Koordinate x tačke koje leže na kružnici jednake su cos(θ), a koordinate y odgovaraju sin(θ), gdje je θ veličina ugla.
- Ako vam je teško zapamtiti ovo pravilo, samo zapamtite da u paru (cos; sin) "sinus dolazi posljednji".
- Ovo pravilo se može izvesti razmatranjem pravokutnih trokuta i definicijom ovih trigonometrijskih funkcija (sinus ugla je jednak omjeru dužine suprotne stranice, a kosinus susjedne stranice i hipotenuze).
Zapišite koordinate četiri tačke na kružnici.“Jedinstveni krug” je krug čiji je radijus jednak jedan. Koristite ovo da odredite koordinate x I y u četiri tačke preseka koordinatnih osa sa kružnicom. Iznad, radi jasnoće, označili smo ove tačke kao “istok”, “sjever”, “zapad” i “jug”, iako nemaju ustaljena imena.
- "Istok" odgovara tački sa koordinatama (1; 0) .
- "Sjever" odgovara tački sa koordinatama (0; 1) .
- "Zapad" odgovara tački sa koordinatama (-1; 0) .
- "Jug" odgovara tački sa koordinatama (0; -1) .
- Ovo je slično običnom grafikonu, tako da nema potrebe da pamtite ove vrijednosti, samo zapamtite osnovni princip.
Zapamtite koordinate tačaka u prvom kvadrantu. Prvi kvadrant se nalazi u gornjem desnom dijelu kruga, gdje su koordinate x I y uzimaju pozitivne vrijednosti. Ovo su jedine koordinate koje trebate zapamtiti:
Nacrtajte prave linije i odredite koordinate tačaka njihovog preseka sa kružnicom. Ako crtate ravne horizontalne i vertikalne linije iz tačaka jednog kvadranta, druge tačke preseka ovih linija sa kružnicom imaće koordinate x I y sa istim apsolutnim vrijednostima, ali različitim predznacima. Drugim riječima, možete nacrtati vodoravne i okomite linije iz tačaka prvog kvadranta i označiti točke presjeka s kružnicom istim koordinatama, ali istovremeno ostaviti prostor na lijevoj strani za ispravan znak ("+" ili "-").
Da biste odredili znak koordinata, koristite pravila simetrije. Postoji nekoliko načina da odredite gdje postaviti znak "-":
- Zapamtite osnovna pravila za obične karte. Osa x negativna na lijevoj i pozitivna na desnoj strani. Osa y negativan ispod i pozitivan iznad;
- počnite s prvim kvadrantom i povucite linije do drugih tačaka. Ako linija prelazi os y, koordinata x promeniće svoj predznak. Ako linija prelazi os x, promijenit će se predznak koordinate y;
- zapamtite da su u prvom kvadrantu sve funkcije pozitivne, u drugom kvadrantu samo je sinus pozitivan, u trećem kvadrantu je pozitivan samo tangent, au četvrtom kvadrantu samo je kosinus pozitivan;
- Koji god metod da koristite, trebalo bi da dobijete (+,+) u prvom kvadrantu, (-,+) u drugom, (-,-) u trećem i (+,-) u četvrtom.
Provjerite jeste li pogriješili. Ispod je kompletna lista koordinata „posebnih“ tačaka (osim četiri tačke na koordinatnim osa), ako se krećete duž jedinične kružnice u smeru suprotnom od kazaljke na satu. Zapamtite da je za određivanje svih ovih vrijednosti dovoljno zapamtiti koordinate tačaka samo u prvom kvadrantu:
- prvi kvadrant: ( 3 2 , 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2)))); (2 2 , 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (1 2 , 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2))));
- drugi kvadrant: ( − 1 2 , 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2)))); (− 2 2 , 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 3 2 , 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2))));
- treći kvadrant: ( − 3 2 , − 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))); (− 2 2 , − 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 1 2 , − 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2))));
- četvrti kvadrant: ( 1 2 , − 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2)))); (2 2 , − 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (3 2 , − 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))).
Ako ste već upoznati sa trigonometrijski krug , a želite samo da osvježite sjećanje na određene elemente, ili ste potpuno nestrpljivi, evo ga:
Ovdje ćemo sve detaljno analizirati korak po korak.
Trigonometrijski krug nije luksuz, već potreba
Trigonometrija
Mnogi ga povezuju s neprolaznom šikarom. Odjednom se nakupi toliko vrijednosti trigonometrijskih funkcija, toliko formula... Ali kao, nije išlo na početku, i... idemo... potpuni nesporazum...
Veoma je važno ne odustati vrijednosti trigonometrijskih funkcija, - kažu, uvijek možete pogledati špur sa tablicom vrijednosti.
Ako stalno gledate u tablicu s vrijednostima trigonometrijskih formula, riješimo se ove navike!
On će nam pomoći! Radit ćete s njim nekoliko puta, a onda će vam se pojaviti u glavi. Kako je bolje od stola? Da, u tabeli ćete naći ograničen broj vrijednosti, ali u krugu - SVE!
Na primjer, recite dok gledate standardna tablica vrijednosti trigonometrijskih formula , koliko je sinus jednak, recimo, 300 stepeni, ili -45.
Nema šanse?.. možete se, naravno, povezati formule redukcije... A gledajući trigonometrijski krug, lako možete odgovoriti na takva pitanja. I uskoro ćete znati kako!
A kada se rješavaju trigonometrijske jednadžbe i nejednačine bez trigonometrijskog kruga, nema ga apsolutno nigdje.
Uvod u trigonometrijski krug
Idemo redom.
Prvo, napišimo ovu seriju brojeva:
A sad ovo:
I na kraju ovaj:
Naravno, jasno je da je, zapravo, na prvom mjestu , na drugom mjestu je , a na posljednjem mjestu je . Odnosno, bićemo više zainteresovani za lanac.
Ali kako je lepo ispalo! Ako se nešto desi, mi ćemo obnoviti ove "čudesne ljestve".
A zašto nam treba?
Ovaj lanac je glavne vrijednosti sinusa i kosinusa u prvom tromjesečju.
Nacrtajmo krug jediničnog radijusa u pravougaonom koordinatnom sistemu (to jest, uzmemo bilo koji poluprečnik po dužini i proglasimo njegovu dužinu jediničnom).
Od grede "0-Start" postavljamo uglove u smjeru strelice (vidi sliku).
Dobijamo odgovarajuće tačke na kružnici. Dakle, ako projiciramo tačke na svaku od osa, dobićemo tačno vrednosti iz gornjeg lanca.
Zašto je to, pitate se?
Hajde da ne analiziramo sve. Hajde da razmotrimo princip, što će vam omogućiti da se nosite s drugim, sličnim situacijama.
Trokut AOB je pravougaonog oblika i sadrži . A znamo da naspram ugla b leži krak upola manji od hipotenuze (imamo hipotenuzu = poluprečnik kružnice, odnosno 1).
To znači AB= (i stoga OM=). I prema Pitagorinoj teoremi
Nadam se da je nešto već postalo jasno?
Dakle, tačka B će odgovarati vrednosti, a tačka M će odgovarati vrednosti
Isto je i sa ostalim vrijednostima prvog kvartala.
Kao što razumijete, poznata os (vo) bit će kosinus osa, a os (oy) – osa sinusa . Kasnije.
Lijevo od nule duž kosinusne ose (ispod nule duž ose sinusa) biće, naravno, negativne vrijednosti.
Dakle, evo ga, SVEMOĆNI, bez koga nema nigdje u trigonometriji.
Ali razgovarat ćemo o tome kako koristiti trigonometrijski krug.
Trigonometrija, kao nauka, nastala je na Drevnom Istoku. Prve trigonometrijske omjere izveli su astronomi kako bi stvorili tačan kalendar i orijentaciju prema zvijezdama. Ovi proračuni su se odnosili na sfernu trigonometriju, dok se u školskom predmetu izučava odnos stranica i uglova ravnog trougla.
Trigonometrija je grana matematike koja se bavi svojstvima trigonometrijskih funkcija i odnosima između stranica i uglova trokuta.
Tokom procvata kulture i nauke u 1. milenijumu nove ere, znanje se proširilo od antičkog istoka do Grčke. Ali glavna otkrića trigonometrije su zasluge ljudi Arapskog kalifata. Konkretno, turkmenski naučnik al-Marazwi uveo je funkcije kao što su tangenta i kotangens, te sastavio prve tablice vrijednosti za sinuse, tangente i kotangense. Koncepte sinusa i kosinusa uveli su indijski naučnici. Trigonometrija je dobila veliku pažnju u djelima velikih antičkih ličnosti poput Euklida, Arhimeda i Eratostena.
Osnovne veličine trigonometrije
Osnovne trigonometrijske funkcije numeričkog argumenta su sinus, kosinus, tangent i kotangens. Svaki od njih ima svoj graf: sinus, kosinus, tangent i kotangens.
Formule za izračunavanje vrijednosti ovih veličina temelje se na Pitagorinoj teoremi. Školarcima je poznatija formulacija: "Pitagorine hlače su jednake u svim smjerovima", jer je dokaz dat na primjeru jednakokračnog pravokutnog trokuta.
Sinus, kosinus i druge zavisnosti uspostavljaju odnos između oštrih uglova i stranica bilo kojeg pravokutnog trougla. Dajemo formule za izračunavanje ovih veličina za ugao A i pratimo odnose između trigonometrijskih funkcija:
Kao što vidite, tg i ctg su inverzne funkcije. Ako krak a zamislimo kao proizvod sin A i hipotenuze c, a krak b kao cos A * c, dobićemo sljedeće formule za tangentu i kotangens:
Trigonometrijski krug
Grafički se odnos između navedenih veličina može predstaviti na sljedeći način:
Krug, u ovom slučaju, predstavlja sve moguće vrijednosti ugla α - od 0° do 360°. Kao što se može vidjeti sa slike, svaka funkcija uzima negativnu ili pozitivnu vrijednost ovisno o kutu. Na primjer, sin α će imati znak “+” ako α pripada 1. i 2. četvrtini kruga, odnosno nalazi se u rasponu od 0° do 180°. Za α od 180° do 360° (III i IV četvrtina), sin α može biti samo negativna vrijednost.
Pokušajmo napraviti trigonometrijske tablice za određene uglove i saznati značenje veličina.
Vrijednosti α jednake 30°, 45°, 60°, 90°, 180° i tako dalje nazivaju se posebnim slučajevima. Vrijednosti trigonometrijskih funkcija za njih se izračunavaju i prikazuju u obliku posebnih tablica.
Ovi uglovi nisu odabrani slučajno. Oznaka π u tabelama je za radijane. Rad je ugao pod kojim dužina kružnog luka odgovara njegovom poluprečniku. Ova vrijednost je uvedena kako bi se uspostavila univerzalna ovisnost kada se računa u radijanima, stvarna dužina polumjera u cm nije bitna.
Uglovi u tabelama za trigonometrijske funkcije odgovaraju vrijednostima radijana:
Dakle, nije teško pogoditi da je 2π pun krug ili 360°.
Svojstva trigonometrijskih funkcija: sinus i kosinus
Da bismo razmotrili i uporedili osnovna svojstva sinusa i kosinusa, tangenta i kotangensa, potrebno je nacrtati njihove funkcije. Ovo se može uraditi u obliku krive koja se nalazi u dvodimenzionalnom koordinatnom sistemu.
Razmotrite uporednu tablicu svojstava za sinus i kosinus:
| Sinusni talas | Kosinus |
|---|---|
| y = sinx | y = cos x |
| ODZ [-1; 1] | ODZ [-1; 1] |
| sin x = 0, za x = πk, gdje je k ϵ Z | cos x = 0, za x = π/2 + πk, gdje je k ϵ Z |
| sin x = 1, za x = π/2 + 2πk, gdje je k ϵ Z | cos x = 1, na x = 2πk, gdje je k ϵ Z |
| sin x = - 1, pri x = 3π/2 + 2πk, gdje je k ϵ Z | cos x = - 1, za x = π + 2πk, gdje je k ϵ Z |
| sin (-x) = - sin x, tj. funkcija je neparna | cos (-x) = cos x, tj. funkcija je parna |
| funkcija je periodična, najmanji period je 2π | |
| sin x › 0, pri čemu x pripada 1. i 2. četvrtini ili od 0° do 180° (2πk, π + 2πk) | cos x › 0, pri čemu x pripada I i IV četvrtini ili od 270° do 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) |
| sin x ‹ 0, pri čemu x pripada trećoj i četvrtoj četvrtini ili od 180° do 360° (π + 2πk, 2π + 2πk) | cos x ‹ 0, pri čemu x pripada 2. i 3. četvrtini ili od 90° do 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) |
| povećava u intervalu [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] | raste na intervalu [-π + 2πk, 2πk] |
| opada u intervalima [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] | smanjuje se u intervalima |
| izvod (sin x)’ = cos x | izvod (cos x)’ = - sin x |
Određivanje da li je funkcija parna ili ne vrlo je jednostavno. Dovoljno je zamisliti trigonometrijski krug sa predznacima trigonometrijskih veličina i mentalno „presaviti“ graf u odnosu na osu OX. Ako se predznaci poklapaju, funkcija je parna, u suprotnom je neparna.
Uvođenje radijana i navođenje osnovnih svojstava sinusnih i kosinusnih valova omogućavaju nam da predstavimo sljedeći obrazac:
Vrlo je lako provjeriti da li je formula tačna. Na primjer, za x = π/2, sinus je 1, kao i kosinus od x = 0. Provjera se može obaviti korištenjem tabela ili praćenjem krivulja funkcija za date vrijednosti.
Svojstva tangenta i kotangensa
Grafovi tangentnih i kotangensnih funkcija značajno se razlikuju od sinusnih i kosinusnih funkcija. Vrijednosti tg i ctg su recipročne jedna drugoj.
- Y = tan x.
- Tangenta teži vrijednostima y na x = π/2 + πk, ali ih nikada ne dostiže.
- Najmanji pozitivni period tangentoida je π.
- Tg (- x) = - tg x, tj. funkcija je neparna.
- Tg x = 0, za x = πk.
- Funkcija se povećava.
- Tg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Tg x ‹ 0, za x ϵ (— π/2 + πk, πk).
- Derivat (tg x)’ = 1/cos 2 x.
Razmotrite grafički prikaz kotangentoida ispod u tekstu.
Glavna svojstva kotangtoida:
- Y = krevetac x.
- Za razliku od sinusnih i kosinusnih funkcija, u tangentoidu Y može poprimiti vrijednosti skupa svih realnih brojeva.
- Kotangentoid teži vrijednostima y na x = πk, ali ih nikada ne dostiže.
- Najmanji pozitivni period kotangtoida je π.
- Ctg (- x) = - ctg x, tj. funkcija je neparna.
- Ctg x = 0, za x = π/2 + πk.
- Funkcija se smanjuje.
- Ctg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Ctg x ‹ 0, za x ϵ (π/2 + πk, πk).
- Derivat (ctg x)’ = - 1/sin 2 x Tačno
Trigonometrijski krug. Jedinični krug. Brojčani krug. Šta je to?
Pažnja!
Postoje dodatni
materijali u Posebni dio 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")
Vrlo često termini trigonometrijski krug, jedinični krug, brojevni krug slabo razumljiv od strane učenika. I potpuno uzalud. Ovi koncepti su moćni i univerzalni pomoćnici u svim oblastima trigonometrije. U stvari, ovo je legalna varalica! Nacrtao sam trigonometrijski krug i odmah vidio odgovore! Primamljivo? Pa hajde da naučimo, bio bi greh ne upotrebiti tako nešto. Štaviše, nije nimalo teško.
Da biste uspješno radili s trigonometrijskim krugom, trebate znati samo tri stvari.
Ako vam se sviđa ovaj sajt...
Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)
Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.
