Ուժի մոմենտի չափման միավորը SI համակարգում: Իշխանության պահը

Պտտումը մեխանիկական շարժման տիպիկ տեսակ է, որը հաճախ հանդիպում է բնության և տեխնիկայի մեջ: Ցանկացած պտույտ տեղի է ունենում դիտարկվող համակարգի վրա ինչ-որ արտաքին ուժի ազդեցության արդյունքում։ Այս ուժը ստեղծում է այսպես կոչված Ինչ է, ինչից է կախված, քննարկվում է հոդվածում։

Պտտման գործընթաց

Մինչև ոլորող մոմենտ հասկացությունը դիտարկելը, եկեք բնութագրենք այն համակարգերը, որոնց վրա կարող է կիրառվել այս հայեցակարգը: Պտտման համակարգը ենթադրում է առանցքի առկայություն, որի շուրջ կատարվում է շրջանաձև շարժում կամ պտույտ։ Այս առանցքից մինչև համակարգի նյութական կետերի հեռավորությունը կոչվում է պտտման շառավիղ։

Կինեմատիկայի տեսանկյունից գործընթացը բնութագրվում է երեք անկյունային մեծություններով.

• ռոտացիայի անկյուն θ (չափված ռադիաններով);
• անկյունային արագություն ω (չափվում է ռադիաններով մեկ վայրկյանում);
• α անկյունային արագացում (չափվում է ռադիաններով մեկ քառակուսի վայրկյանում):

Այս մեծությունները միմյանց հետ կապված են հետևյալ հավասարումներով.

Բնության մեջ պտտման օրինակներ են մոլորակների շարժումներն իրենց ուղեծրերում և առանցքների շուրջ, ինչպես նաև տորնադոների շարժումները։ Առօրյա կյանքում և տեխնիկայում քննարկվող շարժումը բնորոշ է շարժիչի շարժիչներին, բանալիների, շինարարական ամբարձիչների, դռների բացման և այլնի համար։

Ուժի պահի որոշում

Այժմ անցնենք հոդվածի անմիջական թեմային։ Ըստ ֆիզիկական սահմանման՝ դա ուժի կիրառման վեկտորի վեկտորի արտադրյալն է պտտման առանցքի և բուն ուժի վեկտորի նկատմամբ։ Համապատասխան մաթեմատիկական արտահայտությունը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

Այստեղ r¯ վեկտորն ուղղված է պտտման առանցքից մինչև F¯ ուժի կիրառման կետը:

M¯ ոլորող մոմենտի այս բանաձևում F¯ ուժը կարող է ուղղորդվել ցանկացած կերպ՝ կապված առանցքի ուղղության: Այնուամենայնիվ, առանցքին զուգահեռ ուժային բաղադրիչը պտույտ չի առաջացնի, եթե առանցքը կոշտ ամրացված է: Ֆիզիկայի խնդիրների մեծ մասում պետք է հաշվի առնել F¯ ուժերը, որոնք գտնվում են պտտման առանցքին ուղղահայաց հարթություններում: Այս դեպքերում ոլորող մոմենտների բացարձակ արժեքը կարող է որոշվել հետևյալ բանաձևով.

|Մ¯| = |r¯|*|F¯|*sin(β):

Որտեղ β անկյունն է r¯ և F¯ վեկտորների միջև:

Ի՞նչ է լծակը:

Ուժի լծակը կարևոր դեր է խաղում ուժի պահի մեծությունը որոշելու համար։ Հասկանալու համար, թե ինչի մասին է խոսքը, հաշվի առեք հետևյալ պատկերը.

Այստեղ ցուցադրված է L երկարությամբ ձող, որը պտտման կետում ամրացված է իր ծայրերից մեկով։ Մյուս ծայրի վրա գործում է F ուժը, որն ուղղված է φ սուր անկյան տակ: Ըստ ուժի պահի սահմանման՝ կարող ենք գրել.

M = F*L*sin(180 o -φ):

Անկյունը (180 o -φ) առաջացել է, քանի որ L¯ վեկտորն ուղղված է ֆիքսված ծայրից դեպի ազատը: Հաշվի առնելով եռանկյունաչափական սինուսի ֆունկցիայի պարբերականությունը՝ այս հավասարությունը կարող ենք վերաշարադրել հետևյալ կերպ.

Այժմ եկեք մեր ուշադրությունը դարձնենք L, d և F կողմերի վրա կառուցված ուղղանկյուն եռանկյունին: Սինուսային ֆունկցիայի սահմանմամբ, L հիպոթենուսի և φ անկյան սինուսի արտադրյալը տալիս է d ոտքի արժեքը: Այնուհետև մենք հասնում ենք հավասարությանը.

Գծային d մեծությունը կոչվում է ուժի լծակ։ Այն հավասար է F¯ ուժի վեկտորից մինչև պտտման առանցքի հեռավորությանը: Ինչպես երևում է բանաձևից, ուժային լծակի հայեցակարգը հարմար է օգտագործել M պահը հաշվարկելիս: Ստացված բանաձևն ասում է, որ F որոշակի ուժի առավելագույն ոլորող մոմենտը տեղի կունենա միայն այն դեպքում, երբ շառավիղի վեկտորի երկարությունը r¯ ( L¯ վերևի նկարում) հավասար է ուժի լծակի, այսինքն, r¯ և F¯ կլինեն փոխադարձաբար ուղղահայաց:

M¯ քանակի գործողության ուղղությունը

Վերևում ցույց տրվեց, որ ոլորող մոմենտը տվյալ համակարգի վեկտորային հատկանիշ է: Ո՞ւր է ուղղված այս վեկտորը: Այս հարցին պատասխանելն առանձնապես դժվար չէ, եթե հիշենք, որ երկու վեկտորների արտադրյալի արդյունքը երրորդ վեկտորն է, որն ընկած է սկզբնական վեկտորների տեղակայման հարթությանը ուղղահայաց առանցքի վրա։

Մնում է որոշել՝ նշված հարթության նկատմամբ ուժի պահն ուղղվելու է դեպի վեր, թե՞ վար (ընթերցողից կամ հեռու): Սա կարող է որոշվել կա՛մ գիմլետի կանոնով, կա՛մ աջ ձեռքի կանոնով: Ահա երկու կանոններն էլ.

• Աջ ձեռքի կանոն. Եթե ​​աջ ձեռքը տեղադրեք այնպես, որ նրա չորս մատները շարժվեն r¯ վեկտորի սկզբից մինչև վերջ, իսկ հետո F¯ վեկտորի սկզբից մինչև վերջ, ապա դուրս ցցված բութ մատը ցույց կտա ուղղությամբ: պահի Մ¯.
• Գիմլետի կանոնը. Եթե ​​երևակայական միջնապատի պտտման ուղղությունը համընկնում է համակարգի պտտման ուղղության հետ, ապա գիմլետի փոխադրական շարժումը ցույց կտա M¯ վեկտորի ուղղությունը: Հիշեք, որ այն պտտվում է միայն ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ:

Երկու կանոններն էլ հավասար են, ուստի յուրաքանչյուրը կարող է օգտագործել այն, որն ավելի հարմար է իրեն։

Գործնական խնդիրներ լուծելիս հաշվի են առնվում ոլորող մոմենտների տարբեր ուղղությունները (վեր - վար, ձախ - աջ) օգտագործելով «+» կամ «-» նշանները։ Պետք է հիշել, որ M¯ պահի դրական ուղղությունը համարվում է այն, որը հանգեցնում է համակարգի պտույտի հակառակ ուղղությամբ: Համապատասխանաբար, եթե որոշակի ուժի պատճառով համակարգը պտտվում է ժամացույցի ուղղությամբ, ապա դրա ստեղծման պահը բացասական արժեք կունենա։

M¯ քանակի ֆիզիկական նշանակությունը

Պտտման ֆիզիկայում և մեխանիկայում M¯ արժեքը որոշում է ուժի կարողությունը կամ ուժերի գումարը պտույտ կատարելու համար: Քանի որ M¯ արժեքի մաթեմատիկական սահմանումը ներառում է ոչ միայն ուժը, այլև դրա կիրառման շառավիղը, վերջինս է, որ մեծապես որոշում է նշված պտտման ունակությունը: Որպեսզի ավելի պարզ լինի, թե ինչ ունակության մասին է խոսքը, ահա մի քանի օրինակ.

• Ամեն մարդ կյանքում գոնե մեկ անգամ փորձել է դուռը բացել ոչ թե բռնելով բռնելով, այլ այն ծխնիներին մոտեցնելով։ Վերջին դեպքում դուք պետք է զգալի ջանքեր գործադրեք ցանկալի արդյունքի հասնելու համար։
• Ընկույզը պտուտակից հանելու համար օգտագործեք հատուկ բանալիներ: Որքան երկար է բանալին, այնքան ավելի հեշտ է պտուտակահանել ընկույզը:
• Ուժի լծակի կարևորությունը զգալու համար ընթերցողներին հրավիրում ենք կատարել հետևյալ փորձը. վերցրեք աթոռը և փորձեք մի ձեռքով պահել այն կախովի, մի դեպքում ձեռքը հենեք ձեր մարմնին, մյուս դեպքում՝ կատարեք առաջադրանքը ուղիղ թեւ. Վերջինս շատերի համար անհնարին գործ կլինի, թեև աթոռի քաշը մնում է նույնը։

Ոլորող մոմենտ միավորներ

Մի քանի խոսք պետք է ասել նաև SI միավորների մասին, որոնցում չափվում է ոլորող մոմենտը: Համաձայն դրա համար գրված բանաձեւի՝ այն չափվում է նյուտոններով մեկ մետրի համար (N*m)։ Այնուամենայնիվ, այս միավորները չափում են նաև աշխատանքը և էներգիան ֆիզիկայում (1 N*m = 1 ջոուլ): M¯ պահի ջոուլը չի ​​կիրառվում, քանի որ աշխատանքը սկալյար մեծություն է, մինչդեռ M¯-ը վեկտոր է:

Սակայն ուժի մոմենտի միավորների համընկնումը էներգիայի միավորների հետ պատահական չէ։ Համակարգի պտտման համար կատարված աշխատանքը, որը կատարվում է M պահով, հաշվարկվում է բանաձևով.

Այստեղից մենք գտնում ենք, որ M-ը կարող է արտահայտվել նաև մեկ ռադիանի ջոուլներով (J/rad):

Պտտման դինամիկան

Հոդվածի սկզբում մենք գրեցինք կինեմատիկական բնութագրերը, որոնք օգտագործվում են պտտվող շարժումը նկարագրելու համար: Ռոտացիոն դինամիկայի մեջ հիմնական հավասարումը, որն օգտագործում է այս բնութագրերը, հետևյալն է.

Մ մոմենտի գործողությունը I իներցիայի պահ ունեցող համակարգի վրա հանգեցնում է α անկյունային արագացման:

Այս բանաձևը օգտագործվում է տեխնոլոգիայում պտտման անկյունային հաճախականությունները որոշելու համար։ Օրինակ, իմանալով ասինխրոն շարժիչի ոլորող մոմենտը, որը կախված է ստատորի կծիկի հոսանքի հաճախականությունից և փոփոխվող մագնիսական դաշտի մեծությունից, ինչպես նաև իմանալով պտտվող ռոտորի իներցիոն հատկությունները, հնարավոր է որոշել. Ինչ պտտման արագությամբ ω շարժիչի ռոտորը պտտվում է հայտնի ժամանակում t.

Խնդրի լուծման օրինակ

Անկշիռ լծակը, որն ունի 2 մետր երկարություն, մեջտեղում ունի հենարան։ Ի՞նչ քաշ պետք է դնել լծակի մի ծայրին, որպեսզի այն լինի հավասարակշռության վիճակում, եթե 10 կգ կշռող բեռը ընկած է հենարանի մյուս կողմում՝ դրանից 0,5 մետր հեռավորության վրա։

Ակնհայտ է, թե ինչ կլինի, եթե բեռների կողմից ստեղծված ուժի պահերը մեծությամբ հավասար լինեն։ Այս հարցում պահը ստեղծող ուժը մարմնի քաշն է։ Ուժի լծակները հավասար են բեռներից մինչև հենակետ հեռավորություններին։ Գրենք համապատասխան հավասարությունը.

մ 1 * գ * դ 1 = մ 2 * գ * դ 2 =>

P 2 = մ 2 * գ = մ 1 * գ * դ 1 / դ 2:

Մենք ստանում ենք P 2 քաշը, եթե խնդրի պայմաններից փոխարինենք m 1 = 10 կգ, d 1 = 0,5 մ, d 2 = 1 մ արժեքները: Գրավոր հավասարությունը տալիս է պատասխանը. P 2 = 49,05 նյուտոն:

Սահմանում

Շառավիղի վեկտորի արտադրյալը՝ վեկտորը (), որը գծված է O կետից (նկ. 1) դեպի այն կետը, որի վրա ուժը կիրառվում է հենց վեկտորի վրա, կոչվում է ուժի մոմենտ () O կետի նկատմամբ.

Նկար 1-ում O կետը և ուժի վեկտորը () և շառավիղի վեկտորը պատկերի հարթությունում են: Այս դեպքում ուժի () պահի վեկտորը ուղղահայաց է գծագրի հարթությանը և ունի մեզնից հեռու ուղղություն։ Ուժի պահի վեկտորը առանցքային է։ Ուժային մոմենտի վեկտորի ուղղությունը ընտրված է այնպես, որ ուժի ուղղությամբ O կետի շուրջ պտույտը և վեկտորը ստեղծեն աջակողմյան համակարգ: Ուժերի պահի ուղղությունը և անկյունային արագացումը համընկնում են։

Վեկտորի մեծությունը հետևյալն է.

որտեղ է շառավիղի և ուժի վեկտորի ուղղությունների միջև ընկած անկյունը, արդյո՞ք ուժի թեւը հարաբերական է O կետին:

Ուժի պահը առանցքի շուրջ

Առանցքի նկատմամբ ուժի մոմենտը ֆիզիկական մեծություն է, որը հավասար է տվյալ առանցքի վրա ընտրված առանցքի կետի նկատմամբ ուժի պահի վեկտորի նախագծմանը: Այս դեպքում կետի ընտրությունը նշանակություն չունի։

Ուժի հիմնական պահը

O կետի նկատմամբ ուժերի բազմության հիմնական մոմենտը կոչվում է վեկտոր (ուժի պահ), որը հավասար է նույն կետի նկատմամբ համակարգում գործող բոլոր ուժերի մոմենտների գումարին.

Այս դեպքում O կետը կոչվում է ուժերի համակարգի կրճատման կենտրոն։

Եթե ​​ուժերի մեկ համակարգի համար կան երկու հիմնական պահեր ( և ) ուժեր բերող տարբեր երկու կենտրոնների համար (O և O), ապա դրանք կապված են արտահայտությամբ.

որտեղ է շառավղային վեկտորը, որը գծված է O կետից O կետ, ուժային համակարգի հիմնական վեկտորն է:

Ընդհանուր դեպքում պինդ մարմնի վրա ուժերի կամայական համակարգի գործողության արդյունքը նույնն է, ինչ ուժային համակարգի հիմնական պահի մարմնի և ուժերի համակարգի հիմնական վեկտորի գործողությունը, որը. կիրառվում է կրճատման կենտրոնում (կետ O):

Պտտման շարժման դինամիկայի հիմնական օրենքը

որտեղ է մարմնի պտտման անկյունային իմպուլսը:

Պինդ մարմնի համար այս օրենքը կարող է ներկայացվել հետևյալ կերպ.

որտեղ I-ը մարմնի իներցիայի պահն է և անկյունային արագացումն է։

Ոլորող մոմենտ միավորներ

SI համակարգում ուժի մոմենտի չափման հիմնական միավորն է՝ [M]=N մ

GHS-ում՝ [M]=din սմ

Խնդիրների լուծման օրինակներ

Օրինակ

Զորավարժություններ.Նկար 1-ում պատկերված է մարմին, որն ունի OO պտտման առանցք։ Տվյալ առանցքի նկատմամբ մարմնի վրա կիրառվող ուժի մոմենտը հավասար կլինի զրոյի։ Առանցքը և ուժի վեկտորը գտնվում են նկարի հարթությունում։

Լուծում.Որպես խնդրի լուծման հիմք կվերցնենք ուժի պահը որոշող բանաձեւը.

Վեկտորային արտադրանքում (տեսանելի է նկարից): Ուժի վեկտորի և շառավղային վեկտորի միջև անկյունը նույնպես տարբեր կլինի զրոյից (կամ), հետևաբար, վեկտորի արտադրյալը (1.1) հավասար չէ զրոյի։ Սա նշանակում է, որ ուժի պահը տարբերվում է զրոյից։

Պատասխանել.

Օրինակ

Զորավարժություններ.Պտտվող կոշտ մարմնի անկյունային արագությունը փոխվում է Նկար 2-ում ներկայացված գրաֆիկի համաձայն: Գրաֆիկի վրա նշված կետերից ո՞ր կետում է մարմնի վրա կիրառվող ուժերի մոմենտը հավասար զրոյի:

Որը հավասար է իր ուսի ուժի արտադրյալին։

Ուժի պահը հաշվարկվում է բանաձևով.

Որտեղ Ֆ- ուժ, լ- ուժի ուս:

Իշխանության ուս- սա ամենակարճ հեռավորությունն է ուժի գործողության գծից մինչև մարմնի պտտման առանցքը: Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս կոշտ մարմին, որը կարող է պտտվել առանցքի շուրջ: Այս մարմնի պտտման առանցքը ուղղահայաց է նկարի հարթությանը և անցնում է այն կետով, որը նշանակված է որպես O տառ: Ուժի ուսը Ftահա հեռավորությունը լ, պտտման առանցքից մինչև ուժի գործողության գիծ։ Այն սահմանվում է այսպես. Առաջին քայլը ուժի գործողության գիծ գծելն է, ապա O կետից, որով անցնում է մարմնի պտտման առանցքը, իջեցնել ուժի գործողության գծին ուղղահայաց։ Այս ուղղահայաց երկարությունը պարզվում է, որ տրված ուժի թեւն է:

Ուժի պահը բնութագրում է ուժի պտտվող գործողությունը: Այս գործողությունը կախված է ինչպես ուժից, այնպես էլ լծակից: Որքան մեծ է թեւը, այնքան քիչ ուժ պետք է կիրառվի ցանկալի արդյունքը ստանալու համար, այսինքն՝ ուժի նույն պահը (տե՛ս վերևի նկարը): Այդ իսկ պատճառով դուռը բացելը ծխնիների մոտ հրելով այն շատ ավելի դժվար է, քան բռնելով բռնելով, իսկ ընկույզը երկար պտուտակով պտուտակելն ավելի հեշտ է, քան կարճ պտուտակով։

SI ուժի մոմենտի միավորը ընդունվում է 1 Ն ուժի մոմենտի, որի թեւը հավասար է 1 մ - նյուտոն մետրի (N m):

Պահերի կանոն.

Կոշտ մարմինը, որը կարող է պտտվել հաստատուն առանցքի շուրջը, հավասարակշռության մեջ է, եթե ուժի պահը Մ 1այն ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ պտտելը հավասար է ուժի պահի Մ 2 , որը պտտում է այն ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ.

Պահերի կանոնը մեխանիկայի թեորեմներից մեկի հետևանքն է, որը ձևակերպել է ֆրանսիացի գիտնական Պ.Վարինյոնը 1687 թվականին։

Մի երկու ուժ.

Եթե ​​մարմնի վրա գործում են 2 հավասար և հակառակ ուղղված ուժեր, որոնք չեն գտնվում միևնույն ուղիղ գծի վրա, ապա այդպիսի մարմինը հավասարակշռության մեջ չէ, քանի որ այդ ուժերի առաջացող մոմենտը որևէ առանցքի նկատմամբ հավասար չէ զրոյի, քանի որ երկու ուժերն էլ ունեն նույն ուղղությամբ ուղղված պահեր: Երկու նման ուժեր, որոնք միաժամանակ գործում են մարմնի վրա, կոչվում են մի երկու ուժ. Եթե ​​մարմինը ամրացված է առանցքի վրա, ապա զույգ ուժերի ազդեցությամբ այն կպտտվի։ Եթե ​​ազատ մարմնի վրա մի քանի ուժ կիրառվի, ապա այն կպտտվի իր առանցքի շուրջ: անցնելով մարմնի ծանրության կենտրոնով, պատկեր բ.

Զույգ ուժերի պահը նույնն է զույգի հարթությանը ուղղահայաց ցանկացած առանցքի նկատմամբ: Ընդհանուր պահ Մզույգերը միշտ հավասար են ուժերից մեկի արտադրյալին Ֆհեռավորության վրա լուժերի միջեւ, որը կոչվում է զույգի ուսը, անկախ նրանից, թե ինչ հատվածներ լ, և կիսում է զույգի ուսի առանցքի դիրքը.

Մի քանի ուժերի մոմենտը, որոնց արդյունքը զրոյական է, նույնն է լինելու միմյանց զուգահեռ բոլոր առանցքների նկատմամբ, հետևաբար այդ բոլոր ուժերի գործողությունը մարմնի վրա կարող է փոխարինվել նույն ուժերով մեկ զույգ ուժերի ազդեցությամբ։ պահը.

Հոդվածում կխոսենք կետի և առանցքի նկատմամբ ուժի պահի, սահմանումների, գծագրերի և գրաֆիկների, պտտվող շարժման մեջ ուժի, աշխատանքի և ուժի մոմենտի չափման, ինչպես նաև օրինակների և խնդիրների մասին։

Իշխանության պահըներկայացնում է ֆիզիկական մեծության վեկտոր, որը հավասար է վեկտորների արտադրյալին ուսի ուժը(մասնիկի շառավիղի վեկտորը) և ուժ, գործելով մի կետի վրա: Ուժային լծակը վեկտոր է, որը կապում է այն կետը, որով անցնում է կոշտ մարմնի պտտման առանցքը ուժի կիրառման կետի հետ։

որտեղ՝ r-ը ուժի թեւն է, F-ը մարմնի վրա կիրառվող ուժն է:

Վեկտորի ուղղություն պահի ուժերըմիշտ ուղղահայաց r և F վեկտորներով սահմանված հարթությանը:

Հիմնական կետն- ընդունված բևեռի նկատմամբ հարթության վրա գտնվող ուժերի ցանկացած համակարգ կոչվում է այս համակարգի բոլոր ուժերի պահի հանրահաշվական մոմենտը այս բևեռի նկատմամբ:

Պտտվող շարժումներում կարևոր են ոչ միայն ֆիզիկական մեծությունները, այլև այն, թե ինչպես են դրանք տեղակայված պտտման առանցքի համեմատ, այսինքն՝ դրանց պահեր. Մենք արդեն գիտենք, որ պտտվող շարժման մեջ կարևոր է ոչ միայն զանգվածը, այլև. Ուժի դեպքում դրա արդյունավետությունը արագացում հրահրելու հարցում որոշվում է պտտման առանցքի վրա ուժի կիրառման եղանակով։

Ուժի և դրա կիրառման ձևի միջև կապը նկարագրում է ԻՇԽԱՆՈՒԹՅԱՆ ՊԱՀ.Ուժի պահը ուժի թեւի վեկտորային արտադրյալն է Ռուժի վեկտորին F:

Ինչպես յուրաքանչյուր վեկտորային արտադրանքում, այնպես էլ այստեղ

Հետեւաբար, ուժը չի ազդի ռոտացիայի վրա, երբ ուժի վեկտորների միջեւ անկյունը Ֆեւ լծակ Ռհավասար է 0 o կամ 180 o: Ո՞րն է ուժի պահի կիրառման ազդեցությունը Մ?

Մենք օգտագործում ենք Նյուտոնի Շարժման երկրորդ օրենքը և կապը պարանի և անկյունային արագության միջև v = Rωսկալյար տեսքով, վավեր են, երբ վեկտորները ՌԵվ ω միմյանց ուղղահայաց

Հավասարման երկու կողմերը R-ով բազմապատկելով՝ ստանում ենք

Քանի որ mR 2 = I, մենք եզրակացնում ենք, որ

Վերոնշյալ կախվածությունը գործում է նաև նյութական մարմնի դեպքում։ Նշենք, որ մինչ արտաքին ուժը տալիս է գծային արագացում ա, արտաքին ուժի մոմենտը տալիս է անկյունային արագացում ε.

Ուժի պահի չափման միավոր

SI համակարգի կոորդինատում ուժի մոմենտի հիմնական չափումն է՝ [M]=N m

GHS-ում՝ [M]=din սմ

Աշխատանք և ուժ պտտվող շարժման մեջ

Գծային շարժման մեջ աշխատանքը որոշվում է ընդհանուր արտահայտությամբ.

բայց պտտվող շարժման մեջ,

և հետևաբար

Ելնելով երեք վեկտորների խառը արտադրյալի հատկություններից՝ կարող ենք գրել

Հետևաբար, մենք ստացել ենք արտահայտություն աշխատել պտտվող շարժման մեջ.

Հզորությունը պտտվող շարժման մեջ.

Գտեք ուժի պահը,գործել մարմնի վրա ստորև բերված նկարներում ներկայացված իրավիճակներում: Ենթադրենք, որ r = 1m և F = 2N:

Ա)քանի որ r և F վեկտորների միջև անկյունը 90° է, ապա sin(a)=1:

M = r F = 1m 2N = 2N մ

բ)քանի որ r և F վեկտորների միջև անկյունը 0° է, ուստի sin(a)=0:

M = 0
այո ուղղորդված ուժչի կարող միավոր տալ ռոտացիոն շարժում.

գ)քանի որ r և F վեկտորների միջև անկյունը 30° է, ապա sin(a)=0.5:

M = 0.5 r F = 1 N մ.

Այսպիսով, ուղղորդված ուժը կառաջացնի մարմնի ռոտացիա, սակայն դրա ազդեցությունն ավելի քիչ կլինի, քան դեպքում ա).

Ուժի պահը առանցքի շուրջ

Ենթադրենք, որ տվյալները մի կետ են Օ(բևեռ) և ուժ Պ. Կետում Օմենք վերցնում ենք ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգի ծագումը: Իշխանության պահը Ռ բևեռների նկատմամբ Օներկայացնում է վեկտոր Մ-ից (Ռ), (ստորև նկարը) .

Ցանկացած կետ Աառցանց Պ ունի կոորդինատներ (xo, yo, zo):
Ուժի վեկտոր Պ ունի կոորդինատներ Px, Py, Pz. Համակցման կետ A (xo, yo, zo)համակարգի սկզբի հետ մենք ստանում ենք վեկտորը էջ. Ուժի վեկտորի կոորդինատները Պ բևեռի համեմատ Օնշվում են նշաններով Mx, My, Mz. Այս կոորդինատները կարող են հաշվարկվել որպես տվյալ որոշիչի մինիմում, որտեղ ( ես, ժ, կ) - միավոր վեկտորներ կոորդինատային առանցքների վրա (տարբերակներ). ես, ժ, կ

Դետերմինանտը լուծելուց հետո պահի կոորդինատները հավասար կլինեն.

Մոմենտի վեկտորի կոորդինատները Մո (Պ) կոչվում են ուժի մոմենտներ համապատասխան առանցքի շուրջ: Օրինակ՝ ուժի պահը Պ առանցքի համեմատ Օզշրջապատող ձևանմուշ.

Mz = Pyxo - Pxyo

Այս օրինաչափությունը մեկնաբանվում է երկրաչափական ձևով, ինչպես ցույց է տրված ստորև նկարում:

Այս մեկնաբանության հիման վրա առանցքի շուրջ ուժի պահը Օզկարող է սահմանվել որպես ուժի պրոյեկցիայի պահ Պ առանցքին ուղղահայաց Օզայս հարթության առանցքի ներթափանցման կետի համեմատ: Ուժի պրոյեկցիա Պ նշվում է առանցքին ուղղահայաց Pxy , և հարթության ներթափանցման կետը Օքսի- առանցք ՕՀխորհրդանիշ Օ.
Առանցքի շուրջ ուժի պահի վերը նշված սահմանումից հետևում է, որ առանցքի նկատմամբ ուժի պահը զրո է, երբ ուժը և առանցքը հավասար են նույն հարթության վրա (երբ ուժը զուգահեռ է առանցքին կամ երբ ուժը հատում է առանցքը):
Օգտագործելով բանաձևերը Mx, My, Mz, մենք կարող ենք հաշվարկել ուժի պահի արժեքը Պ կետի համեմատ Օև որոշել վեկտորի միջև պարունակվող անկյունները Մ և համակարգի առանցքները.

Մեծ ոլորող մոմենտ ստեղծելու նշան.
գումարած (+) - ուժի պտույտ O առանցքի շուրջ ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ,
մինուս (-) - ուժի պտույտ O առանցքի շուրջ ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ:

Մի պահ ուժուժի գործողության հարթությունում կամայական կենտրոնի համեմատ ուժի մոդուլի և ուսի արտադրյալը կոչվում է:

Ուսի- ամենակարճ հեռավորությունը O կենտրոնից մինչև ուժի գիծը, բայց ոչ ուժի կիրառման կետը, քանի որ ուժային սահող վեկտոր.

Պահի նշան.

Ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ - մինուս, հակառակ ուղղությամբ - գումարած;

Ուժի պահը կարող է արտահայտվել որպես վեկտոր: Սա ուղղահայաց է հարթությանը ըստ Գիմլետի կանոնի։

Եթե ​​հարթության մեջ տեղակայված են մի քանի ուժեր կամ ուժերի համակարգ, ապա դրանց մոմենտի հանրահաշվական գումարը մեզ կտա. Հիմնական կետնուժերի համակարգեր.

Դիտարկենք ուժի պահը առանցքի շուրջ, հաշվարկենք ուժի պահը Z առանցքի շուրջ;

Եկեք նախագծենք F-ը XY-ի վրա;

F xy =F cosα= աբ

m 0 (F xy)=m z (F), այսինքն, m z =F xy * հ= Ֆ cosα* հ

Առանցքի նկատմամբ ուժի պահը հավասար է առանցքի և հարթության խաչմերուկում վերցված առանցքին ուղղահայաց հարթության վրա դրա ելքի պահին.

Եթե ​​ուժը զուգահեռ է առանցքին կամ հատում է այն, ապա m z (F)=0

Ուժի պահի արտահայտում որպես վեկտորային արտահայտություն

R a-ն նկարենք A կետին: Դիտարկենք OA x F-ը:

Սա երրորդ վեկտորն է m o, հարթությանը ուղղահայաց: Խաչաձև արտադրանքի մեծությունը կարելի է հաշվարկել՝ օգտագործելով ստվերված եռանկյունու տարածքի կրկնապատիկը:

Կոորդինատային առանցքների նկատմամբ ուժի վերլուծական արտահայտություն:

Ենթադրենք, որ i, j, k միավոր վեկտորներով Y և Z, X առանցքները կապված են O կետի հետ։ Հաշվի առնելով, որ.

r x =X * Fx ; r y =Y * F y; r z =Z * F y ստանում ենք՝ m o (F)=x =

Եկեք ընդլայնենք որոշիչը և ստանանք.

m x =YF z - ZF y

m y =ZF x - XF z

m z =XF y - YF x

Այս բանաձևերը հնարավորություն են տալիս հաշվարկել վեկտորի մոմենտի պրոյեկցիան առանցքի վրա, իսկ հետո՝ բուն վեկտորային մոմենտը։

Վարինյոնի թեորեմը արդյունքի պահի վերաբերյալ

Եթե ​​ուժերի համակարգն ունի արդյունք, ապա դրա մոմենտը ցանկացած կենտրոնի նկատմամբ հավասար է այս կետի նկատմամբ բոլոր ուժերի մոմենտների հանրահաշվական գումարին։

Եթե ​​կիրառենք Q= -R, ապա համակարգը (Q,F 1 ... F n) հավասարապես հավասարակշռված կլինի։

Ցանկացած կենտրոնի պահերի գումարը հավասար կլինի զրոյի:

Ուժերի հարթ համակարգի վերլուծական հավասարակշռության պայման

Սա ուժերի հարթ համակարգ է, որի գործողության գծերը գտնվում են նույն հարթության վրա

Այս տեսակի խնդիրների հաշվարկման նպատակն է որոշել արտաքին կապերի ռեակցիաները։ Դրա համար օգտագործվում են ուժերի հարթ համակարգի հիմնական հավասարումները:

Կարող են օգտագործվել 2 կամ 3 մոմենտի հավասարումներ։

Օրինակ

Եկեք հավասարություն ստեղծենք X և Y առանցքի բոլոր ուժերի գումարի համար.

A կետի նկատմամբ բոլոր ուժերի պահերի գումարը.

Զուգահեռ ուժեր

A կետի հավասարումը.

Բ կետի հավասարումը.

Y առանցքի վրա ուժերի կանխատեսումների գումարը: