Поток вектора электрической индукции. Вектор индукции электрического поля

Наиболее сложным оказывается изучение электрических явлений в неоднородной электрической среде. В такой среде ε имеет различные значения, изменяясь на границе диэлектриков скачкообразно. Предположим, что мы определяем напряжённость поля на границе раздела двух сред: ε 1 =1 (вакуум или воздух) и ε 2 =3 (жидкость – масло). На границе раздела при переходе из вакуума в диэлектрик напряжённость поля уменьшается в три раза, во столько же раз уменьшается поток вектора напряжённости (рис.12.25, а). Скачкообразное изменение вектора напряжённости электростатического поля на границе раздела двух сред создаёт определённые трудности при расчёте полей. Что касается теоремы Гаусса, то в этих условиях она вообще теряет смысл.

Так как поляризуемость и напряжённость разнородных диэлектриков различна, различным будет и число силовых линий в каждом диэлектрике. Это затруднение можно устранить, введя новую физическую характеристику поля электрическую индукцию D (или вектор электрического смещения ).

Согласно формуле

ε 1 Е 1 = ε 2 Е 2 =Е 0 =const

Умножая все части этих равенств на электрическую постоянную ε 0 получим

ε 0 ε 1 Е 1 = ε 0 ε 2 Е 2 =ε 0 Е 0 =const

Введём обозначение ε 0 εЕ=D тогда предпоследнее соотношение примет вид

D 1 = D 2 =D 0 =const

Вектор D, равный произведению напряжённости электрического поля в диэлектрике на его абсолютную диэлектрическую проницаемость, называют вектором электрического смещения

(12.45)

Единица электрического смещения – кулон на квадратный метр (Кл/м 2).

Электрическое смещение – векторная величина, её можно выразить ещё как

D = εε 0 E =(1+χ)ε 0 E = ε 0 E + χε 0 E = ε 0 E+P

(12.46)

В отличие от напряжённости Е электрическое смещение D постоянно во всех диэлектриках (рис.12.25, б). Поэтому электрическое поле в неоднородной диэлектрической среде удобно характеризовать не напряжённостью Е, а вектором смещения D . Вектором D описывается электростатическое поле, создаваемое свободными зарядами (т.е. в вакууме), но при таком их распределении в пространстве, какое имеется при наличии диэлектрика, так как связанные заряды, возникающие в диэлектрики, могут вызвать, перераспределение свободных зарядов создающих поле.

Поле вектора графически изображается линиями электрического смещения точно так же, как полеизображается силовыми линиями.

Линия электрического смещения – это линии, касательные к которым в каждой точке совпадают по направлению с вектором электрического смещения.

Линии вектора Е могут начинаться и заканчиваться на любых зарядах – свободных и связанных, в то время как линии вектора D - только на свободных зарядах. Линии вектора D в отличие от линий напряжённости непрерывны.

Так как вектор электрического смещения не испытывает разрыва на границе раздела двух сред, то все линии индукции, исходящие из зарядов, окружённых некоторой замкнутой поверхностью, пронижут её. Поэтому для вектора электрического смещения теорема Гаусса полностью сохраняет свой смысл и для неоднородной диэлектрической среды.

Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике : поток вектора электрического смещения сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов заключенных внутри этой поверхности.

(12.47)

Введем понятие потока вектора электрической индукции. Рассмотрим бесконечно малую площадку. В большинстве случаев необходимо знать не только величину площадки, но и ее ориентацию в пространстве. Введем понятие вектор-площадка. Условимся под вектором-площадкой понимать вектор, направленный перпендикулярно площадке и численно равной величине площадки.

Рисунок 1 – К определению вектора – площадки

Назовем потоком вектора че­рез площадку
скалярное произведение векторови
. Таким образом,

Поток вектора через произвольную поверхностьнаходится интегрированием всех элементарных потоков

(4)

Если поле однородно и плоская поверхность расположена перпен­дикулярно к полю, то:

. (5)

Приведенное выражение определяет число силовых линии, пронизывающих площадку в единицу времени.

Теорема Остроградского-Гаусса. Дивергенция напряженности электрического поля

Поток вектора электрической индукции сквозь произвольную замкнутую по­верхность равен алгебраической сумме свободных электрических зарядов, охватываемых этой поверхностью

(6)

Выражение (6) представляет собой теорему О-Г в интегральном виде. Теорема 0-Г оперирует с интегральным (суммарным) эффектом, т.е. если
то неизвестно, означает ли это отсутствие зарядов во всех точках исследуемой части пространства, или, то, что сумма положительных и отрицательных зарядов, расположенных в разных точках этого пространства равны нулю.

Для нахождения расположенных зарядов и их величины по заданному полю необходимо соотношение, связывающее вектор электрической индукции в данной точке с зарядом в той же точке.

Предположим, что нам нужно определить наличие заряда в точ­ке а (рис.2)

Рисунок 2 – К расчету дивергенции вектора

Применим теорему О-Г. Поток вектора электрической индукции через произвольную поверхность, ограничивающую объем, в которой находится точка а , равен

Алгебраическую сумму зарядов в объеме можно записать в виде объемного интеграла

(7)

где - заряд, отнесенный к единице объема;

- элемент объема.

Для получения связи между полем и зарядом в точке а будем уменьшать объем, стягивая поверхность к точке а . При этом разделим обе части нашего равенства на величину . Переходя к пределу, получим:

.

Правая часть полученного выражения является по определению объемной плотностью заряда в рассмотренной точке пространства. Левая часть представляет собой предел отношения потока вектора электрической индукции через замкнутую по­верхность к объему, ограниченному этой поверхностью, когда объем стремится к нулю. Эта скалярная величина является важной характеристикой электрического поля и носит название дивергенции вектора .

Таким образом:

,

следовательно

, (8)

где - объемная плотность заряда.

При помощи этого соотношения просто решается обратная задача электростатики, т.е. нахождение распределенных зарядов по известному полю.

Если вектор задан, значит известны его проекции
,
,
на координатные оси как функции координат и для вычисления распределенной плотности зарядов, создавших заданное поле, оказывается достаточно найти сумму трех частных производных этих проекций по соответствующим переменным. В тех точках для которых
зарядов нет. В точках где
положительна, имеется положительный заряд с объемной плотностью, равной
, а в тех точках где
будет иметь отрицательное значение, находится отрицательный заряд, плотность которого также определяется значением дивергенции.

Выражение (8) представляет теорему 0-Г в дифференциальной форме. В такой форме теорема показывает, что источниками электрического поля является свободные электрические заряды; силовые линии вектора электрической индукции начинаются и заканчиваются соответственно на положительных и отрицательных зарядах.

Теорема Гаусса для электрической индукции (электрического смещения)[

Для поля в диэлектрической среде электростатическая теорема Гаусса может быть записана еще и иначе (альтернативным образом) - через поток вектора электрического смещения(электрической индукции). При этом формулировка теоремы выглядит следующим образом: поток вектора электрического смещения через замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности свободному электрическому заряду:

В дифференциальной форме:

Теорема Гаусса для магнитной индукции

Поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю:

или в дифференциальной форме

Это эквивалентно тому, что в природе не существует «магнитных зарядов» (монополей), которые создавали бы магнитное поле, как электрические заряды создают электрическое поле . Иными словами, теорема Гаусса для магнитной индукции показывает, что магнитное поле является (полностью) вихревым .

Теорема Гаусса для ньютоновской гравитации

Для напряжённости поля ньютоновской гравитации (ускорения свободного падения) теорема Гаусса практически совпадает с таковой в электростатике, за исключением только констант (впрочем, всё равно зависящих от произвольного выбора системы единиц) и, главное, знака :

где g - напряжённость гравитационного поля, M - гравитационный заряд (то есть масса) внутри поверхности S , ρ - плотность массы, G - ньютоновская константа.

Проводники в электрическом поле. Поле внутри проводника и на его поверхности.

Проводниками называют тела, через которые электрические заряды могут переходить от заряженного тела к незаряженному. Способность проводников пропускать через себя электрические заряды объясняется наличием в них свободных носителей заряда. Проводники - металлические тела в твердом и жидком состоянии, жидкие растворы электролитов. Свободные заряды проводника, внесенного в электрическое поле, под его действием приходят в движение. Перераспределение зарядов вызывает изменение электрического поля. Когда напряженность электрического поля в проводнике становится равной нулю, электроны прекращают движение. Явление разделения разноименных зарядов в проводнике, помещенным в электрическое поле называется электростатической индукцией. Внутри проводника электрического поля нет. Это используют для электростатической защиты - защиты с помощью металлических проводников от электрического поля. Поверхность проводящего тела любой формы в электрическом поле является эквипотенциальной поверхностью.

Конденсаторы

Для получения устройств, которые при небольшом относительно среды потенциале накапливали бы на себе (конденсировали) заметные по величине заряды используют тот факт, что электроемкость проводника возрастает при приближении к нему других тел. Действительно, под действием поля, создаваемого заряженными проводниками, на поднесенном к нему теле возникают индуцированные (на проводнике) или связанные (на диэлектрике) заряды (рис.15.5). Заряды, противоположные по знаку заряду проводника q располагаются ближе к проводнику, чем одноименные с q, и, следовательно, оказывают большое влияние на его потенциал.

Поэтому при поднесении к заряженному проводнику какого либо тела напряженность поля уменьшается, а, следовательно, уменьшается потенциал проводника. Согласно уравнение это означает увеличение емкости проводника.

Конденсатор состоит из двух проводников (обкладок) (рис.15.6), разделенных прослойкой диэлектрика. При приложении к проводнику некоторой разности потенциалов его обкладки заряжаются равными по величине зарядами противоположного знака. Под электроемкостью конденсатора понимается физическая величина, пропорциональная заряду q и обратно пропорциональна разности потенциалов между обкладками

Определим емкость плоского конденсатора.

Если площадь обкладки S , а заряд на ней q, то напряженность поля между обкладками

С другой стороны разность потенциалов между обкладками откуда

Энергия системы точечных зарядов, заряженного проводника и конденсатора.

Всякая система зарядов обладает некоторой потенциальной энергией взаимодействия, которая равна работе, затраченной на создание этой системы. Энергия системы точечных зарядов q 1 , q 2 , q 3 ,… q N определяется следующим образом:

где φ 1 – потенциал электрического поля, создаваемого всеми зарядами кроме q 1 в той точке, где находится зарядq 1 и т.д. Если изменяется конфигурация системы зарядов, то изменяется и энергия системы. Для изменения конфигурации системы необходимо совершение работы.

Потенциальную энергию системы точечных зарядов можно рассчитать другим способом. Потенциальная энергия двух точечных зарядов q 1 , q 2 на расстоянии друг от друга равна. Если зарядов несколько, то потенциальную энергию этой системы зарядов можно определить как сумму потенциальных энергий всех пар зарядов, которые можно составить для этой системы. Так, для системы трех положительных зарядов энергия системы равна

Электрическое поле точечного заряда q 0 на расстоянии от него в среде с диэлектрической проницаемостьюε (см. рисунок 3.1.3). Рисунок 3.1.3	; Потенциал – скаляр, его знак зависит от знака заряда, создающего поле.
Рисунок 3.1.4. Электрическое поле равномерно заряженной сферы радиуса в точке С на расстоянииот её поверхности (рисунок 3.1.4). Электрическое поле сферы аналогично полю точечного заряда, равного заряду сферыq сф и сосредоточенного в её центре. Расстояние до точки, где определяется напряженность, равно (R +a )	Вне сферы: ; Потенциал внутри сферы постоянен и равен , а напряженность внутри сферы равна нулю
Электрическое поле равномерно заряженной бесконечной плоскости с поверхностной плотностью σ (см. рисунок 3.1.5). Рисунок 3.1.5.	Поле, напряженность которого во всех точках одинакова, называется однородным . Поверхностная плотность σ – заряд единицы поверхности (, где– соответственно заряд и площадь плоскости). Размерность поверхностной плотности заряда.
Электрическое поле плоского конденсатора с одинаковыми по величине, но противоположными по знаку зарядами на пластинах (см. рисунок 3.1.6). Рисунок 3.1.6	Напряженность между обкладками плоского конденсатора , вне конденсатораЕ =0. Разность потенциалов u между пластинами (обкладками) конденсатора: , гдеd – расстояние между обкладками, – диэлектрическая проницаемость диэлектрика, помещённого между пластинами конденсатора. Поверхностная плотность заряда на пластинах конденсатора равна отношению величины заряда на ней к площади пластины:.

Энергия заряженного уединенного проводника и конденсатора

Если уединенный проводник имеет заряд q, то вокруг него существует электрическое поле, потенциал которого на поверхности проводника равен , а емкость - С. Увеличим заряд на величину dq. При переносе заряда dq из бесконечности должна быть совершена работа равная . Но потенциал электростатического поля данного проводника в бесконечности равен нулю . Тогда

При переносе заряда dq с проводника в бесконечность такую же работу совершают силы электростатического поля. Следовательно, при увеличении заряда проводника на величину dq возрастает потенциальная энергия поля, т.е.

Проинтегрировав данное выражение, найдем потенциальную энергию электростатического поля заряженного проводника при увеличении его заряда от нуля до q:

Применяя соотношение , можно получить следующие выражения для потенциальной энергии W:

Для заряженного конденсатора разность потенциалов (напряжение) равна поэтому соотношение для полной энергии его электростатического поля имеют вид

Поток вектора напряженности электрического поля. Пусть небольшую площадку D S (рис.1.2) пересекают силовые линии электрического поля, направление которых составляет с нормалью n к этой площадке угол a . Полагая, что вектор напряженности Е не меняется в пределах площадки D S , определим поток вектора напряженности через площадку D S как

D F E = E D S cos a .(1.3)

Поскольку густота силовых линий равна численному значению напряжённости E , то количество силовых линий, пересекающих площадку D S , будет численно равно значению потока D F E через поверхность D S . Представим правую часть выражения (1.3) как скалярное произведение векторов E и D S = n D S , где n – единичный вектор нормали к поверхности D S . Для элементарной площадки dS выражение (1.3) принимает вид

d F E = E dS

Через всю площадку S поток вектора напряженности вычисляется как интеграл по поверхности

Поток вектора электрической индукции. Поток вектора электрической индукцииопределяется аналогично потоку вектора напряженности электрического поля

d F D = D dS

В определениях потоков заметна некоторая неоднозначность, связанная с тем, что для каждой поверхности можно задать две нормали противоположного направления. Для замкнутой поверхности положительной считается внешняя нормаль.

Теорема Гаусса. Рассмотрим точечный положительный электрический заряд q , находящийся внутри произвольной замкнутой поверхности S (рис. 1.3). Поток вектора индукции через элемент поверхности dS равен
(1.4)

Составляющую dS D = dS cos a элемента поверхности dS в направлении вектора индукции D рассматриваем как элемент сферической поверхности радиуса r , в центре которой расположен заряд q .

Учитывая, что dS D / r 2 равен элементарному телесному углу d w , под которым из точки нахождения заряда q виден элемент поверхности dS , преобразуем выражение (1.4) к виду d F D = q d w / 4 p , откуда после интегрирования по всему окружающему заряд пространству, т. е. в пределах телесного угла от 0 до 4 p , получим

F D = q .

Поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность произвольной формы равен заряду, заключенному внутри этой поверхности .

Если произвольная замкнутая поверхность S не охватывает точечный заряд q (рис. 1.4), то, построив коническую поверхность с вершиной в точке нахождения заряда, разделим поверхность S на две части: S 1 и S 2 . Поток вектора D через поверхность S найдем как алгебраическую сумму потоков через поверхности S 1 и S 2:

.

Обе поверхности из точки нахождения заряда q видны под одним телесным углом w . Поэтому потоки равны

Поскольку при вычислении потока через замкнутую поверхность используется внешняя нормаль к поверхности, легко видеть, что поток Ф 1D < 0, тогда как поток Ф 2D > 0. Суммарный поток Ф D = 0. Это означает, что поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность произвольной формы не зависит от зарядов, расположенных вне этой поверхности.

Если электрическое поле создаётся системой точечных зарядов q 1 , q 2 ,¼ , q n , которая охватывается замкнутой поверхностью S , то, в соответствии с принципом суперпозиции, поток вектора индукции через эту поверхность определяется как сумма потоков, создаваемых каждым из зарядов. Поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность произвольной формы равен алгебраической сумме зарядов, охваченныхэтой поверхностью :

Следует отметить, что заряды q i не обязательно должны быть точечными, необходимое условие - заряженная область должна полностью охватываться поверхностью. Если в пространстве, ограниченном замкнутой поверхностью S , электрический заряд распределен непрерывно, то следует считать, что каждый элементарный объём dV имеет заряд . В этом случае в правой части выражения (1.5) алгебраическое суммирование зарядов заменяется интегрированием по объёму, заключённому внутри замкнутой поверхности S :

(1.6)

Выражение (1.6) является наиболее общей формулировкой теоремы Гаусса : поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность произвольной формы равен суммарному заряду в объеме, охваченном этой поверхностью, и не зависит от зарядов, расположенных вне рассматриваемой поверхности . Теорему Гаусса можно записать и для потока вектора напряженности электрического поля:

.

Из теоремы Гаусса следует важное свойство электрического поля: силовые линии начинаются или заканчиваются только на электрических зарядах или уходят в бесконечность . Еще раз подчеркнем, что, несмотря на то, что напряжённость электрического поля E и электрическая индукция D зависят от расположения в пространстве всех зарядов, потоки этих векторов через произвольную замкнутую поверхность S определяются только теми зарядами, которые расположены внутри поверхности S .

Дифференциальная форма теоремы Гаусса. Отметим, чтоинтегральная форма теоремы Гаусса характеризует соотношения между источниками электрического поля (зарядами) и характеристиками электрического поля (напряженностью или индукцией) в объеме V произвольной, но достаточной для формирования интегральных соотношений, величины. Производя деление объема V на малые объемы V i , получим выражение

справедливое как в целом, так и для каждого слагаемого. Преобразуем полученное выражение следующим образом:

(1.7)

и рассмотрим предел, к которому стремится выражение в правой части равенства, заключенное в фигурных скобках, при неограниченном делении объема V . В математике этот предел называют дивергенцией вектора (в данном случае вектора электрической индукции D ):

Дивергенция вектора D в декартовых координатах:

Таким образом выражение (1.7) преобразуется к виду:

.

Учитывая, что при неограниченном делении сумма в левой части последнего выражения переходит в объемный интеграл, получим

Полученное соотношение должно выполняться для любого произвольно выбранного объема V . Это возможно лишь в том случае, если значения подынтегральных функций в каждой точке пространства одинаковы. Следовательно, дивергенция вектора D связана с плотностью заряда в той же точке равенством

или для вектора напряженности электростатического поля

Эти равенства выражают теорему Гаусса в дифференциальной форме .

Отметим, что в процессе перехода к дифференциальной форме теоремы Гаусса получается соотношение, которое имеет общий характер:

.

Выражение называется формулой Гаусса - Остроградского и связывает интеграл по объему от дивергенции вектора с потоком этого вектора сквозь замкнутую поверхность, ограничивающую объем.

Вопросы

1) В чем заключается физический смысл теоремы Гаусса для электростатического поля в вакууме

2) В центре куба находится точечный заряд q . Чему равен поток вектора Е :

а) через полную поверхность куба; б) через одну из граней куба.

Изменятся ли ответы, если:

а) заряд находится не в центре куба, но внутри его; б) заряд находится вне куба.

3) Что такое линейная, поверхностная, объемная плотности заряда.

4) Укажите связь объемной и поверхностной плотности зарядов.

5) Может ли поле вне разноименно и однородно заряженных параллельных бесконечных плоскостей быть отличным от нуля

6) Электрический диполь помещен внутрь замкнутой поверхности. Каков поток сквозь эту поверхность

Основная прикладная задача электростатики – расчет электрических полей, создаваемых в различных приборах и аппаратах. В общем виде эта задача решается с помощью закона Кулона и принципа суперпозиции. Однако эта задача очень усложняется при рассмотрении большого числа точечных или пространственно распределенных зарядов. Еще большие трудности возникают при наличии в пространстве диэлектриков или проводников, когда под действием внешнего поля Е 0 происходит перераспределение микроскопических зарядов, создающих свое дополнительное поле Е. Поэтому для практического решения этих задач используют вспомогательные методы и приемы, использующие сложный математический аппарат. Мы рассмотрим самый простой метод, основанный на применении теоремы Остроградского – Гаусса. Чтобы сформулировать эту теорему введем несколько новых понятий:

А)плотность заряда

Если заряженное тело велико, то нужно знать распределение зарядов внутри тела.

Объемная плотность заряда – измеряется зарядом единицы объема:

Поверхностная плотность заряда – измеряется зарядом единицы поверхности тела (когда заряд распределяется по поверхности):

Линейная плотность заряда (распределение заряда вдоль проводника):

б) вектор электростатической индукции

Вектором электростатической индукции (вектором электрического смещения) называется векторная величина, характеризующая электрическое поле.

Вектор равен произведению векторана абсолютную диэлектрическую проницаемость среды в данной точке:

Проверим размерность D в системе единиц СИ:

, т.к.
,

то размерности D и Е не совпадают, а также различны и их численные значения.

Из определения следует, что для поля вектораимеет место тот же принцип суперпозиции, как и для поля:

Поле графически изображается линиями индукции, точно так же как и поле . Линии индукции проводятся так, что касательная в каждой точке совпадает с направлением , а число линий равно численному значениюD в данном месте.

Чтобы понять смысл введения рассмотрим пример.

	ε> 1	на границе полости с диэлектриком концентрируются связанные отрицательные заряды и поля уменьшается враз и скачком уменьшается густота.
Для этого же случая:D = Eεε 0	, тогда: линииидут непрерывно. Линииначинаются на свободных зарядах (уна любых – связанных или свободных), и на границе диэлектрика их густота остается неизменной. Таким образом – непрерывность линий индукции значительно облегчает вычисление , а, зная связьсможно найти вектор.

в) поток вектора электростатической индукции

Рассмотрим в электрическом поле поверхность S и выберем направление нормали

1. Если поле однородно, то число силовых линий через поверхность S:

2. Если поле неоднородно, то поверхность разбивают на бесконечно малые элементы dS, которые считают плоскими и поле возле них однородным. Поэтому поток через элемент поверхности равен: dN = D n dS,

а полный поток через любую поверхность:

(6)

Поток индукции N – величина скалярная; в зависимости от  может быть > 0 или < 0, или = 0.