Trigonometria për biondet rreth trigonometrik. Rrethi trigonometrik

08.03.202427.05.2017

Koordinatat x pikat që shtrihen në rreth janë të barabarta me cos(θ) dhe koordinatat y korrespondojnë me sin(θ), ku θ është madhësia e këndit.

Nëse e keni të vështirë ta mbani mend këtë rregull, thjesht mbani mend se në çift (cos; sin) "sinusi vjen i fundit".
Ky rregull mund të nxirret duke marrë parasysh trekëndëshat kënddrejtë dhe përkufizimin e këtyre funksioneve trigonometrike (sinusi i një këndi është i barabartë me raportin e gjatësisë së anës së kundërt dhe kosinusi i anës ngjitur me hipotenuzën).

Shkruani koordinatat e katër pikave në rreth. Një "rreth njësi" është një rreth rrezja e të cilit është e barabartë me një. Përdoreni këtë për të përcaktuar koordinatat x Dhe y në katër pika të kryqëzimit të boshteve koordinative me rrethin. Më lart, për qartësi, ne i caktuam këto pika si "lindje", "veri", "perëndim" dhe "jug", megjithëse ato nuk kanë emra të përcaktuar.

"Lindje" korrespondon me pikën me koordinata (1; 0) .
"Veriu" korrespondon me pikën me koordinata (0; 1) .
"Perëndimi" korrespondon me pikën me koordinata (-1; 0) .
"Jug" korrespondon me pikën me koordinata (0; -1) .
Kjo është e ngjashme me një grafik të rregullt, kështu që nuk ka nevojë të mësoni përmendësh këto vlera, thjesht mbani mend parimin bazë.

Mbani mend koordinatat e pikave në kuadrantin e parë. Kuadranti i parë ndodhet në pjesën e sipërme të djathtë të rrethit, ku janë koordinatat x Dhe y marrin vlera pozitive. Këto janë të vetmet koordinata që duhet të mbani mend:

Vizatoni vija të drejta dhe përcaktoni koordinatat e pikave të kryqëzimit të tyre me rrethin. Nëse vizatoni vija të drejta horizontale dhe vertikale nga pikat e një kuadranti, pikat e dyta të kryqëzimit të këtyre vijave me rrethin do të kenë koordinatat x Dhe y me të njëjtat vlera absolute, por me shenja të ndryshme. Me fjalë të tjera, mund të vizatoni vija horizontale dhe vertikale nga pikat e kuadrantit të parë dhe të etiketoni pikat e kryqëzimit me rrethin me të njëjtat koordinata, por në të njëjtën kohë të lini hapësirë në të majtë për shenjën e saktë ("+" ose "-").

Për të përcaktuar shenjën e koordinatave, përdorni rregullat e simetrisë. Ka disa mënyra për të përcaktuar se ku të vendosni shenjën "-":

Mos harroni rregullat themelore për grafikët e rregullt. Boshti x negative në të majtë dhe pozitive në të djathtë. Boshti y negative poshtë dhe pozitive lart;
filloni me kuadrantin e parë dhe vizatoni vija në pika të tjera. Nëse vija e kalon boshtin y, koordinoj x do të ndryshojë shenjën e saj. Nëse vija e kalon boshtin x, shenja e koordinatës do të ndryshojë y;
mos harroni se në kuadrantin e parë të gjitha funksionet janë pozitive, në kuadrantin e dytë vetëm sinusi është pozitiv, në kuadrantin e tretë vetëm tangjentja është pozitive dhe në kuadrantin e katërt vetëm kosinusi është pozitiv;
Cilado metodë që përdorni, duhet të merrni (+,+) në kuadrantin e parë, (-,+) në të dytin, (-,-) në të tretën dhe (+,-) në të katërtin.

Kontrolloni nëse keni bërë një gabim. Më poshtë është një listë e plotë e koordinatave të pikave "të veçanta" (me përjashtim të katër pikave në boshtet e koordinatave), nëse lëvizni përgjatë rrethit të njësisë në drejtim të kundërt të akrepave të orës. Mos harroni se për të përcaktuar të gjitha këto vlera, mjafton të mbani mend koordinatat e pikave vetëm në kuadrantin e parë:

kuadranti i pare: ( 3 2 , 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2)))); (2 2 , 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (1 2 , 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2))));
kuadranti i dyte: ( − 1 2 , 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2)))); (− 2 2 , 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 3 2 , 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2))));
kuadranti i trete: ( − 3 2 , − 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))); (− 2 2 , − 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 1 2 , − 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2))));
kuadranti i katërt: ( 1 2 , − 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2)))); (2 2 , − 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (3 2 , − 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))).

Nëse tashmë jeni njohur me rrethi trigonometrik , dhe thjesht dëshironi të rifreskoni kujtesën tuaj për disa elementë, ose jeni plotësisht të paduruar, atëherë ja ku është:

Këtu do të analizojmë gjithçka në detaje hap pas hapi.

Rrethi trigonometrik nuk është një luks, por një domosdoshmëri

Trigonometria Shumë njerëz e lidhin atë me një shtresë të padepërtueshme. Papritur, grumbullohen kaq shumë vlera funksionesh trigonometrike, kaq shumë formula... Por sikur nuk funksionoi në fillim, dhe... largohemi... keqkuptim i plotë...

Është shumë e rëndësishme të mos dorëzoheni vlerat e funksioneve trigonometrike, - thonë ata, nxitjen mund ta shikosh gjithmonë me një tabelë vlerash.

Nëse jeni duke parë vazhdimisht një tabelë me vlerat e formulave trigonometrike, le ta heqim qafe këtë zakon!

Ai do të na ndihmojë! Do të punoni me të disa herë dhe më pas do të shfaqet në kokën tuaj. Si është më mirë se një tavolinë? Po, në tabelë do të gjeni një numër të kufizuar vlerash, por në rreth - GJITHÇKA!

Për shembull, thuaj ndërsa shikon Tabela standarde e vlerave të formulave trigonometrike , sa është sinusi i barabartë me, le të themi, 300 gradë, ose -45.

Nuk ka mundësi?.. sigurisht që mund të lidheni formulat e reduktimit... Dhe duke parë rrethin trigonometrik, ju lehtë mund t'i përgjigjeni pyetjeve të tilla. Dhe së shpejti do ta dini se si!

Dhe kur zgjidhen ekuacionet trigonometrike dhe pabarazitë pa një rreth trigonometrik, nuk është absolutisht askund.

Hyrje në rrethin trigonometrik

Le të shkojmë me radhë.

Së pari, le të shkruajmë këtë seri numrash:

Dhe tani kjo:

Dhe në fund kjo:

Sigurisht, është e qartë se, në fakt, në vendin e parë është , në vendin e dytë është , dhe në vendin e fundit është . Kjo do të thotë, ne do të jemi më të interesuar për zinxhirin.

Por sa bukur doli! Nëse ndodh diçka, ne do ta rivendosim këtë "shkallë mrekullie".

Dhe pse na duhet?

Ky zinxhir është vlerat kryesore të sinusit dhe kosinusit në tremujorin e parë.

Le të vizatojmë një rreth të rrezes njësi në një sistem koordinativ drejtkëndor (d.m.th., marrim çdo rreze në gjatësi dhe deklarojmë gjatësinë e tij si njësi).

Nga rreze "0-Start" ne vendosim qoshet në drejtim të shigjetës (shih figurën).

Ne marrim pikat përkatëse në rreth. Pra, nëse projektojmë pikat në secilin prej boshteve, atëherë do të marrim saktësisht vlerat nga zinxhiri i mësipërm.

Pse është kjo, ju pyesni?

Le të mos analizojmë gjithçka. Le të shqyrtojmë parim, e cila do t'ju lejojë të përballeni me situata të tjera, të ngjashme.

Trekëndëshi AOB është drejtkëndor dhe përmban . Dhe ne e dimë se përballë këndit b shtrihet një këmbë sa gjysma e hipotenuzës (kemi hipotenuzën = rrezen e rrethit, domethënë 1).

Kjo do të thotë AB= (dhe për rrjedhojë OM=). Dhe sipas teoremës së Pitagorës

Shpresoj se diçka tashmë po bëhet e qartë?

Pra, pika B do të korrespondojë me vlerën, dhe pika M do t'i korrespondojë vlerës

E njëjta gjë me vlerat e tjera të tremujorit të parë.

Siç e kuptoni, boshti i njohur (kau) do të jetë boshti kosinus, dhe boshti (oy) - boshti i sinuseve . Më vonë.

Në të majtë të zeros përgjatë boshtit të kosinusit (nën zero përgjatë boshtit të sinusit) sigurisht që do të ketë vlera negative.

Pra, ja ku është, i Plotfuqishmi, pa të cilin nuk ka askund në trigonometri.

Por ne do të flasim se si të përdorim rrethin trigonometrik në.

Trigonometria, si shkencë, e ka origjinën në Lindjen e Lashtë. Raportet e para trigonometrike u përftuan nga astronomët për të krijuar një kalendar dhe orientim të saktë nga yjet. Këto llogaritje kanë të bëjnë me trigonometrinë sferike, ndërsa në kursin e shkollës studiohen raporti i brinjëve dhe këndeve të një trekëndëshi të rrafshët.

Trigonometria është një degë e matematikës që merret me vetitë e funksioneve trigonometrike dhe marrëdhëniet ndërmjet brinjëve dhe këndeve të trekëndëshave.

Gjatë lulëzimit të kulturës dhe shkencës në mijëvjeçarin I pas Krishtit, njohuritë u përhapën nga Lindja e Lashtë në Greqi. Por zbulimet kryesore të trigonometrisë janë meritë e njerëzve të Kalifatit Arab. Në veçanti, shkencëtari turkmen al-Marazwi prezantoi funksione të tilla si tangjentja dhe kotangjentja, dhe përpiloi tabelat e para të vlerave për sinuset, tangjentet dhe kotangjentet. Konceptet e sinusit dhe kosinusit u prezantuan nga shkencëtarët indianë. Trigonometria mori shumë vëmendje në veprat e figurave të tilla të mëdha të antikitetit si Euklidi, Arkimedi dhe Eratostheni.

Madhësitë themelore të trigonometrisë

Funksionet bazë trigonometrike të një argumenti numerik janë sinusi, kosinusi, tangjentja dhe kotangjentja. Secila prej tyre ka grafikun e vet: sinus, kosinus, tangjent dhe kotangjent.

Formulat për llogaritjen e vlerave të këtyre sasive bazohen në teoremën e Pitagorës. Është më mirë e njohur për nxënësit e shkollës në formulimin: "Pantallonat e Pitagorës janë të barabarta në të gjitha drejtimet", pasi prova është dhënë duke përdorur shembullin e një trekëndëshi kënddrejtë izosceles.

Sinusi, kosinusi dhe varësitë e tjera vendosin marrëdhëniet midis këndeve akute dhe brinjëve të çdo trekëndëshi kënddrejtë. Le të japim formula për llogaritjen e këtyre sasive për këndin A dhe të gjurmojmë marrëdhëniet midis funksioneve trigonometrike:

Siç mund ta shihni, tg dhe ctg janë funksione të anasjellta. Nëse e imagjinojmë këmbën a si produkt të mëkatit A dhe hipotenuzës c, dhe këmbën b si cos A * c, marrim formulat e mëposhtme për tangjenten dhe kotangjenten:

Rrethi trigonometrik

Grafikisht, marrëdhënia ndërmjet sasive të përmendura mund të paraqitet si më poshtë:

Rrethi, në këtë rast, përfaqëson të gjitha vlerat e mundshme të këndit α - nga 0° deri në 360°. Siç shihet nga figura, çdo funksion merr një vlerë negative ose pozitive në varësi të këndit. Për shembull, sin α do të ketë një shenjë "+" nëse α i përket çerekut 1 dhe 2 të rrethit, domethënë është në intervalin nga 0° deri në 180°. Për α nga 180° deri në 360° (tremujori III dhe IV), sin α mund të jetë vetëm një vlerë negative.

Le të përpiqemi të ndërtojmë tabela trigonometrike për kënde specifike dhe të zbulojmë kuptimin e sasive.

Vlerat e α të barabarta me 30°, 45°, 60°, 90°, 180° e kështu me radhë quhen raste të veçanta. Vlerat e funksioneve trigonometrike për to llogariten dhe paraqiten në formën e tabelave të veçanta.

Këto kënde nuk janë zgjedhur rastësisht. Emërtimi π në tabela është për radianët. Rad është këndi në të cilin gjatësia e harkut të rrethit korrespondon me rrezen e tij. Kjo vlerë u prezantua për të krijuar një varësi universale kur llogaritet në radianë, gjatësia aktuale e rrezes në cm nuk ka rëndësi.

Këndet në tabela për funksionet trigonometrike korrespondojnë me vlerat e radianit:

Pra, nuk është e vështirë të merret me mend se 2π është një rreth i plotë ose 360°.

Vetitë e funksioneve trigonometrike: sinus dhe kosinus

Për të shqyrtuar dhe krahasuar vetitë themelore të sinusit dhe kosinusit, tangjentës dhe kotangjentit, është e nevojshme të vizatohen funksionet e tyre. Kjo mund të bëhet në formën e një kurbë të vendosur në një sistem koordinativ dy-dimensional.

Konsideroni tabelën krahasuese të vetive për sinusin dhe kosinusin:

Vala sinusale	Kosinusi
y = mëkat x	y = cos x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sin x = 0, për x = πk, ku k ϵ Z	cos x = 0, për x = π/2 + πk, ku k ϵ Z
sin x = 1, për x = π/2 + 2πk, ku k ε Z	cos x = 1, në x = 2πk, ku k ε Z
sin x = - 1, në x = 3π/2 + 2πk, ku k ε Z	cos x = - 1, për x = π + 2πk, ku k ε Z
sin (-x) = - sin x, pra funksioni është tek	cos (-x) = cos x, pra funksioni është çift
	funksioni është periodik, periudha më e vogël është 2π
sin x › 0, me x që i përket çerekut 1 dhe 2 ose nga 0° deri në 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, me x që i përket lagjeve I dhe IV ose nga 270° në 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, me x që i përket tremujorit të tretë dhe të katërt ose nga 180° në 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, me x që i përket tremujorit të dytë dhe të tretë ose nga 90° në 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
rritet në intervalin [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	rritet në intervalin [-π + 2πk, 2πk]
zvogëlohet në intervale [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	zvogëlohet në intervale
derivat (sin x)’ = cos x	derivat (cos x)’ = - sin x

Përcaktimi nëse një funksion është çift apo jo është shumë e thjeshtë. Mjafton të imagjinoni një rreth trigonometrik me shenjat e sasive trigonometrike dhe të "palosni" mendërisht grafikun në lidhje me boshtin OX. Nëse shenjat përkojnë, funksioni është çift, përndryshe është tek.

Futja e radianeve dhe renditja e vetive themelore të valëve sinus dhe kosinus na lejojnë të paraqesim modelin e mëposhtëm:

Është shumë e lehtë të verifikosh nëse formula është e saktë. Për shembull, për x = π/2, sinusi është 1, siç është kosinusi i x = 0. Kontrolli mund të bëhet duke konsultuar tabelat ose duke gjurmuar kurbat e funksionit për vlerat e dhëna.

Vetitë e tangjentoideve dhe kotangjentoideve

Grafikët e funksioneve tangjente dhe kotangjente ndryshojnë ndjeshëm nga funksionet sinus dhe kosinus. Vlerat tg dhe ctg janë reciproke të njëra-tjetrës.

Y = tan x.
Tangjentja tenton te vlerat e y në x = π/2 + πk, por nuk i arrin kurrë ato.
Periudha pozitive më e vogël e tangentoidit është π.
Tg (- x) = - tg x, pra funksioni është tek.
Tg x = 0, për x = πk.
Funksioni po rritet.
Tg x › 0, për x ε (πk, π/2 + πk).
Tg x ‹ 0, për x ϵ (— π/2 + πk, πk).
Derivati (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x.

Merrni parasysh imazhin grafik të kotangjentoidit më poshtë në tekst.

Karakteristikat kryesore të kotangjentoideve:

Y = cotg x.
Ndryshe nga funksionet e sinusit dhe kosinusit, në tangentoidin Y mund të marrë vlerat e grupit të të gjithë numrave realë.
Kotangjentoidi tenton në vlerat e y në x = πk, por nuk i arrin kurrë ato.
Periudha më e vogël pozitive e një kotangjentoide është π.
Ctg (- x) = - ctg x, pra funksioni është tek.
Ctg x = 0, për x = π/2 + πk.
Funksioni është në rënie.
Ctg x › 0, për x ε (πk, π/2 + πk).
Ctg x ‹ 0, për x ϵ (π/2 + πk, πk).
Derivati (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x Saktë

Rrethi trigonometrik. Rrethi njësi. Rrethi i numrave. Cfare eshte?

Kujdes!
Ka shtesë
materialet në Seksioni special 555.
Për ata që janë shumë "jo shumë..."
Dhe për ata që "shumë ...")

Shumë shpesh terma rrethi trigonometrik, rrethi njësi, rrethi numëror të kuptuara dobët nga nxënësit. Dhe krejtësisht kot. Këto koncepte janë një asistent i fuqishëm dhe universal në të gjitha fushat e trigonometrisë. Në fakt, kjo është një fletë mashtrimi ligjor! Unë vizatova një rreth trigonometrik dhe pashë menjëherë përgjigjet! Joshëse? Pra, le të mësojmë, do të ishte mëkat të mos përdorej një gjë e tillë. Për më tepër, nuk është aspak e vështirë.

Për të punuar me sukses me rrethin trigonometrik, duhet të dini vetëm tre gjëra.

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Le të mësojmë - me interes!)

Mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.