za negativne frakcione eksponente ne definišemo stepen nule.

U zaključku, napominjemo da možete napisati bilo koji razlomak i kao mješoviti broj i kao decimalni razlomak: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Prilikom izračunavanja, bolje je zamijeniti eksponent običnim razlomkom, a zatim koristiti definiciju eksponenta razlomkom. Za gornje primjere dobijamo:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Šta su moći sa iracionalnim i realnim eksponentima?

Šta su realni brojevi? Njihov skup uključuje i racionalne i iracionalne brojeve. Stoga, da bismo razumjeli šta je stepen sa realnim eksponentom, moramo definisati stepene sa racionalnim i iracionalnim eksponentima. Racionalne smo već spomenuli gore. Hajde da se pozabavimo iracionalnim indikatorima korak po korak.

Primjer 5

Pretpostavimo da imamo iracionalan broj a i niz njegovih decimalnih aproksimacija a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Na primjer, uzmimo vrijednost a = 1,67175331. . . , Onda

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753, . . .

Nizove aproksimacija možemo povezati sa nizom stupnjeva a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Ako se sjetimo onoga što smo ranije rekli o dizanju brojeva na racionalne stepene, onda možemo sami izračunati vrijednosti tih potencija.

Uzmimo za primjer a = 3, tada a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . itd.

Niz stepena se može svesti na broj, koji će biti vrijednost stepena sa bazom a i iracionalnim eksponentom a. Kao rezultat: stepen sa iracionalnim eksponentom oblika 3 1, 67175331. . može se svesti na broj 6, 27.

Definicija 7

Potencija pozitivnog broja a sa iracionalnim eksponentom a zapisuje se kao a. Njegova vrijednost je granica niza a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , gdje je a 0 , a 1 , a 2 , . . . su uzastopne decimalne aproksimacije iracionalnog broja a. Stepen sa nultom bazom takođe se može definisati za pozitivne iracionalne eksponente, sa 0 a = 0 Dakle, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Ali to se ne može učiniti za negativne, jer, na primjer, vrijednost 0 - 5, 0 - 2 π nije definirana. Na primjer, jedinica podignuta na bilo koju iracionalnu snagu ostaje jedinica, a 1 2, 1 5 u 2 i 1 - 5 bit će jednako 1.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

U ovom članku ćemo shvatiti šta je to stepen of. Ovdje ćemo dati definicije stepena broja, dok ćemo detaljno razmotriti sve moguće eksponente, počevši od prirodnog eksponenta do iracionalnog. U materijalu ćete pronaći mnogo primjera stupnjeva, koji pokrivaju sve suptilnosti koje se pojavljuju.

Navigacija po stranici.

Potencija s prirodnim eksponentom, kvadrat broja, kocka broja

Počnimo sa . Gledajući unaprijed, recimo da je definicija stepena broja a sa prirodnim eksponentom n data za a, koji ćemo nazvati osnovu stepena, i n, koje ćemo nazvati eksponent. Također napominjemo da se stepen sa prirodnim eksponentom određuje kroz proizvod, tako da za razumijevanje materijala u nastavku morate razumjeti množenje brojeva.

Definicija.

Potencija broja sa prirodnim eksponentom n je izraz oblika a n, čija je vrijednost jednaka proizvodu n faktora, od kojih je svaki jednak a, odnosno, .
Konkretno, stepen broja a sa eksponentom 1 je sam broj a, odnosno a 1 =a.

Vrijedi odmah spomenuti pravila za čitanje diploma. Univerzalni način čitanja zapisa a n je: “a na stepen n”. U nekim slučajevima su prihvatljive i sljedeće opcije: “a na n-ti stepen” i “n-ti stepen od a”. Na primjer, uzmimo stepen 8 12, ovo je “osam na stepen od dvanaest”, ili “osam na dvanaesti stepen”, ili “dvanaesti stepen od osam”.

Drugi stepen broja, kao i treći stepen broja, imaju svoja imena. Drugi stepen broja se zove kvadrat broj, na primjer, 7 2 se čita kao "sedam na kvadrat" ili "kvadrat broja sedam". Treći stepen broja se zove kockasti brojevi, na primjer, 5 3 se može čitati kao "pet kocki" ili možete reći "kocka broja 5".

Vrijeme je da donesete primjeri stupnjeva s prirodnim eksponentima. Počnimo sa stepenom 5 7, ovdje je 5 osnova stepena, a 7 eksponent. Navedimo još jedan primjer: 4,32 je baza, a prirodni broj 9 je eksponent (4,32) 9 .

Imajte na umu da je u posljednjem primjeru osnova stepena 4.32 napisana u zagradama: da bismo izbjegli neslaganja, u zagrade ćemo staviti sve baze potencija koje se razlikuju od prirodnih brojeva. Kao primjer, dajemo sljedeće stepene sa prirodnim eksponentima , njihove baze nisu prirodni brojevi, pa se pišu u zagradama. Pa, radi potpune jasnoće, na ovom mjestu ćemo pokazati razliku sadržanu u zapisima oblika (−2) 3 i −2 3. Izraz (−2) 3 je stepen od −2 sa prirodnim eksponentom 3, a izraz −2 3 (može se napisati kao −(2 3) ) odgovara broju, vrijednosti stepena 2 3 .

Imajte na umu da postoji notacija za stepen broja a sa eksponentom n oblika a^n. Štaviše, ako je n prirodni broj sa više vrijednosti, eksponent se uzima u zagrade. Na primjer, 4^9 je još jedna notacija za potenciju 4 9 . A evo još nekoliko primjera pisanja stupnjeva pomoću simbola “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . U nastavku ćemo prvenstveno koristiti zapis stepena oblika a n .

Jedan od problema obrnut dizanju na stepen sa prirodnim eksponentom je problem pronalaženja baze stepena iz poznate vrijednosti stepena i poznatog eksponenta. Ovaj zadatak vodi do .

Poznato je da se skup racionalnih brojeva sastoji od cijelih brojeva i razlomaka, a svaki razlomak se može predstaviti kao pozitivan ili negativan obični razlomak. U prethodnom pasusu smo definisali stepen celobrojnim eksponentom, stoga, da bismo završili definiciju stepena sa racionalnim eksponentom, treba da damo značenje stepenu broja a sa delimičnim eksponentom m/n, gde je m je cijeli broj, a n prirodan broj. Hajde da to uradimo.

Razmotrimo stepen sa frakcijskim eksponentom oblika . Da bi svojstvo snaga-power ostalo valjano, jednakost mora vrijediti . Ako uzmemo u obzir rezultirajuću jednakost i način na koji smo odredili , onda je logično da je prihvatimo pod uslovom da za date m, n i a izraz ima smisla.

Lako je provjeriti da su za sva svojstva stepena sa cijelim eksponentom valjana (ovo je urađeno u odeljku svojstva stepena sa racionalnim eksponentom).

Gornje rezonovanje nam omogućava da napravimo sljedeće zaključak: ako su dati m, n i a izraz ima smisla, onda se stepen a sa razlomkom eksponenta m/n naziva n-ti korijen od a na stepen m.

Ova izjava nas približava definiciji stepena sa razlomkom eksponenta. Ostaje samo da se opiše u čemu m, n i a izraz ima smisla. U zavisnosti od ograničenja postavljenih na m, n i a, postoje dva glavna pristupa.

Najlakši način je nametnuti ograničenje na a uzimajući a≥0 za pozitivno m i a>0 za negativno m (pošto za m≤0 stepen 0 od m nije definiran). Tada dobijamo sljedeću definiciju stepena s razlomkom eksponenta.

Definicija.

Potencija pozitivnog broja a sa razlomanim eksponentom m/n, gdje je m cijeli broj, a n prirodan broj, naziva se n-ti korijen broja a na stepen m, odnosno, .

Frakciona snaga nule je takođe određena uz jedino upozorenje da indikator mora biti pozitivan.

Definicija.

Potencija nule sa razlomanim pozitivnim eksponentom m/n, gdje je m pozitivan cijeli broj, a n prirodan broj, definira se kao .
Kada stepen nije određen, odnosno stepen broja nula sa razlomačnim negativnim eksponentom nema smisla.

Treba napomenuti da kod ove definicije stepena sa razlomačnim eksponentom postoji jedno upozorenje: za neke negativne a i neke m i n, izraz ima smisla, te smo ove slučajeve odbacili uvođenjem uslova a≥0. Na primjer, unosi imaju smisla ili , a gore navedena definicija nas tjera da kažemo da potencira s razlomkom eksponenta oblika nema smisla, jer baza ne bi trebala biti negativna.

Drugi pristup određivanju stepena sa razlomanim eksponentom m/n je da se odvojeno razmatraju parni i neparni eksponenti korena. Ovaj pristup zahtijeva dodatni uvjet: snaga broja a, čiji je eksponent je , smatra se potencijom broja a, čiji je eksponent odgovarajući nesvodljivi razlomak (u nastavku ćemo objasniti važnost ovog uvjeta ). To jest, ako je m/n nesvodljiv razlomak, tada se za bilo koji prirodan broj k stepen prvo zamjenjuje sa .

Za paran n i pozitivno m, izraz ima smisla za bilo koje nenegativno a (parni korijen negativnog broja nema smisla); za negativan m, broj a i dalje mora biti različit od nule (inače će doći do dijeljenja po nuli). A za neparan n i pozitivan m, broj a može biti bilo koji (korijen neparnog stepena je definiran za bilo koji realan broj), a za negativan m broj a mora biti različit od nule (tako da nema dijeljenja sa nula).

Gornje rezonovanje nas dovodi do ove definicije stepena sa razlomkom eksponenta.

Definicija.

Neka je m/n nesvodljivi razlomak, m cijeli broj, a n prirodan broj. Za bilo koji razlomak koji se može reducirati, stupanj se zamjenjuje sa . Potencija broja sa nesmanjivim razlomačnim eksponentom m/n je za



Hajde da objasnimo zašto se stepen sa svodljivim razlomačnim eksponentom prvo zamenjuje stepenom sa nesvodljivim eksponentom. Kada bismo jednostavno definisali stepen kao , a ne rezervisali se o nesvodljivosti razlomka m/n, onda bismo se suočili sa situacijama sličnim sledećim: pošto je 6/10 = 3/5, onda jednakost mora da važi , Ali , A .

Tabela stepena 2 (dvojke) od 0 do 32

Tabela ispod pokazuje, pored stepena dvojke, maksimalne brojeve koje računar može pohraniti za dati broj bitova. Štaviše, i za cijele brojeve i brojeve sa predznakom.

Istorijski gledano, računari su koristili binarni brojevni sistem i, shodno tome, skladištenje podataka. Dakle, bilo koji broj može biti predstavljen kao niz nula i jedinica (bitova informacija). Postoji nekoliko načina da se brojevi predstave kao binarni niz.

Razmotrimo najjednostavniji od njih - ovo je pozitivan cijeli broj. Zatim što je veći broj koji treba da napišemo, duži niz bitova nam je potreban.

Ispod je tabela stepena broja 2. To će nam dati prikaz potrebnog broja bitova koji su nam potrebni za pohranjivanje brojeva.

Kako koristiti tabela stepena broja dva?

Prva kolona je moć dvojke, što istovremeno označava broj bitova koji predstavljaju broj.

Druga kolona - vrijednost dvojke na odgovarajuću potenciju (n).

Primjer pronalaženja snage 2. U prvoj koloni nalazimo broj 7. Gledamo duž linije desno i nalazimo vrijednost dva na sedmu potenciju(2 7) je 128

Treća kolona - maksimalni broj koji se može predstaviti pomoću datog broja bitova(u prvoj koloni).

Primjer određivanja maksimalnog cijelog broja bez predznaka. Koristeći podatke iz prethodnog primjera, znamo da je 2 7 = 128. Ovo je tačno ako želimo da shvatimo šta količina brojeva, može se predstaviti korištenjem sedam bitova. Ali, pošto prvi broj je nula, tada je maksimalni broj koji se može predstaviti pomoću sedam bitova 128 - 1 = 127. Ovo je vrijednost treće kolone.

Potencija dva (n)	Moć dvije vrijednosti 2n	Maksimalni nepotpisani broj napisano sa n bitova	Maksimalni broj potpisa napisano sa n bitova
0	1	-	-
1	2	1	-
2	4	3	1
3	8	7	3
4	16	15	7
5	32	31	15
6	64	63	31
7	128	127	63
8	256	255	127
9	512	511	255
10	1 024	1 023	511
11	2 048	2 047	1023
12	40 96	4 095	2047
13	8 192	8 191	4095
14	16 384	16 383	8191
15	32 768	32 767	16383
16	65 536	65 535	32767
17	131 072	131 071	65 535
18	262 144	262 143	131 071
19	524 288	524 287	262 143
20	1 048 576	1 048 575	524 287
21	2 097 152	2 097 151	1 048 575
22	4 194 304	4 194 303	2 097 151
23	8 388 608	8 388 607	4 194 303
24	16 777 216	16 777 215	8 388 607
25	33 554 432	33 554 431	16 777 215
26	67 108 864	67 108 863	33 554 431
27	134 217 728	134 217 727	67 108 863
28	268 435 456	268 435 455	134 217 727
29	536 870 912	536 870 911	268 435 455
30	1 073 741 824	1 073 741 823	536 870 911
31	2 147 483 648	2 147 483 647	1 073 741 823
32	4 294 967 296	4 294 967 295	2 147 483 647

Shvatili smo šta je zapravo stepen broja. Sada moramo razumjeti kako to ispravno izračunati, tj. podići brojeve na stepene. U ovom materijalu analiziraćemo osnovna pravila za izračunavanje stepena u slučaju celobrojnih, prirodnih, razlomaka, racionalnih i iracionalnih eksponenata. Sve definicije će biti ilustrovane primerima.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Koncept eksponencijalnosti

Počnimo sa formulisanjem osnovnih definicija.

Definicija 1

Eksponencijacija- ovo je izračun vrijednosti snage određenog broja.

Odnosno, riječi “izračunavanje vrijednosti moći” i “podizanje na stepen” znače istu stvar. Dakle, ako problem kaže “Podigni broj 0, 5 na peti stepen”, to treba shvatiti kao “izračunaj vrijednost stepena (0, 5) 5.

Sada predstavljamo osnovna pravila koja se moraju poštovati prilikom izrade ovakvih proračuna.

Prisjetimo se šta je stepen broja s prirodnim eksponentom. Za stepen sa bazom a i eksponentom n, ovo će biti proizvod n-tog broja faktora, od kojih je svaki jednak a. Ovo se može napisati ovako:

Da biste izračunali vrijednost stepena, morate izvršiti radnju množenja, odnosno pomnožiti baze stepena određeni broj puta. Sam koncept stepena sa prirodnim eksponentom zasniva se na sposobnosti brzog množenja. Navedimo primjere.

Primjer 1

Uslov: podizanje - 2 na stepen 4.

Rješenje

Koristeći gornju definiciju, pišemo: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . Zatim, samo trebamo slijediti ove korake i dobiti 16.

Uzmimo složeniji primjer.

Primjer 2

Izračunajte vrijednost 3 2 7 2

Rješenje

Ovaj unos se može prepisati kao 3 2 7 · 3 2 7 . Prethodno smo pogledali kako pravilno pomnožiti mješovite brojeve spomenute u uvjetu.

Izvršimo ove korake i dobićemo odgovor: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Ako problem ukazuje na potrebu podizanja iracionalnih brojeva na prirodni stepen, morat ćemo prvo zaokružiti njihovu bazu na cifru koja će nam omogućiti da dobijemo odgovor potrebne tačnosti. Pogledajmo primjer.

Primjer 3

Izvedite kvadrat od π.

Rješenje

Prvo, zaokružimo to na stotinke. Tada je π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Ako je π ≈ 3. 14159, onda dobijamo precizniji rezultat: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Imajte na umu da se potreba za izračunavanjem snaga iracionalnih brojeva javlja relativno rijetko u praksi. Tada možemo zapisati odgovor kao sam stepen (ln 6) 3, ili pretvoriti ako je moguće: 5 7 = 125 5 .

Odvojeno, treba naznačiti koji je prvi stepen broja. Ovdje možete jednostavno zapamtiti da će svaki broj podignut na prvi stepen ostati sam:

To se jasno vidi sa snimka .

Ne zavisi od diplome.

Primjer 4

Dakle, (− 9) 1 = − 9, a 7 3 podignuto na prvi stepen će ostati jednako 7 3.

Radi praktičnosti, ispitat ćemo tri slučaja odvojeno: ako je eksponent pozitivan cijeli broj, ako je nula i ako je negativan cijeli broj.

U prvom slučaju, ovo je isto kao i podizanje na prirodni stepen: na kraju krajeva, pozitivni cijeli brojevi pripadaju skupu prirodnih brojeva. O tome kako raditi sa takvim diplomama, već smo govorili iznad.

Sada da vidimo kako pravilno podići na nultu snagu. Za bazu koja nije nula, ovaj proračun uvijek daje 1. Prethodno smo objasnili da se 0-ti stepen a može definirati za bilo koji realan broj koji nije jednak 0, a a 0 = 1.

Primjer 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - nije definisano.

Ostaje nam samo slučaj stepena sa cijelim negativnim eksponentom. Već smo raspravljali da se takvi stupnjevi mogu zapisati kao razlomak 1 a z, gdje je a bilo koji broj, a z negativan cijeli broj. Vidimo da nazivnik ovog razlomka nije ništa drugo do običan stepen sa pozitivnim celobrojnim eksponentom, a već smo naučili kako ga izračunati. Navedimo primjere zadataka.

Primjer 6

Podignite 3 na stepen - 2.

Rješenje

Koristeći gornju definiciju, pišemo: 2 - 3 = 1 2 3

Izračunajmo imenilac ovog razlomka i dobićemo 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8.

Tada je odgovor: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Primjer 7

Podignite 1,43 na -2 stepen.

Rješenje

Preformulirajmo: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2

Računamo kvadrat u nazivniku: 1,43·1,43. Decimale se mogu množiti na ovaj način:

Kao rezultat, dobili smo (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449. Sve što treba da uradimo je da ovaj rezultat zapišemo u obliku običnog razlomka, za šta ga trebamo pomnožiti sa 10 hiljada (pogledajte materijal o pretvaranju razlomaka).

Odgovor: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Poseban slučaj je podizanje broja na minus prvi stepen. Vrijednost ovog stepena jednaka je recipročnoj originalnoj vrijednosti baze: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.

Primjer 8

Primjer: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Kako podići broj na razlomak

Da bismo izvršili takvu operaciju, moramo zapamtiti osnovnu definiciju stepena sa razlomkom eksponenta: a m n = a m n za bilo koji pozitivan a, cijeli broj m i prirodni n.

Definicija 2

Dakle, izračunavanje razlomačnog stepena mora se izvesti u dva koraka: podizanje na cijeli broj i pronalaženje korijena n-tog stepena.

Imamo jednakost a m n = a m n , koja se, uzimajući u obzir svojstva korijena, obično koristi za rješavanje problema u obliku a m n = a n m . To znači da ako podignemo broj a na razlomak m / n, onda prvo uzmemo n-ti korijen od a, a zatim podignemo rezultat na stepen sa cjelobrojnim eksponentom m.

Ilustrirajmo primjerom.

Primjer 9

Izračunaj 8 - 2 3 .

Rješenje

Metoda 1: Prema osnovnoj definiciji, ovo možemo predstaviti kao: 8 - 2 3 = 8 - 2 3

Sada izračunajmo stepen ispod korijena i izvučemo treći korijen iz rezultata: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Metoda 2. Transformirajte osnovnu jednakost: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2

Nakon toga izdvajamo korijen 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 i kvadriramo rezultat: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Vidimo da su rješenja identična. Možete ga koristiti na bilo koji način.

Postoje slučajevi kada stepen ima indikator izražen kao mješoviti broj ili decimalni razlomak. Da biste pojednostavili proračune, bolje je zamijeniti ga običnim razlomkom i izračunati kako je gore navedeno.

Primjer 10

Podignite 44, 89 na stepen 2, 5.

Rješenje

Pretvorimo vrijednost indikatora u običan razlomak - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

Sada izvodimo redom sve gore navedene radnje: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = 1 = 13070 = 1350 501, 25107

Odgovor: 13 501, 25107.

Ako brojnik i nazivnik razlomanog eksponenta sadrže velike brojeve, tada je izračunavanje takvih eksponenata s racionalnim eksponentima prilično težak posao. Obično je potrebna kompjuterska tehnologija.

Zaustavimo se zasebno na potencijama s nultom bazom i razlomkom eksponenta. Izrazu oblika 0 m n može se dati sljedeće značenje: ako je m n > 0, onda je 0 m n = 0 m n = 0; ako je m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Kako podići broj na iracionalni stepen

Potreba da se izračuna vrijednost stepena čiji je eksponent iracionalan broj ne javlja se tako često. U praksi je zadatak obično ograničen na izračunavanje približne vrijednosti (do određenog broja decimalnih mjesta). To se obično izračunava na računaru zbog složenosti takvih proračuna, tako da se nećemo detaljnije zadržavati na tome, samo ćemo navesti glavne odredbe.

Ako trebamo izračunati vrijednost stepena a sa iracionalnim eksponentom a, onda uzimamo decimalnu aproksimaciju eksponenta i računamo od nje. Rezultat će biti približan odgovor. Što je decimalna aproksimacija preciznija, to je tačniji odgovor. Pokažimo na primjeru:

Primjer 11

Izračunajte približnu vrijednost 21, 174367....

Rješenje

Ograničimo se na decimalnu aproksimaciju a n = 1, 17. Izvršimo proračune koristeći ovaj broj: 2 1, 17 ≈ 2, 250116. Ako uzmemo, na primjer, aproksimaciju a n = 1, 1743, onda će odgovor biti malo tačniji: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Kalkulator vam pomaže da brzo podignete broj na snagu na mreži. Osnova stepena može biti bilo koji broj (i cijeli i realni). Eksponent također može biti cijeli broj ili realan, a također može biti pozitivan ili negativan. Imajte na umu da je za negativne brojeve povećanje na stepen koji nije cijeli broj nedefinirano, tako da će kalkulator prijaviti grešku ako to pokušate.

Kalkulator stepena

Podigni na snagu

Eksponencijalizacija: 28402

Šta je prirodna snaga broja?

Broj p se naziva n-tim stepenom broja ako je p jednako broju a pomnoženom sam sa sobom n puta: p = a n = a·...·a
n - pozvan eksponent, a broj a je osnovu stepena.

Kako podići broj na prirodni stepen?

Da biste razumjeli kako podići različite brojeve na prirodne moći, razmotrite nekoliko primjera:

Primjer 1. Podignite broj tri na četvrti stepen. Odnosno, potrebno je izračunati 3 4
Rješenje: kao što je gore navedeno, 3 4 = 3·3·3·3 = 81.
Odgovori: 3 4 = 81 .

Primjer 2. Podignite broj pet na peti stepen. Odnosno, potrebno je izračunati 5 5
Rješenje: slično, 5 5 = 5·5·5·5·5 = 3125.
Odgovori: 5 5 = 3125 .

Dakle, da biste broj podigli na prirodni stepen, samo ga trebate pomnožiti sam sa sobom n puta.

Šta je negativan stepen broja?

Negativna snaga -n od a je jedinica podijeljena sa a na stepen n: a -n = .

U ovom slučaju negativna snaga postoji samo za brojeve koji nisu nula, jer bi u suprotnom došlo do dijeljenja nulom.

Kako podići broj na negativan cijeli broj?

Da biste broj koji nije nula povisili na negativan stepen, trebate izračunati vrijednost ovog broja na istu pozitivnu potenciju i podijeliti jedan s rezultatom.

Primjer 1. Podignite broj dva na negativan četvrti stepen. Odnosno, morate izračunati 2 -4

Rješenje: kao što je gore navedeno, 2 -4 = = = 0,0625.

Odgovori: 2 -4 = 0.0625 .