Այս նյութում մենք կանդրադառնանք, թե ինչ է թվի ուժը: Բացի հիմնական սահմանումներից, մենք կձևակերպենք, թե ինչ ուժեր են բնական, ամբողջ թվով, ռացիոնալ և իռացիոնալ ցուցիչներով: Ինչպես միշտ, բոլոր հասկացությունները կներկայացվեն օրինակային խնդիրներով:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Նախ ձևակերպենք աստիճանի հիմնական սահմանումը բնական ցուցիչով: Դա անելու համար մենք պետք է հիշենք բազմապատկման հիմնական կանոնները: Նախապես պարզաբանենք, որ առայժմ որպես հիմք ընդունելու ենք իրական թիվը (նշվում է a տառով), իսկ բնական թիվը (նշվում է n տառով)։

Սահմանում 1

n բնական ցուցիչով a թվի հզորությունը n-րդ թվի գործոնների արտադրյալն է, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է a թվին: Դիպլոմը գրված է այսպես. a n, և բանաձևի տեսքով դրա կազմը կարող է ներկայացվել հետևյալ կերպ.

Օրինակ, եթե աստիճանը 1 է, իսկ հիմքը՝ a, ապա a-ի առաջին հզորությունը գրվում է այսպես ա 1. Հաշվի առնելով, որ a-ն գործոնի արժեքն է, իսկ 1-ը՝ գործոնների թիվը, կարող ենք եզրակացնել, որ ա 1 = ա.

Ընդհանուր առմամբ, կարելի է ասել, որ աստիճանը մեծ թվով հավասար գործոններ գրելու հարմար ձև է։ Այսպիսով, ձևի գրառում 8 8 8 8կարող է կրճատվել մինչև 8 4 . Նույն կերպ, արտադրանքն օգնում է մեզ խուսափել մեծ թվով տերմիններ գրելուց (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); Սա արդեն քննարկել ենք բնական թվերի բազմապատկմանը նվիրված հոդվածում։

Ինչպե՞ս ճիշտ կարդալ աստիճանի մուտքագրումը: Ընդհանուր ընդունված տարբերակն է «a-ն n-ի ուժով»: Կամ կարող եք ասել «ա-ի n-րդ ուժ» կամ «անթ ուժ»: Եթե, ասենք, օրինակում հանդիպեցինք մուտքին 8 12 , կարող ենք կարդալ «8-ը 12-րդ աստիճանին», «8-ը՝ 12-ի ուժին» կամ «8-ի 12-րդ աստիճանին»։

Թվերի երկրորդ և երրորդ ուժերն ունեն իրենց հաստատված անվանումները՝ քառակուսի և խորանարդ։ Եթե ​​տեսնում ենք երկրորդ հզորությունը, օրինակ՝ 7 թիվը (7 2), ապա կարող ենք ասել «7 քառակուսի» կամ «7 թվի քառակուսի»։ Նմանապես, երրորդ աստիճանը կարդացվում է այսպես. 5 3 - սա «5 թվի խորանարդն է» կամ «5 խորանարդը»: Այնուամենայնիվ, դուք կարող եք նաև օգտագործել ստանդարտ ձևակերպումը «մինչև երկրորդ/երրորդ իշխանություն», սա սխալ չի լինի:

Օրինակ 1

Դիտարկենք բնական ցուցիչ ունեցող աստիճանի օրինակ՝ for 5 7 հինգը կլինի հիմքը, իսկ յոթը կլինի ցուցանիշը:

Պարտադիր չէ, որ հիմքը լինի ամբողջ թիվ՝ աստիճանի համար (4 , 32) 9 հիմքը կլինի 4 կոտորակը, 32, իսկ աստիճանը կլինի ինը: Ուշադրություն դարձրեք փակագծերին. այս նշումը կատարվում է բոլոր այն հզորությունների համար, որոնց հիմքերը տարբերվում են բնական թվերից:

Օրինակ՝ 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3:

Ինչի՞ համար են փակագծերը: Նրանք օգնում են խուսափել հաշվարկների սխալներից: Ենթադրենք, մենք ունենք երկու մուտք. (− 2) 3 Եվ − 2 3 . Դրանցից առաջինը նշանակում է բացասական թիվ՝ հանած երկու, որը բարձրացված է երեքի բնական ցուցիչ ունեցող հզորության. երկրորդը աստիճանի հակառակ արժեքին համապատասխանող թիվն է 2 3 .

Երբեմն գրքերում կարելի է գտնել թվի ուժի մի փոքր այլ ուղղագրություն. ա^ն(որտեղ a-ն հիմքն է, իսկ n-ը՝ ցուցանիշը): Այսինքն՝ 4^9 նույնն է, ինչ 4 9 . Եթե ​​n-ը բազմանիշ թիվ է, ապա այն դրվում է փակագծերում։ Օրինակ՝ 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) ։ Բայց մենք կօգտագործենք նշումը a nորպես ավելի տարածված:

Հեշտ է կռահել, թե ինչպես կարելի է հաշվարկել ցուցիչի արժեքը բնական ցուցիչով դրա սահմանումից. պարզապես անհրաժեշտ է բազմապատկել n-րդ թիվը: Այս մասին ավելին գրել ենք մեկ այլ հոդվածում։

Աստիճան հասկացությունը մեկ այլ մաթեմատիկական հասկացության հակադարձ է՝ թվի արմատը։ Եթե ​​իմանանք հզորության և աստիճանի արժեքը, կարող ենք հաշվարկել դրա հիմքը։ Դիպլոմն ունի որոշ հատուկ հատկություններ, որոնք օգտակար են խնդիրների լուծման համար, որոնք մենք քննարկել ենք առանձին նյութում։

Ցուցանիշները կարող են ներառել ոչ միայն բնական թվեր, այլև ընդհանրապես ցանկացած ամբողջ արժեք, ներառյալ բացասականները և զրոները, քանի որ դրանք նույնպես պատկանում են ամբողջ թվերի բազմությանը:

Սահմանում 2

Դրական ամբողջ թվի ցուցիչ ունեցող թվի հզորությունը կարելի է ներկայացնել որպես բանաձև. .

Այս դեպքում n-ը ցանկացած դրական ամբողջ թիվ է:

Եկեք հասկանանք զրոյական աստիճան հասկացությունը։ Դա անելու համար մենք օգտագործում ենք մոտեցում, որը հաշվի է առնում հավասար հիմքերով հզորությունների քանորդ հատկությունը: Այն ձևակերպված է այսպես.

Սահմանում 3

Հավասարություն a m: a n = a m − nճշմարիտ կլինի հետևյալ պայմաններում՝ m և n բնական թվեր են, m< n , a ≠ 0 .

Վերջին պայմանը կարևոր է, քանի որ այն խուսափում է զրոյի բաժանումից: Եթե ​​m-ի և n-ի արժեքները հավասար են, ապա մենք ստանում ենք հետևյալ արդյունքը. a n: a n = a n − n = a 0

Բայց միևնույն ժամանակ a n: a n = 1 հավասար թվերի քանորդն է a nև ա. Ստացվում է, որ ցանկացած ոչ զրոյական թվի զրոյական հզորությունը հավասար է մեկի։

Այնուամենայնիվ, նման ապացույցը չի վերաբերում զրոյական հզորությանը: Դա անելու համար մեզ անհրաժեշտ է հզորությունների մեկ այլ հատկություն՝ հավասար հիմքերով հզորությունների արտադրյալների սեփականություն։ Այն կարծես այսպիսին է. a m · a n = a m + n .

Եթե ​​n-ը հավասար է 0-ի, ապա a m · a 0 = a m(այս հավասարությունը նաև մեզ դա է ապացուցում ա 0 = 1) Բայց եթե և-ն նույնպես հավասար է զրոյի, ապա մեր հավասարությունը ձև է ստանում 0 մ · 0 0 = 0 մ, Դա ճիշտ կլինի n-ի ցանկացած բնական արժեքի համար, և կարևոր չէ, թե աստիճանի արժեքը ինչին է հավասար. 0 0 , այսինքն՝ այն կարող է հավասար լինել ցանկացած թվի, և դա չի ազդի հավասարության ճշգրտության վրա։ Հետևաբար, ձևի նշում 0 0 չունի իր հատուկ նշանակությունը, և մենք դրան չենք վերագրի։

Ցանկության դեպքում դա հեշտ է ստուգել ա 0 = 1համընկնում է աստիճանի հատկության հետ (a m) n = a m nպայմանով, որ աստիճանի հիմքը զրո չէ։ Այսպիսով, զրո ցուցիչով ցանկացած ոչ զրոյական թվի հզորությունը մեկ է։

Օրինակ 2

Դիտարկենք կոնկրետ թվերով օրինակ. 5 0 - միավոր, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , իսկ արժեքը 0 0 չսահմանված.

Զրոյական աստիճանից հետո մենք պարզապես պետք է հասկանանք, թե ինչ է բացասական աստիճանը: Դա անելու համար մեզ անհրաժեշտ է հավասար հիմքերով հզորությունների արտադրյալի նույն հատկությունը, որը մենք արդեն օգտագործել ենք վերևում՝ a m · a n = a m + n:

Ներկայացնենք պայմանը՝ m = − n, ապա a-ն չպետք է հավասար լինի զրոյի։ Դրանից բխում է, որ a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. Ստացվում է, որ մի n և a−nմենք ունենք փոխադարձ թվեր։

Արդյունքում, a դեպի բացասական ամբողջ հզորությունը ոչ այլ ինչ է, քան 1 a n կոտորակը:

Այս ձևակերպումը հաստատում է, որ ամբողջ թվով բացասական ցուցիչ ունեցող աստիճանի համար վավեր են բոլոր այն նույն հատկությունները, որոնք ունեն բնական ցուցիչ ունեցող աստիճանը (պայմանով, որ հիմքը հավասար չէ զրոյի):

Օրինակ 3

n բացասական ամբողջ թվով ցուցիչով a հզորությունը կարող է ներկայացվել որպես 1 a n կոտորակ: Այսպիսով, a - n = 1 a n ենթակա է a ≠ 0իսկ n-ը ցանկացած բնական թիվ է:

Եկեք պատկերացնենք մեր գաղափարը կոնկրետ օրինակներով.

Օրինակ 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Պարբերության վերջին մասում մենք կփորձենք պատկերել այն ամենը, ինչ ասվել է հստակ մեկ բանաձևով.

Սահմանում 4

z բնական ցուցիչով թվի հզորությունը հետևյալն է՝ a z = a z, e l-ով և z - դրական ամբողջ թիվ 1, z = 0 և a ≠ 0, (z = 0 և a = 0-ի համար արդյունքը 0 0 է, 0 0 արտահայտության արժեքները սահմանված չեն) 1 a z, եթե և z-ն բացասական ամբողջ թիվ է, և a ≠ 0 (եթե z-ն բացասական ամբողջ թիվ է և a = 0, ապա կստանաք 0 z, egoz արժեքը անորոշ է)

Որո՞նք են ռացիոնալ ցուցիչ ունեցող ուժերը:

Մենք ուսումնասիրեցինք այն դեպքերը, երբ ցուցիչը պարունակում է ամբողջ թիվ։ Այնուամենայնիվ, դուք կարող եք թիվը հասցնել հզորության նույնիսկ այն դեպքում, երբ դրա ցուցանիշը պարունակում է կոտորակային թիվ: Սա կոչվում է ռացիոնալ ցուցիչ ունեցող հզորություն: Այս բաժնում մենք կապացուցենք, որ այն ունի նույն հատկությունները, ինչ մյուս ուժերը:

Որո՞նք են ռացիոնալ թվերը: Դրանց հավաքածուն ներառում է և՛ ամբողջ, և՛ կոտորակային թվեր, իսկ կոտորակային թվերը կարող են ներկայացվել որպես սովորական կոտորակներ (և՛ դրական, և՛ բացասական): Ձևակերպենք a թվի հզորության սահմանումը m/n կոտորակային ցուցիչով, որտեղ n-ը բնական թիվ է, իսկ m-ը՝ ամբողջ թիվ։

Մենք ունենք որոշակի աստիճան a m n կոտորակային ցուցիչով: Որպեսզի գույքը հզորացնելու հզորությունը պահպանվի, a m n n = a m n · n = a m հավասարությունը պետք է լինի ճշմարիտ:

Հաշվի առնելով n-րդ արմատի սահմանումը և որ a m n n = a m, մենք կարող ենք ընդունել a m n = a m n պայմանը, եթե m n-ն իմաստ ունի m, n և a-ի տրված արժեքների համար:

Ամբողջ թվի ցուցիչ ունեցող աստիճանի վերը նշված հատկությունները ճշմարիտ կլինեն a m n = a m n պայմանով:

Մեր հիմնավորումից հիմնական եզրակացությունը հետևյալն է. m/n կոտորակային ցուցիչ ունեցող a թվի հզորությունը a թվի n-րդ արմատն է m հզորությանը: Սա ճիշտ է, եթե m-ի, n-ի և a-ի տրված արժեքների համար a m n արտահայտությունը մնում է իմաստալից:

1. Մենք կարող ենք սահմանափակել աստիճանի հիմքի արժեքը. վերցնենք a, որը m-ի դրական արժեքների համար մեծ կամ հավասար կլինի 0-ի, իսկ բացասական արժեքների համար՝ խիստ փոքր (քանի որ m-ի համար ≤ 0. մենք ստանում ենք 0 մ, բայց նման աստիճան սահմանված չէ)։ Այս դեպքում կոտորակային ցուցիչով աստիճանի սահմանումը կունենա հետևյալ տեսքը.

Որոշ դրական a թվի համար m/n կոտորակային ցուցիչ ունեցող հզորությունը a-ի n-րդ արմատն է՝ բարձրացված m հզորության: Սա կարող է արտահայտվել որպես բանաձև.

Զրոյական հիմք ունեցող հզորության համար այս դրույթը նույնպես հարմար է, բայց միայն այն դեպքում, եթե դրա ցուցանիշը դրական թիվ է:

Զրո հիմքով և կոտորակային դրական ցուցիչով m/n հզորությունը կարող է արտահայտվել այսպես

0 m n = 0 m n = 0 պայմանով, որ m-ը դրական ամբողջ թիվ է, իսկ n-ը բնական թիվ:

Բացասական հարաբերակցության համար m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Նկատենք մեկ կետ. Քանի որ մենք մտցրեցինք պայմանը, որ a-ն մեծ է կամ հավասար է զրոյի, մենք վերջացրինք որոշ դեպքեր:

a m n արտահայտությունը երբեմն դեռ իմաստ ունի a-ի և որոշ m-ի որոշ բացասական արժեքների համար: Այսպիսով, ճիշտ գրառումներն են (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, որոնցում հիմքը բացասական է:

2. Երկրորդ մոտեցումը a m n արմատն առանձին դիտարկելն է՝ զույգ և կենտ ցուցիչներով: Այնուհետև մեզ անհրաժեշտ կլինի ներկայացնել ևս մեկ պայման՝ a աստիճանը, որի ցուցիչում կա կրճատվող սովորական կոտորակ, համարվում է a աստիճանը, որի ցուցիչում կա համապատասխան անկրճատելի կոտորակը։ Ավելի ուշ մենք կբացատրենք, թե ինչու է մեզ անհրաժեշտ այս պայմանը և ինչու է այն այդքան կարևոր: Այսպիսով, եթե մենք ունենք a m · k n · k նշումը, ապա այն կարող ենք կրճատել մինչև m n և պարզեցնել հաշվարկները:

Եթե ​​n-ը կենտ թիվ է, իսկ m-ի արժեքը դրական է, իսկ a-ն ցանկացած ոչ բացասական թիվ է, ապա m n-ն իմաստ ունի: A-ի ոչ բացասական լինելու պայմանը անհրաժեշտ է, քանի որ բացասական թվից հնարավոր չէ դուրս բերել զույգ աստիճանի արմատ: Եթե ​​m-ի արժեքը դրական է, ապա a-ն կարող է լինել և՛ բացասական, և՛ զրո, քանի որ Կենտ արմատը կարելի է վերցնել ցանկացած իրական թվից։

Եկեք միացնենք վերը նշված բոլոր սահմանումները մեկ գրառման մեջ.

Այստեղ m/n նշանակում է անկրճատելի կոտորակ, m-ը ցանկացած ամբողջ թիվ է, իսկ n-ը ցանկացած բնական թիվ։

Սահմանում 5

Ցանկացած սովորական կրճատելի կոտորակի համար m · k n · k աստիճանը կարող է փոխարինվել m n-ով:

Մ / n անկրճատելի կոտորակային ցուցիչով a թվի հզորությունը կարող է արտահայտվել որպես m n հետևյալ դեպքերում. Օրինակ՝ 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19:

Ցանկացած ոչ զրոյական իրական a, m-ի բացասական ամբողջ արժեքների և n-ի կենտ արժեքների համար, օրինակ՝ 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

Ցանկացած ոչ բացասական a, դրական ամբողջ թվի համար m և նույնիսկ n, օրինակ՝ 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18:

Ցանկացած դրական a, բացասական ամբողջ թվի համար m և նույնիսկ n, օրինակ, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

Այլ արժեքների դեպքում աստիճանը կոտորակային ցուցիչով որոշված ​​չէ։ Նման աստիճանների օրինակներ՝ - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5:

Հիմա եկեք բացատրենք վերը քննարկված պայմանի կարևորությունը. ինչու՞ կոտորակը փոխարինել կրճատելի ցուցիչով կոտորակի հետ անկրճատելի ցուցիչով: Եթե ​​մենք դա չանեինք, կունենայինք հետևյալ իրավիճակները, ասենք, 6/10 = 3/5: Այնուհետև այն պետք է լինի ճիշտ (- 1) 6 10 = - 1 3 5, բայց - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1, և (- 1) 3 5 = (- 1): ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1:

Կոտորակի ցուցիչով աստիճանի սահմանումը, որը մենք առաջինը ներկայացրեցինք, գործնականում ավելի հարմար է օգտագործել, քան երկրորդը, ուստի մենք կշարունակենք օգտագործել այն։

Սահմանում 6

Այսպիսով, m/n կոտորակային ցուցիչով a դրական թվի հզորությունը սահմանվում է որպես 0 m n = 0 m n = 0: Բացասականի դեպքում ա a m n նշումը իմաստ չունի: Զրո հզորությունը դրական կոտորակային ցուցիչների համար մ/նսահմանվում է որպես 0 m n = 0 m n = 0, բացասական կոտորակային ցուցիչների համար մենք չենք սահմանում զրոյի աստիճանը:

Եզրակացություններում մենք նշում ենք, որ ցանկացած կոտորակային ցուցանիշ կարող եք գրել ինչպես խառը թվով, այնպես էլ որպես տասնորդական կոտորակ՝ 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7:

Հաշվարկելիս ավելի լավ է ցուցիչը փոխարինել սովորական կոտորակով, իսկ հետո օգտագործել աստիճանի սահմանումը կոտորակային ցուցիչով։ Վերոնշյալ օրինակների համար մենք ստանում ենք.

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Որո՞նք են իռացիոնալ և իրական ցուցիչներ ունեցող ուժերը:

Որո՞նք են իրական թվերը: Նրանց հավաքածուն ներառում է ինչպես ռացիոնալ, այնպես էլ իռացիոնալ թվեր։ Հետևաբար, որպեսզի հասկանանք, թե ինչ է իրական ցուցիչով աստիճանը, մենք պետք է սահմանենք աստիճաններ ռացիոնալ և իռացիոնալ ցուցիչներով: Վերևում արդեն նշել ենք ռացիոնալները։ Եկեք քայլ առ քայլ զբաղվենք իռացիոնալ ցուցանիշներով։

Օրինակ 5

Ենթադրենք, որ մենք ունենք a իռացիոնալ թիվ և նրա տասնորդական մոտավորությունների հաջորդականությունը a 0, a 1, a 2, : . . . Օրինակ, վերցնենք a = 1.67175331 արժեքը: . . , Հետո

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753, . . .

Մոտավորությունների հաջորդականությունները կարող ենք կապել a a a 0, a a 1, a a 2, աստիճանների հաջորդականության հետ: . . . Եթե ​​հիշենք այն, ինչ ավելի վաղ ասացինք թվերը ռացիոնալ ուժերին հասցնելու մասին, ապա մենք կարող ենք ինքներս հաշվարկել այդ ուժերի արժեքները:

Օրինակ վերցնենք a = 3, ապա a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . և այլն:

Հզորությունների հաջորդականությունը կարող է կրճատվել մինչև թվի, որը կլինի a հիմքով և իռացիոնալ ցուցիչով հզորության արժեքը։ Արդյունքում՝ աստիճան 3 1, 67175331 ձևի իռացիոնալ ցուցիչով։ . կարող է կրճատվել մինչև 6, 27 թիվը։

Սահմանում 7

a իռացիոնալ ցուցիչով դրական a թվի ուժը գրվում է a . Դրա արժեքը a a 0, a a 1, a a 2, հաջորդականության սահմանն է: . . , որտեղ a 0 , a 1 , a 2 , . . . a իռացիոնալ թվի հաջորդական տասնորդական մոտարկումներն են։ Զրոյական հիմքով աստիճան կարող է սահմանվել նաև դրական իռացիոնալ ցուցիչների համար՝ 0 a = 0 Այսպիսով, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0: Բայց դա հնարավոր չէ անել բացասականների համար, քանի որ, օրինակ, 0 - 5, 0 - 2 π արժեքը սահմանված չէ: Ցանկացած իռացիոնալ ուժի բարձրացված միավորը, օրինակ, մնում է միավոր, և 1 2, 1 5-ը 2-ում և 1-5-ը հավասար կլինի 1-ի:

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Այս հոդվածում մենք պարզելու ենք, թե ինչ է դա աստիճանը. Այստեղ կտանք թվի ուժի սահմանումներ, մինչդեռ մանրամասն կդիտարկենք բոլոր հնարավոր ցուցանիշները՝ սկսած բնական ցուցիչից մինչև իռացիոնալ։ Նյութում դուք կգտնեք աստիճանների բազմաթիվ օրինակներ՝ ընդգրկելով առաջացող բոլոր նրբությունները։

Էջի նավարկություն.

Հզորությունը բնական ցուցիչով, թվի քառակուսի, թվի խորանարդ

Սկսենք նրանից. Նայելով առաջ՝ ասենք, որ a թվի հզորության սահմանումը n բնական ցուցիչով տրված է a-ի համար, որը մենք կանվանենք. աստիճանի հիմքը, և n, որոնք մենք կանվանենք ցուցիչ. Մենք նաև նշում ենք, որ բնական ցուցիչով աստիճանը որոշվում է արտադրյալի միջոցով, ուստի ստորև բերված նյութը հասկանալու համար անհրաժեշտ է հասկանալ թվերի բազմապատկման մասին:

Սահմանում.

n բնական ցուցիչով թվի հզորությունը a n ձևի արտահայտությունն է, որի արժեքը հավասար է n գործոնի արտադրյալին, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է a-ի, այսինքն՝ .
Մասնավորապես, 1 աստիճանով a թվի հզորությունը հենց a թիվն է, այսինքն՝ a 1 =a:

Հարկ է անմիջապես նշել աստիճանների ընթերցման կանոնների մասին: a n նշումը կարդալու համընդհանուր ձևն է. «a-ն n-ի ուժին»: Որոշ դեպքերում ընդունելի են նաև հետևյալ տարբերակները՝ «ա-ից մինչև n-րդ աստիճան» և «ա-ի n-րդ ուժ»: Օրինակ, եկեք վերցնենք 8 12 հզորությունը, սա «ութը տասներկուի հզորությանը», կամ «ութը տասներկուերորդ ուժին», կամ «ութի տասներկուերորդ ուժին»:

Թվի երկրորդ հզորությունը, ինչպես նաև թվի երրորդ ուժը, ունեն իրենց անունները։ Թվի երկրորդ հզորությունը կոչվում է թիվը քառակուսիՕրինակ, 7 2-ը կարդացվում է որպես «յոթ քառակուսի» կամ «յոթ թվի քառակուսի»: Թվի երրորդ ուժը կոչվում է խորանարդաձեւ թվերՕրինակ, 5 3-ը կարելի է կարդալ որպես «հինգ խորանարդ» կամ կարող եք ասել «5 թվի խորանարդ»:

Ժամանակն է բերելու աստիճանների օրինակներ բնական ցուցիչներով. Սկսենք 5-րդ աստիճանից 7, այստեղ 5-ը աստիճանի հիմքն է, իսկ 7-ը՝ աստիճանը։ Բերենք ևս մեկ օրինակ՝ 4.32-ը հիմքն է, իսկ 9-ը բնական թիվը (4.32) 9 ցուցիչն է։

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ վերջին օրինակում 4.32 հզորության հիմքը գրված է փակագծերում. անհամապատասխանություններից խուսափելու համար մենք փակագծերում կդնենք հզորության բոլոր հիմքերը, որոնք տարբերվում են բնական թվերից: Որպես օրինակ՝ բնական ցուցիչներով տալիս ենք հետևյալ աստիճանները , դրանց հիմքերը բնական թվեր չեն, ուստի դրանք գրվում են փակագծերում։ Դե, ամբողջական պարզության համար, այս պահին մենք ցույց կտանք (−2) 3 և −2 3 ձևերի գրառումներում պարունակվող տարբերությունը։ (−2) 3 արտահայտությունը −2-ի հզորություն է՝ 3 բնական ցուցիչով, իսկ −2 3 արտահայտությունը (այն կարելի է գրել −(2 3) ) համապատասխանում է թվին, 2 3 հզորության արժեքին։ .

Նկատի ունեցեք, որ a թվի հզորության նշում կա a^n ձևի n ցուցիչով: Ընդ որում, եթե n-ը բազմարժեք բնական թիվ է, ապա ցուցիչը վերցվում է փակագծերում։ Օրինակ, 4^9-ը 4 9-ի հզորության ևս մեկ նշում է: Եվ ահա «^» նշանով աստիճաններ գրելու ևս մի քանի օրինակ՝ 14^(21) , (−2,1)^(155) ։ Հետևյալում մենք հիմնականում կօգտագործենք a n ձևի աստիճանի նշումը:

Բնական ցուցիչով հզորության բարձրացման հակադարձ խնդիրներից մեկը հզորության հայտնի արժեքից և հայտնի աստիճանից հզորության հիմքը գտնելու խնդիրն է: Այս առաջադրանքը հանգեցնում է.

Հայտնի է, որ ռացիոնալ թվերի բազմությունը բաղկացած է ամբողջ թվերից և կոտորակներից, և յուրաքանչյուր կոտորակ կարող է ներկայացվել որպես դրական կամ բացասական սովորական կոտորակ։ Մենք նախորդ պարբերությունում սահմանել ենք աստիճան ամբողջ թվով ցուցիչով, հետևաբար աստիճանի սահմանումը ռացիոնալ ցուցիչով ավարտելու համար պետք է իմաստավորել a թվի աստիճանը m/n կոտորակային ցուցիչով, որտեղ. m-ն ամբողջ թիվ է, իսկ n-ը՝ բնական թիվ։ Եկեք անենք դա.

Դիտարկենք աստիճանը ձևի կոտորակային ցուցիչով: Որպեսզի իշխանությունից իշխանություն հատկությունը մնա վավերական, պետք է պահպանվի հավասարությունը . Եթե ​​հաշվի առնենք ստացված հավասարությունը և ինչպես որոշեցինք , ապա տրամաբանական է ընդունել այն պայմանով, որ տրված m-ի, n-ի և a-ի համար արտահայտությունն իմաստ ունի։

Հեշտ է ստուգել, ​​որ ամբողջ թվով ցուցիչ ունեցող աստիճանի բոլոր հատկությունները վավեր են (սա արվել է ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանի հատկությունների բաժնում):

Վերոնշյալ պատճառաբանությունը թույլ է տալիս անել հետևյալը եզրակացությունեթե տրված են m, n և a արտահայտությունը իմաստ ունի, ապա m/n կոտորակային ցուցիչով a-ի հզորությունը կոչվում է a-ի n-րդ արմատը m-ի ուժի նկատմամբ:

Այս պնդումը մոտեցնում է մեզ կոտորակային ցուցիչով աստիճանի սահմանմանը: Մնում է միայն նկարագրել, թե m, n և a արտահայտությունն ինչ իմաստ ունի: Կախված m-ի, n-ի և a-ի վրա դրված սահմանափակումներից, կան երկու հիմնական մոտեցում.

Ամենահեշտ ձևը a-ի վրա սահմանափակում դնելն է՝ ընդունելով a≥0 դրական m և a>0 բացասական m (քանի որ m≤0-ի համար m-ի 0 աստիճանը սահմանված չէ): Այնուհետև մենք ստանում ենք աստիճանի հետևյալ սահմանումը կոտորակային ցուցիչով.

Սահմանում.

m/n կոտորակային ցուցիչով դրական a թվի հզորությունը, որտեղ m-ն ամբողջ թիվ է, իսկ n-ը՝ բնական թիվ, կոչվում է a թվի n-րդ արմատը m-ի հզորությանը, այսինքն՝ .

Զրոյի կոտորակային հզորությունը որոշվում է նաև միակ նախազգուշացմամբ, որ ցուցանիշը պետք է լինի դրական:

Սահմանում.

Մ/ն կոտորակային դրական ցուցիչով զրոյի հզորություն, որտեղ m-ը դրական ամբողջ թիվ է, իսկ n-ը՝ բնական թիվ, սահմանվում է որպես .
Երբ աստիճանը որոշված ​​չէ, այսինքն՝ զրո թվի աստիճանը կոտորակային բացասական ցուցիչով իմաստ չունի։

Հարկ է նշել, որ կոտորակային ցուցիչով աստիճանի այս սահմանման դեպքում կա մեկ նախազգուշացում. որոշ բացասական a-ի և որոշ m-ի և n-ի համար արտահայտությունն իմաստ ունի, և մենք մերժեցինք այս դեպքերը՝ ներմուծելով a≥0 պայմանը: Օրինակ, գրառումները իմաստ ունեն կամ, և վերը տրված սահմանումը մեզ ստիպում է ասել, որ ձևի կոտորակային ցուցիչ ունեցող ուժերը. իմաստ չունի, քանի որ հիմքը չպետք է բացասական լինի:

Մ/ն կոտորակային ցուցիչով աստիճանը որոշելու մեկ այլ մոտեցում է արմատի զույգ և կենտ ցուցիչները առանձին դիտարկելն է: Այս մոտեցումը պահանջում է լրացուցիչ պայման՝ a թվի հզորությունը, որի ցուցիչը , համարվում է a թվի հզորությունը, որի ցուցիչը համապատասխան անկրճատելի կոտորակն է (այս պայմանի կարևորությունը կբացատրենք ստորև. ) Այսինքն, եթե m/n-ն անկրճատելի կոտորակ է, ապա ցանկացած բնական թվի համար k աստիճանը սկզբում փոխարինվում է .

Նույնիսկ n-ի և դրական m-ի համար արտահայտությունն իմաստ ունի ցանկացած ոչ բացասական a-ի համար (բացասական թվի զույգ արմատը իմաստ չունի), բացասական m-ի համար a թիվը դեռ պետք է տարբերվի զրոյից (հակառակ դեպքում կլինի բաժանում): զրոյով): Իսկ կենտ n-ի և դրական m-ի համար a թիվը կարող է լինել ցանկացած (կենտ աստիճանի արմատը սահմանվում է ցանկացած իրական թվի համար), իսկ բացասական m-ի համար a թիվը պետք է տարբերվի զրոյից (որպեսզի բաժանում չլինի): զրո).

Վերոհիշյալ պատճառաբանությունը մեզ տանում է դեպի կոտորակային ցուցիչ ունեցող աստիճանի այս սահմանումը:

Սահմանում.

Թող m/n-ը լինի անկրճատելի կոտորակ, m-ը՝ ամբողջ, իսկ n-ը՝ բնական թիվ: Ցանկացած կրճատվող կոտորակի համար աստիճանը փոխարինվում է . Մ/ն անկրճատելի կոտորակային ցուցիչ ունեցող թվի հզորությունը համար է



Բացատրենք, թե ինչու է կրճատվող կոտորակային ցուցիչով աստիճանը սկզբում փոխարինվում է անկրճատելի ցուցիչով աստիճանով: Եթե ​​մենք պարզապես սահմանեինք աստիճանը որպես , և վերապահում չանեինք m/n կոտորակի անկրճատելիության վերաբերյալ, ապա մենք կբախվեինք հետևյալի նման իրավիճակներին. քանի որ 6/10 = 3/5, ուրեմն հավասարությունը պետք է պահպանվի։ , Բայց , Ա .

Լիազորությունների աղյուսակ 2 (երկուսի) 0-ից մինչև 32

Ստորև բերված աղյուսակը ցույց է տալիս, բացի երկուսի հզորությունից, առավելագույն թվերը, որոնք համակարգիչը կարող է պահել տվյալ քանակի բիթերի համար: Ընդ որում, և՛ ամբողջ թվերի, և՛ ստորագրված թվերի համար։

Պատմականորեն համակարգիչները օգտագործում էին երկուական թվային համակարգը և, համապատասխանաբար, տվյալների պահպանումը: Այսպիսով, ցանկացած թիվ կարող է ներկայացվել որպես զրոների և միավորների հաջորդականություն (տեղեկատվության բիթ): Թվերը որպես երկուական հաջորդականություն ներկայացնելու մի քանի եղանակ կա:

Դիտարկենք դրանցից ամենապարզը` սա դրական ամբողջ թիվ է: Այնուհետև որքան մեծ է այն թիվը, որը մենք պետք է գրենք, այնքան երկար կլինի մեզ անհրաժեշտ բիթերի հաջորդականությունը:

Ստորև ներկայացված է 2-րդ համարի լիազորությունների աղյուսակ. Այն մեզ կտա պահանջվող քանակի բիթերի ներկայացում, որոնք մեզ անհրաժեշտ են թվերը պահելու համար:

Ինչպես օգտագործել Թիվ երկրորդի լիազորությունների աղյուսակը?

Առաջին սյունակն է երկուսի ուժ, որը միաժամանակ նշանակում է թիվը ներկայացնող բիթերի թիվը։

Երկրորդ սյունակ - արժեք երկուսը համապատասխան հզորությամբ (n).

2-ի հզորությունը գտնելու օրինակ. Առաջին սյունակում մենք գտնում ենք 7 թիվը: Մենք նայում ենք աջ կողմի գծի երկայնքով և գտնում արժեքը երկուսից յոթերորդ իշխանություն(2 7) 128 է

Երրորդ սյունակ - առավելագույն թիվը, որը կարելի է ներկայացնել՝ օգտագործելով բիթերի տրված քանակությունը(առաջին սյունակում):

Առավելագույն անստորագիր ամբողջ թվի որոշման օրինակ. Օգտագործելով նախորդ օրինակի տվյալները՝ մենք գիտենք, որ 2 7 = 128: Սա ճիշտ է, եթե մենք ուզում ենք հասկանալ, թե ինչ թվերի քանակը, կարելի է ներկայացնել յոթ բիթով։ Բայց, քանի որ առաջին թիվը զրո է, ապա առավելագույն թիվը, որը կարելի է ներկայացնել յոթ բիթով, 128 - 1 = 127 է: Սա երրորդ սյունակի արժեքն է:

Հզորությունը երկու (n)	Երկու արժեքի ուժ 2n	Առավելագույն անստորագիր թիվ գրված է n բիթով	Ստորագրված առավելագույն թիվը գրված է n բիթով
0	1	-	-
1	2	1	-
2	4	3	1
3	8	7	3
4	16	15	7
5	32	31	15
6	64	63	31
7	128	127	63
8	256	255	127
9	512	511	255
10	1 024	1 023	511
11	2 048	2 047	1023
12	40 96	4 095	2047
13	8 192	8 191	4095
14	16 384	16 383	8191
15	32 768	32 767	16383
16	65 536	65 535	32767
17	131 072	131 071	65 535
18	262 144	262 143	131 071
19	524 288	524 287	262 143
20	1 048 576	1 048 575	524 287
21	2 097 152	2 097 151	1 048 575
22	4 194 304	4 194 303	2 097 151
23	8 388 608	8 388 607	4 194 303
24	16 777 216	16 777 215	8 388 607
25	33 554 432	33 554 431	16 777 215
26	67 108 864	67 108 863	33 554 431
27	134 217 728	134 217 727	67 108 863
28	268 435 456	268 435 455	134 217 727
29	536 870 912	536 870 911	268 435 455
30	1 073 741 824	1 073 741 823	536 870 911
31	2 147 483 648	2 147 483 647	1 073 741 823
32	4 294 967 296	4 294 967 295	2 147 483 647

Մենք պարզեցինք, թե իրականում ինչ է թվի ուժը: Այժմ մենք պետք է հասկանանք, թե ինչպես ճիշտ հաշվարկել այն, այսինքն. բարձրացնել թվերը իշխանության. Այս նյութում մենք կվերլուծենք աստիճանների հաշվարկման հիմնական կանոնները ամբողջ թվերի, բնական, կոտորակային, ռացիոնալ և իռացիոնալ ցուցիչների դեպքում: Բոլոր սահմանումները կներկայացվեն օրինակներով:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Հզորացման հայեցակարգը

Սկսենք հիմնական սահմանումներ ձեւակերպելուց։

Սահմանում 1

Էքսպոենտացիա- սա որոշակի թվի հզորության արժեքի հաշվարկն է:

Այսինքն՝ «ուժի արժեքի հաշվարկ» և «իշխանության բարձրացում» բառերը նույն բանն են նշանակում։ Այսպիսով, եթե խնդիրն ասում է «Բարձրացրեք 0, 5 թիվը հինգերորդ աստիճանի», սա պետք է հասկանալ որպես «հաշվարկեք (0, 5) 5 հզորության արժեքը:

Այժմ ներկայացնում ենք հիմնական կանոնները, որոնք պետք է պահպանվեն նման հաշվարկներ կատարելիս։

Հիշենք, թե ինչ է բնական ցուցիչով թվի հզորությունը։ a հիմքով և n աստիճանով հզորության համար սա կլինի n-րդ թվի գործակիցների արտադրյալը, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է a-ի: Սա կարելի է գրել այսպես.

Աստիճանի արժեքը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է կատարել բազմապատկման գործողություն, այսինքն՝ աստիճանի հիմքերը բազմապատկել նշված քանակով։ Բնական ցուցիչ ունեցող աստիճանի գաղափարը հիմնված է արագ բազմապատկվելու ունակության վրա: Բերենք օրինակներ.

Օրինակ 1

Վիճակը` բարձրացնել - 2 հզորության 4.

Լուծում

Օգտագործելով վերը նշված սահմանումը, մենք գրում ենք. (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . Հաջորդը, մենք պարզապես պետք է հետևենք այս քայլերին և ստանանք 16:

Բերենք ավելի բարդ օրինակ.

Օրինակ 2

Հաշվեք 3 2 7 2 արժեքը

Լուծում

Այս գրառումը կարող է վերաշարադրվել որպես 3 2 7 · 3 2 7: Նախկինում մենք նայեցինք, թե ինչպես կարելի է ճիշտ բազմապատկել պայմանում նշված խառը թվերը։

Եկեք կատարենք այս քայլերը և ստանանք պատասխանը՝ 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Եթե ​​խնդիրը ցույց է տալիս իռացիոնալ թվերը բնական հզորության հասցնելու անհրաժեշտությունը, ապա մեզ անհրաժեշտ կլինի նախ կլորացնել դրանց հիմքերը մինչև այն թվանշանը, որը թույլ կտա մեզ ստանալ անհրաժեշտ ճշգրտության պատասխանը: Դիտարկենք մի օրինակ։

Օրինակ 3

Կատարի՛ր π-ի քառակուսին:

Լուծում

Նախ, եկեք այն կլորացնենք հարյուրերորդական: Այնուհետև π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596: Եթե ​​π ≈ 3. 14159, ապա մենք ստանում ենք ավելի ճշգրիտ արդյունք՝ π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281:

Նշենք, որ իռացիոնալ թվերի հզորությունները հաշվարկելու անհրաժեշտությունը գործնականում համեմատաբար հազվադեպ է առաջանում: Այնուհետև մենք կարող ենք պատասխանը գրել որպես ինքնին հզորություն (ln 6) 3 կամ հնարավորության դեպքում փոխարկել՝ 5 7 = 125 5:

Առանձին պետք է նշել, թե որն է թվի առաջին ուժը։ Այստեղ դուք կարող եք պարզապես հիշել, որ առաջին ուժի բարձրացված ցանկացած թիվ ինքն իրեն կմնա.

Սա պարզ է դառնում ձայնագրությունից .

Դա կախված չէ աստիճանից:

Օրինակ 4

Այսպիսով, (− 9) 1 = − 9, իսկ 7 3-ը բարձրացված է առաջին հզորության, կմնա հավասար 7 3-ի:

Հարմարության համար մենք առանձին կքննարկենք երեք դեպք՝ եթե չափանիշը դրական ամբողջ թիվ է, եթե այն զրո է և եթե այն բացասական ամբողջ թիվ է։

Առաջին դեպքում դա նույնն է, ինչ բնական ուժի բարձրացումը. չէ՞ որ դրական ամբողջ թվերը պատկանում են բնական թվերի բազմությանը։ Ինչպես աշխատել նման աստիճանների հետ, մենք արդեն խոսել ենք վերևում։

Հիմա եկեք տեսնենք, թե ինչպես ճիշտ բարձրացնել զրոյական հզորությունը: Զրոյից տարբեր հիմքի համար այս հաշվարկը միշտ տալիս է 1: Մենք նախկինում բացատրեցինք, որ a-ի 0-րդ աստիճանը կարող է սահմանվել ցանկացած իրական թվի համար, որը հավասար չէ 0-ին, և a 0 = 1:

Օրինակ 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - սահմանված չէ:

Մեզ մնում է միայն ամբողջ թիվ բացասական ցուցիչ ունեցող աստիճանի դեպքը: Մենք արդեն քննարկել ենք, որ նման աստիճանները կարելի է գրել որպես 1 a z կոտորակ, որտեղ a-ն ցանկացած թիվ է, իսկ z-ը՝ բացասական ամբողջ թիվ։ Մենք տեսնում ենք, որ այս կոտորակի հայտարարը ոչ այլ ինչ է, քան սովորական հզորություն՝ դրական ամբողջ թվով չափանիշով, և մենք արդեն սովորել ենք, թե ինչպես կարելի է այն հաշվարկել։ Եկեք առաջադրանքների օրինակներ բերենք.

Օրինակ 6

Բարձրացրեք 3-ը դեպի հզորություն - 2:

Լուծում

Օգտագործելով վերը նշված սահմանումը, մենք գրում ենք. 2 - 3 = 1 2 3

Հաշվենք այս կոտորակի հայտարարը և ստացենք 8՝ 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8:

Այնուհետև պատասխանն է՝ 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Օրինակ 7

Բարձրացրեք 1.43-ը -2 հզորության:

Լուծում

Վերաձեւակերպենք՝ 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2

Քառակուսին հաշվում ենք հայտարարում՝ 1,43·1,43: Տասնորդական թվերը կարելի է բազմապատկել հետևյալ կերպ.

Արդյունքում ստացանք (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449: Մեզ մնում է այս արդյունքը գրել սովորական կոտորակի տեսքով, որի համար անհրաժեշտ է այն բազմապատկել 10 հազարով (տե՛ս կոտորակների փոխակերպման նյութը)։

Պատասխան՝ (1, 43) - 2 = 10000 20449

Հատուկ դեպք է թիվը մինուս առաջին հզորության բարձրացում: Այս աստիճանի արժեքը հավասար է բազայի սկզբնական արժեքի փոխադարձին՝ a - 1 = 1 a 1 = 1 a.

Օրինակ 8

Օրինակ՝ 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Ինչպես թիվը հասցնել կոտորակային աստիճանի

Նման գործողություն կատարելու համար մենք պետք է հիշենք աստիճանի հիմնական սահմանումը կոտորակային ցուցիչով. a m n = a m n ցանկացած դրական a, ամբողջ թվի m և բնական n-ի համար:

Սահմանում 2

Այսպիսով, կոտորակային հզորության հաշվարկը պետք է կատարվի երկու քայլով՝ հասցնելով ամբողջ թվի և գտնել n-րդ աստիճանի արմատը։

Մենք ունենք a m n = a m n հավասարություն, որը, հաշվի առնելով արմատների հատկությունները, սովորաբար օգտագործվում է a m n = a n m ձևով խնդիրները լուծելու համար։ Սա նշանակում է, որ եթե a թիվը հասցնենք կոտորակային հզորության m/n, ապա սկզբում վերցնում ենք a-ի n-րդ արմատը, այնուհետև արդյունքը հասցնում ենք ամբողջ թվով m չափիչ ունեցող հզորության:

Եկեք պատկերացնենք օրինակով.

Օրինակ 9

Հաշվեք 8 - 2 3:

Լուծում

Մեթոդ 1. Ըստ հիմնական սահմանման՝ մենք կարող ենք սա ներկայացնել հետևյալ կերպ՝ 8 - 2 3 = 8 - 2 3

Հիմա եկեք հաշվարկենք արմատի տակ գտնվող աստիճանը և արդյունքից հանենք երրորդ արմատը՝ 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Մեթոդ 2. Փոխակերպեք հիմնական հավասարությունը՝ 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2

Դրանից հետո մենք հանում ենք 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 արմատը և քառակուսի ենք բերում արդյունքը՝ 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Մենք տեսնում ենք, որ լուծումները նույնական են։ Դուք կարող եք օգտագործել այն ցանկացած ձևով, որը ցանկանում եք:

Լինում են դեպքեր, երբ աստիճանն ունի խառը թվով կամ տասնորդական կոտորակի տեսքով արտահայտված ցուցիչ։ Հաշվարկները պարզեցնելու համար ավելի լավ է այն փոխարինել սովորական կոտորակով և հաշվարկել, ինչպես նշված է վերևում:

Օրինակ 10

Բարձրացրեք 44, 89 թիվը 2, 5-ի:

Լուծում

Փոխակերպենք ցուցիչի արժեքը սովորական կոտորակի՝ 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2:

Այժմ մենք կատարում ենք վերը նշված բոլոր գործողությունները հերթականությամբ. 501, 25107

Պատասխան՝ 13 501, 25107։

Եթե ​​կոտորակային ցուցանիշի համարիչն ու հայտարարը մեծ թվեր են պարունակում, ապա ռացիոնալ ցուցիչներով նման ցուցանիշները հաշվարկելը բավականին բարդ աշխատանք է։ Սովորաբար դա պահանջում է համակարգչային տեխնոլոգիա:

Եկեք առանձին-առանձին անդրադառնանք զրոյական հիմքով և կոտորակային ցուցիչով հզորություններին: 0 m n ձևի արտահայտությունը կարող է տրվել հետևյալ իմաստով. եթե m n > 0, ապա 0 m n = 0 m n = 0; եթե m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Ինչպես թիվը հասցնել իռացիոնալ ուժի

Այն հզորության արժեքը հաշվարկելու անհրաժեշտությունը, որի ցուցանիշը իռացիոնալ թիվ է, այնքան էլ հաճախ չի առաջանում: Գործնականում առաջադրանքը սովորաբար սահմանափակվում է մոտավոր արժեքի հաշվարկով (մինչև տասնորդական թվերի որոշակի քանակ): Սա սովորաբար հաշվարկվում է համակարգչում նման հաշվարկների բարդության պատճառով, ուստի մենք մանրամասն չենք անդրադառնա դրա վրա, մենք միայն կնշենք հիմնական դրույթները:

Եթե ​​մեզ անհրաժեշտ է հաշվարկել a հզորության արժեքը a իռացիոնալ ցուցիչով, ապա մենք վերցնում ենք աստիճանի տասնորդական մոտավորությունը և հաշվում դրանից: Արդյունքը կլինի մոտավոր պատասխան։ Որքան ճշգրիտ է տասնորդական մոտարկումը, այնքան ավելի ճշգրիտ է պատասխանը: Օրինակով ցույց տանք.

Օրինակ 11

Հաշվիր 21-ի մոտավոր արժեքը 174367....

Լուծում

Եկեք սահմանափակվենք տասնորդական մոտավորությամբ a n = 1, 17: Հաշվարկներ կատարենք՝ օգտագործելով այս թիվը՝ 2 1, 17 ≈ 2, 250116։ Եթե ​​վերցնենք, օրինակ, մոտարկումը a n = 1, 1743, ապա պատասխանը մի փոքր ավելի ճշգրիտ կլինի՝ 2 1, 174367: . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833։

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Հաշվիչը օգնում է ձեզ արագորեն բարձրացնել թիվը մինչև առցանց: Աստիճանի հիմքը կարող է լինել ցանկացած թիվ (ինչպես ամբողջ, այնպես էլ իրական): Ցուցանիշը կարող է լինել նաև ամբողջ կամ իրական, ինչպես նաև կարող է լինել դրական կամ բացասական: Հիշեք, որ բացասական թվերի համար ոչ ամբողջ թվային հզորության բարձրացումը որոշված ​​չէ, ուստի հաշվիչը սխալի մասին կհայտնի, եթե դա փորձեք:

Դիպլոմային հաշվիչ

Բարձրացնել իշխանության

Տարբերակներ՝ 28402

Ո՞րն է թվի բնական հզորությունը:

p թիվը կոչվում է թվի n-րդ հզորություն, եթե p-ը հավասար է a թվին բազմապատկած ինքն իրեն n անգամ՝ p = a n = a·...·a:
n - կոչված ցուցիչ, իսկ ա թիվն է աստիճանի հիմքը.

Ինչպե՞ս թիվը հասցնել բնական ուժի:

Հասկանալու համար, թե ինչպես կարելի է տարբեր թվեր հասցնել բնական ուժերին, հաշվի առեք մի քանի օրինակ.

Օրինակ 1. Երեք թիվը բարձրացրեք չորրորդ աստիճանի։ Այսինքն՝ անհրաժեշտ է հաշվարկել 3 4
ԼուծումԻնչպես նշվեց վերևում, 3 4 = 3·3·3·3 = 81:
Պատասխանել: 3 4 = 81 .

Օրինակ 2. Հինգ թիվը բարձրացրեք հինգերորդ աստիճանի։ Այսինքն՝ անհրաժեշտ է հաշվարկել 5 5
Լուծումնմանապես, 5 5 = 5·5·5·5·5 = 3125:
Պատասխանել: 5 5 = 3125 .

Այսպիսով, թիվը բնական հզորության հասցնելու համար պարզապես անհրաժեշտ է այն ինքն իրենով բազմապատկել n անգամ:

Ո՞րն է թվի բացասական հզորությունը:

Ա-ի բացասական -n հզորությունը մեկն է, որը բաժանվում է a-ի n-ի հզորությանը. a -n = :

Այս դեպքում բացասական հզորություն գոյություն ունի միայն ոչ զրոյական թվերի համար, քանի որ հակառակ դեպքում տեղի կունենար բաժանում զրոյի վրա:

Ինչպե՞ս թիվը հասցնել բացասական ամբողջ թվի:

Ոչ զրոյական թիվը բացասական հզորության հասցնելու համար անհրաժեշտ է հաշվել այդ թվի արժեքը նույն դրական հզորության վրա և բաժանել մեկը արդյունքի վրա:

Օրինակ 1. Երկու թիվը բարձրացրեք բացասական չորրորդ աստիճանի: Այսինքն, դուք պետք է հաշվարկեք 2 -4

ԼուծումԻնչպես նշվեց վերևում, 2 -4 = = = 0,0625:

Պատասխանել: 2 -4 = 0.0625 .