Trygonometria dla koła trygonometrycznego blondynek. Koło trygonometryczne

08.03.202427.05.2017

Współrzędne X punkty leżące na okręgu są równe cos(θ) i współrzędnym y odpowiadają sin(θ), gdzie θ jest wielkością kąta.

Jeśli trudno ci zapamiętać tę zasadę, pamiętaj tylko, że w parze (cos; grzech) „sinus występuje na końcu”.
Zasadę tę można wyprowadzić, rozważając trójkąty prostokątne i definicję tych funkcji trygonometrycznych (sinus kąta jest równy stosunkowi długości przeciwnego boku i cosinusa sąsiedniego boku do przeciwprostokątnej).

Zapisz współrzędne czterech punktów na okręgu.„Okrąg jednostkowy” to okrąg, którego promień jest równy jeden. Użyj tego, aby określić współrzędne X I y w czterech punktach przecięcia osi współrzędnych z okręgiem. Powyżej dla przejrzystości oznaczyliśmy te punkty jako „wschód”, „północ”, „zachód” i „południe”, choć nie mają one ustalonych nazw.

„Wschód” odpowiada punktowi ze współrzędnymi (1; 0) .
„Północ” odpowiada punktowi ze współrzędnymi (0; 1) .
„Zachód” odpowiada punktowi ze współrzędnymi (-1; 0) .
„Południe” odpowiada punktowi ze współrzędnymi (0; -1) .
Przypomina to zwykły wykres, więc nie ma potrzeby zapamiętywania tych wartości, wystarczy zapamiętać podstawową zasadę.

Zapamiętaj współrzędne punktów w pierwszej ćwiartce. Pierwsza ćwiartka znajduje się w prawej górnej części okręgu, gdzie znajdują się współrzędne X I y przyjmować wartości dodatnie. Oto jedyne współrzędne, o których musisz pamiętać:

Narysuj linie proste i określ współrzędne punktów ich przecięcia z okręgiem. Jeśli z punktów jednej ćwiartki narysujesz proste linie poziome i pionowe, to drugie punkty przecięcia tych linii z okręgiem będą miały współrzędne X I y z tymi samymi wartościami bezwzględnymi, ale różnymi znakami. Innymi słowy, możesz narysować linie poziome i pionowe z punktów pierwszej ćwiartki i oznaczyć punkty przecięcia z okręgiem o tych samych współrzędnych, ale jednocześnie zostawić po lewej stronie miejsce na właściwy znak („+” Lub "-").

Aby określić znak współrzędnych, skorzystaj z zasad symetrii. Istnieje kilka sposobów ustalenia, gdzie umieścić znak „-”:

Pamiętaj o podstawowych zasadach dotyczących zwykłych wykresów. Oś X ujemny po lewej stronie i dodatni po prawej. Oś y ujemny poniżej i dodatni powyżej;
zacznij od pierwszej ćwiartki i narysuj linie do innych punktów. Jeśli linia przecina oś y, współrzędna X zmieni swój znak. Jeśli linia przecina oś X, znak współrzędnej ulegnie zmianie y;
pamiętaj, że w pierwszej ćwiartce wszystkie funkcje są dodatnie, w drugiej ćwiartce tylko sinus jest dodatni, w trzeciej ćwiartce tylko tangens jest dodatni, a w czwartej ćwiartce tylko cosinus jest dodatni;
Niezależnie od tego, jakiej metody użyjesz, powinieneś otrzymać (+,+) w pierwszej ćwiartce, (-,+) w drugiej, (-,-) w trzeciej i (+,-) w czwartej.

Sprawdź, czy popełniłeś błąd. Poniżej znajduje się pełna lista współrzędnych punktów „specjalnych” (z wyjątkiem czterech punktów na osiach współrzędnych), jeśli poruszasz się po okręgu jednostkowym w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Pamiętaj, że aby wyznaczyć te wszystkie wartości wystarczy zapamiętać współrzędne punktów tylko w pierwszej ćwiartce:

pierwsza ćwiartka: ( 3 2 , 1 2 (\ Displaystyle (\ Frac (\ sqrt (3)) (2)), (\ Frac (1) (2)})); (2 2 , 2 2 (\ Displaystyle (\ Frac (\ sqrt (2)) (2)), (\ Frac (\ sqrt (2)) (2)))); (1 2 , 3 2 (\ Displaystyle (\ Frac (1) (2)), (\ Frac (\ sqrt (3)) (2))));
druga ćwiartka: ( - 1 2 , 3 2 (\ Displaystyle - (\ Frac (1) (2)), (\ Frac (\ sqrt (3)) (2)})); (- 2 2 , 2 2 (\ Displaystyle - (\ Frac (\ sqrt (2)) (2)), (\ Frac (\ sqrt (2)) (2)))); (- 3 2 , 1 2 (\ Displaystyle - (\ Frac (\ sqrt (3)) (2)), (\ Frac (1) (2)}));
trzecia ćwiartka: ( - 3 2 , - 1 2 (\ Displaystyle - (\ Frac (\ sqrt (3)) (2)), - (\ Frac (1) (2)})); (- 2 2 , - 2 2 (\ Displaystyle - (\ Frac (\ sqrt (2)) (2)), - (\ Frac (\ sqrt (2)) (2))}); (- 1 2 , - 3 2 (\ Displaystyle - (\ Frac (1) (2)), - (\ Frac (\ sqrt (3)) (2)}));
czwarta ćwiartka: ( 1 2 , - 3 2 (\ Displaystyle (\ Frac (1) (2)), - (\ Frac (\ sqrt (3)) (2)})); (2 2 , - 2 2 (\ Displaystyle (\ Frac (\ sqrt (2)) (2)), - (\ Frac (\ sqrt (2)) (2))}); (3 2 , - 1 2 (\ Displaystyle (\ Frac (\ sqrt (3)) (2)), - (\ Frac (1) (2)})).

Jeśli już zapoznałeś się z okrąg trygonometryczny , a chcesz po prostu odświeżyć sobie pamięć o pewnych elementach, albo zupełnie się niecierpliwisz, to oto on:

Tutaj przeanalizujemy wszystko szczegółowo krok po kroku.

Koło trygonometryczne nie jest luksusem, ale koniecznością

Trygonometria Wielu osobom kojarzy się z nieprzeniknioną gęstwiną. Nagle tak wiele wartości funkcji trygonometrycznych, tak wiele wzorów się nawarstwiło… Ale jakby na początku nie wyszło i… jedziemy… kompletne nieporozumienie…

Bardzo ważne jest, aby się nie poddawać wartości funkcji trygonometrycznych, - mówią, zawsze możesz spojrzeć na ostrogę z tabelą wartości.

Jeśli ciągle patrzysz na tabelę z wartościami wzorów trygonometrycznych, pozbądźmy się tego nawyku!

On nam pomoże! Będziesz z nim pracować kilka razy, a potem pojawi się w Twojej głowie. W czym jest lepszy od stołu? Tak, w tabeli znajdziesz ograniczoną liczbę wartości, ale na okręgu - WSZYSTKO!

Powiedz na przykład, patrząc standardowa tabela wartości wzorów trygonometrycznych , jaki jest sinus równy, powiedzmy, 300 stopni, czyli -45.

Nie ma mowy?.. oczywiście, że możesz się połączyć formuły redukcyjne... A patrząc na okrąg trygonometryczny, możesz łatwo odpowiedzieć na takie pytania. A wkrótce dowiesz się jak!

A przy rozwiązywaniu równań i nierówności trygonometrycznych bez koła trygonometrycznego jest to absolutnie nigdzie.

Wprowadzenie do koła trygonometrycznego

Chodźmy po kolei.

Najpierw napiszmy ten ciąg liczb:

A teraz to:

I na koniec to:

Oczywiście jasne jest, że tak naprawdę na pierwszym miejscu jest , na drugim miejscu jest , a na ostatnim miejscu jest . Oznacza to, że będziemy bardziej zainteresowani łańcuchem.

Ale jak pięknie wyszło! Jeśli coś się stanie, przywrócimy tę „cudowną drabinę”.

Dlaczego tego potrzebujemy?

Łańcuch ten to główne wartości sinusa i cosinusa w pierwszym kwartale.

Narysujmy okrąg o promieniu jednostkowym w prostokątnym układzie współrzędnych (to znaczy, bierzemy dowolny promień długości i deklarujemy jego długość jako jednostkę).

Z belki „0-Start” układamy narożniki w kierunku strzałki (patrz rysunek).

Otrzymujemy odpowiednie punkty na okręgu. Jeśli więc rzutujemy punkty na każdą z osi, otrzymamy dokładnie wartości z powyższego łańcucha.

Dlaczego tak jest, pytasz?

Nie analizujmy wszystkiego. Rozważmy zasada, które pozwolą Ci poradzić sobie z innymi, podobnymi sytuacjami.

Trójkąt AOB jest prostokątny i zawiera . I wiemy, że naprzeciw kąta b leży odnoga o połowę mniejsza od przeciwprostokątnej (mamy przeciwprostokątną = promień okręgu, czyli 1).

Oznacza to AB= (a zatem OM=). I zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa

Mam nadzieję, że coś już się wyjaśniło?

Zatem punkt B będzie odpowiadał wartości, a punkt M będzie odpowiadał wartości

Podobnie z pozostałymi wartościami pierwszego kwartału.

Jak rozumiesz, będzie znana oś (wół). oś cosinusa i oś (oy) – oś sinusów . Później.

Na lewo od zera wzdłuż osi cosinus (poniżej zera na osi sinus) będą oczywiście wartości ujemne.

A więc oto WSZECHMOCNY, bez którego nie ma miejsca w trygonometrii.

Ale porozmawiamy o tym, jak używać koła trygonometrycznego.

Trygonometria jako nauka wywodzi się ze starożytnego Wschodu. Astronomowie wyprowadzili pierwsze stosunki trygonometryczne w celu stworzenia dokładnego kalendarza i orientacji według gwiazd. Obliczenia te dotyczyły trygonometrii sferycznej, podczas gdy na zajęciach szkolnych badano stosunek boków i kątów płaskiego trójkąta.

Trygonometria to dział matematyki zajmujący się właściwościami funkcji trygonometrycznych oraz zależnościami między bokami i kątami trójkątów.

W okresie rozkwitu kultury i nauki w I tysiącleciu naszej ery wiedza rozprzestrzeniła się ze starożytnego Wschodu do Grecji. Ale główne odkrycia trygonometrii są zasługą ludzi kalifatu arabskiego. W szczególności turkmeński naukowiec al-Marazi wprowadził funkcje takie jak tangens i cotangens oraz opracował pierwsze tabele wartości sinusów, stycznych i cotangensów. Pojęcia sinusa i cosinusa zostały wprowadzone przez indyjskich naukowców. Trygonometrii poświęcano wiele uwagi w pracach tak wielkich postaci starożytności, jak Euklides, Archimedes i Eratostenes.

Podstawowe wielkości trygonometrii

Podstawowe funkcje trygonometryczne argumentu numerycznego to sinus, cosinus, tangens i cotangens. Każdy z nich ma swój własny wykres: sinus, cosinus, tangens i cotangens.

Wzory do obliczania wartości tych wielkości opierają się na twierdzeniu Pitagorasa. Jest to lepiej znane uczniom w sformułowaniu: „Spodnie pitagorejskie są równe we wszystkich kierunkach”, ponieważ dowód przedstawiono na przykładzie trójkąta prostokątnego równoramiennego.

Sinus, cosinus i inne zależności ustalają związek między kątami ostrymi i bokami dowolnego trójkąta prostokątnego. Podajmy wzory na obliczenie tych wielkości dla kąta A i prześledźmy zależności pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi:

Jak widać, tg i ctg są funkcjami odwrotnymi. Jeśli wyobrazimy sobie nogę a jako iloczyn grzechu A i przeciwprostokątnej c oraz nogę b jako cos A*c, otrzymamy następujące wzory na styczną i kotangę:

Koło trygonometryczne

Graficznie zależność pomiędzy wymienionymi wielkościami można przedstawić w następujący sposób:

Okrąg w tym przypadku reprezentuje wszystkie możliwe wartości kąta α - od 0° do 360°. Jak widać na rysunku, każda funkcja przyjmuje wartość ujemną lub dodatnią w zależności od kąta. Przykładowo sin α będzie miał znak „+”, jeśli α należy do 1. i 2. ćwiartki koła, czyli mieści się w przedziale od 0° do 180°. Dla α od 180° do 360° (III i IV ćwiartka) sin α może mieć tylko wartość ujemną.

Spróbujmy zbudować tabele trygonometryczne dla określonych kątów i dowiedzieć się, co oznaczają wielkości.

Wartości α równe 30°, 45°, 60°, 90°, 180° itd. nazywane są przypadkami specjalnymi. Wartości funkcji trygonometrycznych dla nich są obliczane i prezentowane w formie specjalnych tabel.

Kąty te nie zostały wybrane przypadkowo. Oznaczenie π w tabelach dotyczy radianów. Rad to kąt, pod którym długość łuku koła odpowiada jego promieniowi. Wartość tę wprowadzono w celu ustalenia uniwersalnej zależności; przy obliczaniu w radianach rzeczywista długość promienia w cm nie ma znaczenia.

Kąty w tabelach funkcji trygonometrycznych odpowiadają wartościom radianów:

Nietrudno więc zgadnąć, że 2π to pełny okrąg, czyli 360°.

Własności funkcji trygonometrycznych: sinus i cosinus

Aby rozważyć i porównać podstawowe właściwości sinusa i cosinusa, tangensa i cotangensu, należy narysować ich funkcje. Można tego dokonać w postaci krzywej umiejscowionej w dwuwymiarowym układzie współrzędnych.

Rozważ tabelę porównawczą właściwości sinusa i cosinusa:

Sinusoida	Cosinus
y = grzech x	y = cos x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sin x = 0, dla x = πk, gdzie k ϵ Z	cos x = 0, dla x = π/2 + πk, gdzie k ϵ Z
sin x = 1, dla x = π/2 + 2πk, gdzie k ϵ Z	cos x = 1, przy x = 2πk, gdzie k ϵ Z
sin x = - 1, przy x = 3π/2 + 2πk, gdzie k ϵ Z	cos x = - 1, dla x = π + 2πk, gdzie k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, czyli funkcja jest nieparzysta	cos (-x) = cos x, czyli funkcja jest parzysta
	funkcja jest okresowa, najmniejszy okres wynosi 2π
sin x › 0, gdzie x należy do 1. i 2. ćwiartki lub od 0° do 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, gdzie x należy do ćwiartek I i IV lub od 270° do 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, gdzie x należy do trzeciej i czwartej ćwiartki lub od 180° do 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, gdzie x należy do 2. i 3. ćwiartki lub od 90° do 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
wzrosty w przedziale [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	rośnie na przedziale [-π + 2πk, 2πk]
maleje na przedziałach [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	maleje w odstępach czasu
pochodna (sin x)’ = cos x	pochodna (cos x)’ = - sin x

Ustalenie, czy funkcja jest parzysta, czy nie, jest bardzo proste. Wystarczy wyobrazić sobie okrąg trygonometryczny ze znakami wielkości trygonometrycznych i w myślach „złożyć” wykres względem osi OX. Jeśli znaki się pokrywają, funkcja jest parzysta, w przeciwnym razie jest nieparzysta.

Wprowadzenie radianów i wyszczególnienie podstawowych własności fal sinusoidalnych i cosinusoidalnych pozwala przedstawić następujący wzór:

Bardzo łatwo jest sprawdzić poprawność wzoru. Na przykład dla x = π/2 sinus wynosi 1, podobnie jak cosinus x = 0. Sprawdzenie można przeprowadzić, korzystając z tabel lub śledząc krzywe funkcji dla danych wartości.

Właściwości tangentsoid i kotangentsoid

Wykresy funkcji stycznej i cotangens różnią się znacznie od funkcji sinus i cosinus. Wartości tg i ctg są względem siebie odwrotne.

Y = brązowy x.
Styczna dąży do wartości y przy x = π/2 + πk, ale nigdy ich nie osiąga.
Najmniejszy dodatni okres tangentoidy to π.
Tg (- x) = - tg x, czyli funkcja jest nieparzysta.
Tg x = 0, dla x = πk.
Funkcja jest rosnąca.
Tg x › 0, dla x ϵ (πk, π/2 + πk).
Tg x ‹ 0, dla x ϵ (— π/2 + πk, πk).
Pochodna (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x.

Rozważ graficzny obraz kotangentoidy poniżej w tekście.

Główne właściwości kotangentoidów:

Y = łóżko x.
W przeciwieństwie do funkcji sinus i cosinus, w tangentoidzie Y może przyjmować wartości zbioru wszystkich liczb rzeczywistych.
Kotangentoida dąży do wartości y przy x = πk, ale nigdy ich nie osiąga.
Najmniejszy dodatni okres kotangentoidy to π.
Ctg (- x) = - ctg x, czyli funkcja jest nieparzysta.
Ctg x = 0, dla x = π/2 + πk.
Funkcja jest malejąca.
Ctg x › 0, dla x ϵ (πk, π/2 + πk).
Ctg x ‹ 0, dla x ϵ (π/2 + πk, πk).
Pochodna (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x Poprawnie

Koło trygonometryczne. Okrąg jednostkowy. Koło liczbowe. Co to jest?

Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w Sekcja specjalna 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)

Bardzo często terminy okrąg trygonometryczny, okrąg jednostkowy, okrąg liczbowy słabo rozumiane przez uczniów. I zupełnie na próżno. Pojęcia te są potężnym i uniwersalnym pomocnikiem we wszystkich obszarach trygonometrii. W rzeczywistości jest to ściągawka prawna! Narysowałem okrąg trygonometryczny i od razu zobaczyłem odpowiedzi! Kuszący? Zatem nauczmy się, grzechem byłoby nie skorzystać z czegoś takiego. Co więcej, nie jest to wcale trudne.

Aby skutecznie pracować z okręgiem trygonometrycznym, musisz wiedzieć tylko trzy rzeczy.

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.