В този материал ще разгледаме какво е степен на число. В допълнение към основните дефиниции ще формулираме какво представляват степени с естествени, цели, рационални и ирационални показатели. Както винаги, всички концепции ще бъдат илюстрирани с примерни задачи.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Първо, нека формулираме основната дефиниция на степен с естествен показател. За да направим това, трябва да запомним основните правила за умножение. Предварително да уточним, че за база засега ще вземем реално число (означава се с буквата a), а за индикатор - естествено число (означава се с буквата n).

Определение 1

Степента на число a с естествен показател n е произведението на n-тия брой множители, всеки от които е равен на числото a. Степента се записва така: a n, а под формата на формула неговият състав може да бъде представен по следния начин:

Например, ако показателят е 1 и основата е a, тогава първата степен на a се записва като а 1. Като се има предвид, че a е стойността на фактора и 1 е броят на факторите, можем да заключим, че a 1 = a.

Като цяло можем да кажем, че степента е удобна форма за запис на голям брой равни множители. И така, запис на формуляра 8 8 8 8може да се съкрати до 8 4 . По почти същия начин продуктът ни помага да избегнем писането на голям брой термини (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); Вече обсъдихме това в статията, посветена на умножението на естествени числа.

Как да разчетем правилно записа на степента? Общоприетата опция е „а на степен n“. Или можете да кажете „n-та степен на a“ или „антова степен“. Ако, да речем, в примера срещнахме записа 8 12 , можем да прочетем "8 на 12-та степен", "8 на степен 12" или "12-та степен на 8".

Втората и третата степен на числата имат свои собствени утвърдени имена: квадрат и куб. Ако видим втората степен, например числото 7 (7 2), тогава можем да кажем „7 на квадрат“ или „квадрат на числото 7“. По същия начин третата степен се чете така: 5 3 - това е „кубът на числото 5“ или „5 в куб“. Но можете да използвате и стандартната формулировка „на втора/трета степен“, това няма да е грешка.

Пример 1

Нека да разгледаме пример за степен с естествен показател: for 5 7 пет ще бъде основата, а седем ще бъде степента.

Основата не трябва да е цяло число: за степента (4 , 32) 9 основата ще бъде дробта 4, 32, а показателят ще бъде девет. Обърнете внимание на скобите: тази нотация се прави за всички степени, чиито основи се различават от естествените числа.

Например: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

За какво са скобите? Те помагат да се избегнат грешки в изчисленията. Да кажем, че имаме два записа: (− 2) 3 И − 2 3 . Първото от тях означава отрицателно число минус две, повдигнато на степен с естествен показател три; второто е числото, съответстващо на противоположната стойност на степента 2 3 .

Понякога в книгите можете да намерите малко по-различен правопис на силата на числото - a^n(където a е основата, а n е показателят). Тоест, 4^9 е същото като 4 9 . Ако n е многоцифрено число, то се поставя в скоби. Например 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Но ние ще използваме нотацията a nкато по-често срещано.

Лесно е да се познае как да се изчисли стойността на експонента с естествена степен от нейната дефиниция: просто трябва да умножите n-ти пъти. Писахме повече за това в друга статия.

Концепцията за степен е обратното на друга математическа концепция - корен на число. Ако знаем стойността на степента и експонентата, можем да изчислим нейната основа. Градусът има някои специфични свойства, които са полезни за решаване на проблеми, които разгледахме в отделен материал.

Експонентите могат да включват не само естествени числа, но и всякакви цели числа като цяло, включително отрицателни и нули, тъй като те също принадлежат към набора от цели числа.

Определение 2

Степента на число с положително цяло число може да бъде представена като формула: .

В този случай n е всяко положително цяло число.

Нека разберем понятието нулева степен. За да направим това, ние използваме подход, който взема предвид свойството частно за степени с равни бази. Формулира се така:

Определение 3

Равенство a m: a n = a m − nще бъде вярно при следните условия: m и n са естествени числа, m< n , a ≠ 0 .

Последното условие е важно, защото избягва деленето на нула. Ако стойностите на m и n са равни, тогава получаваме следния резултат: a n: a n = a n − n = a 0

Но в същото време a n: a n = 1 е частното на равни числа a nи а. Оказва се, че нулевата степен на всяко ненулево число е равна на единица.

Такова доказателство обаче не се прилага за нула на нулева степен. За да направим това, имаме нужда от друго свойство на степените - свойството на произведения на степени с равни бази. Изглежда така: a m · a n = a m + n .

Ако n е равно на 0, тогава a m · a 0 = a m(това равенство също ни доказва това а 0 = 1). Но ако и също е равно на нула, нашето равенство приема формата 0 m · 0 0 = 0 m, ще е вярно за всяка естествена стойност на n и няма значение на каква точно е равна стойността на степента 0 0 , тоест може да бъде равно на всяко число и това няма да повлияе на точността на равенството. Следователно, нотация на формата 0 0 няма свое специално значение и ние няма да му го приписваме.

Ако желаете, това е лесно да се провери а 0 = 1се сближава със свойството степен (a m) n = a m nпри условие че основата на степента не е нула. По този начин степента на всяко ненулево число с показател нула е едно.

Пример 2

Нека да разгледаме пример с конкретни числа: И така, 5 0 - мерна единица, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , и стойността 0 0 недефиниран.

След нулевата степен просто трябва да разберем какво е отрицателна степен. За да направим това, имаме нужда от същото свойство на произведението на степени с равни основи, което вече използвахме по-горе: a m · a n = a m + n.

Нека въведем условието: m = − n, тогава a не трябва да е равно на нула. Следва, че a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. Оказва се, че a n и a−nимаме взаимно реципрочни числа.

В резултат на това a на отрицателна цяла степен не е нищо повече от дроб 1 a n.

Тази формулировка потвърждава, че за степен с цяло число отрицателен показател са валидни всички същите свойства, които притежава степен с естествен показател (при условие, че основата не е равна на нула).

Пример 3

Степен a с отрицателен цяло число n може да бъде представена като дроб 1 a n . По този начин, a - n = 1 a n предмет на a ≠ 0и n е всяко естествено число.

Нека илюстрираме нашата идея с конкретни примери:

Пример 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

В последната част на параграфа ще се опитаме да изобразим всичко, което е казано ясно в една формула:

Определение 4

Степента на число с естествен показател z е: a z = a z, e с l и z - цяло положително число 1, z = 0 и a ≠ 0, (за z = 0 и a = 0 резултатът е 0 0, стойностите на израза 0 0 не са дефинирани) 1 a z, ако и z е отрицателно цяло число и a ≠ 0 (ако z е отрицателно цяло число и a = 0 получавате 0 z, egoz стойността е неопределена)

Какво представляват степени с рационален показател?

Разгледахме случаите, когато експонентата съдържа цяло число. Въпреки това можете да повдигнете число на степен, дори когато неговият показател съдържа дробно число. Това се нарича степен с рационален показател. В този раздел ще докажем, че тя има същите свойства като другите степени.

Какво представляват рационалните числа? Техният набор включва както цели, така и дробни числа, а дробните числа могат да бъдат представени като обикновени дроби (както положителни, така и отрицателни). Нека формулираме дефиницията на степента на число a с дробен показател m / n, където n е естествено число, а m е цяло число.

Имаме някаква степен с дробен показател a m n. За да се запази свойството сила за захранване, трябва да е вярно равенството a m n n = a m n · n = a m.

Като се има предвид дефиницията на n-тия корен и че a m n n = a m, можем да приемем условието a m n = a m n, ако a m n има смисъл за дадените стойности на m, n и a.

Горните свойства на степен с цяло число ще бъдат верни при условието a m n = a m n.

Основният извод от нашите разсъждения е следният: степента на определено число a с дробен показател m / n е n-тият корен на числото a на степен m. Това е вярно, ако за дадени стойности на m, n и a изразът a m n остава смислен.

1. Можем да ограничим стойността на основата на степента: нека вземем a, което за положителни стойности на m ще бъде по-голямо или равно на 0, а за отрицателни стойности - строго по-малко (тъй като за m ≤ 0 получаваме 0 м, но такава степен не е дефинирана). В този случай дефиницията на степен с дробен показател ще изглежда така:

Степен с дробен показател m/n за някакво положително число a е корен n-ти от a, повдигнат на степен m. Това може да се изрази като формула:

За степен с нулева основа тази разпоредба също е подходяща, но само ако нейният показател е положително число.

Степен с основа нула и дробен положителен показател m/n може да се изрази като

0 m n = 0 m n = 0, при условие че m е положително цяло число и n е естествено число.

За отрицателно съотношение m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Нека отбележим една точка. Тъй като въведохме условието a да е по-голямо или равно на нула, в крайна сметка отхвърлихме някои случаи.

Изразът a m n понякога все още има смисъл за някои отрицателни стойности на a и някои m. По този начин правилните записи са (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, в които основата е отрицателна.

2. Вторият подход е да се разгледа отделно коренът a m n с четни и нечетни показатели. След това ще трябва да въведем още едно условие: степента a, в степента на която има съкратима обикновена дроб, се счита за степен a, в степента на която има съответната несъкратима дроб. По-късно ще обясним защо имаме нужда от това условие и защо е толкова важно. По този начин, ако имаме запис a m · k n · k, тогава можем да го намалим до a m n и да опростим изчисленията.

Ако n е нечетно число и стойността на m е положителна и a е всяко неотрицателно число, тогава a m n има смисъл. Условието a да е неотрицателно е необходимо, тъй като корен от четна степен не може да бъде извлечен от отрицателно число. Ако стойността на m е положителна, тогава a може да бъде както отрицателна, така и нула, защото Нечетният корен може да бъде взет от всяко реално число.

Нека комбинираме всички горни определения в един запис:

Тук m/n означава несъкратима дроб, m е всяко цяло число, а n е всяко естествено число.

Определение 5

За всяка обикновена съкратима дроб m · k n · k степента може да бъде заменена с a m n .

Степента на число a с нередуцируем дробен показател m / n – може да се изрази като a m n в следните случаи: - за всяко реално a, цели положителни стойности m и нечетни естествени стойности n. Пример: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

За всяко ненулево реално a, отрицателни цели числа на m и нечетни стойности на n, например 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

За всяко неотрицателно a, цяло положително число m и дори n, например, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

За всяко положително a, цяло отрицателно число m и дори n, например, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

При други стойности степента с дробен показател не се определя. Примери за такива степени: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Сега нека обясним важността на обсъденото по-горе условие: защо да заменяме дроб с редуцируем показател с дроб с нередуцируем показател. Ако не бяхме направили това, щяхме да имаме следните ситуации, да речем, 6/10 = 3/5. Тогава трябва да е вярно (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , но - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 и (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Определението за степен с дробен показател, което представихме първо, е по-удобно за използване на практика от второто, така че ще продължим да го използваме.

Определение 6

Така степента на положително число a с дробен показател m/n се определя като 0 m n = 0 m n = 0. В случай на отрицателен анотацията a m n няма смисъл. Степен нула за положителни дробни показатели м/нсе дефинира като 0 m n = 0 m n = 0 , за отрицателни дробни показатели ние не определяме степента на нула.

В заключение отбелязваме, че можете да напишете всеки дробен индикатор както като смесено число, така и като десетична дроб: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Когато изчислявате, е по-добре да замените експонентата с обикновена дроб и след това да използвате определението за експонента с дробна степен. За горните примери получаваме:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Какво представляват степени с ирационален и реален показател?

Какво представляват реалните числа? Техният набор включва както рационални, така и ирационални числа. Следователно, за да разберем какво е степен с реален показател, трябва да дефинираме степени с рационален и ирационален показател. Вече споменахме рационалните по-горе. Нека се занимаваме с ирационалните показатели стъпка по стъпка.

Пример 5

Да приемем, че имаме ирационално число a и последователност от неговите десетични приближения a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Например, нека вземем стойността a = 1,67175331. . . , Тогава

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753, . . .

Можем да свържем последователности от приближения с последователност от степени a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Ако си спомним какво казахме по-рано за повишаване на числата до рационални степени, тогава можем сами да изчислим стойностите на тези степени.

Да вземем за пример а = 3, тогава a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . и т.н.

Последователността от степени може да се сведе до число, което ще бъде стойността на степента с основа а и ирационален показател а. В резултат: степен с ирационален показател от формата 3 1, 67175331. . може да се сведе до числото 6, 27.

Определение 7

Степента на положително число a с ирационален показател a се записва като a a . Стойността му е границата на редицата a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , където a 0 , a 1 , a 2 , . . . са последователни десетични приближения на ирационалното число a. Степен с нулева основа може също да бъде дефинирана за положителни ирационални показатели, като 0 a = 0 Така че, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Но това не може да се направи за отрицателни, тъй като например стойността 0 - 5, 0 - 2 π не е дефинирана. Една единица, повдигната на която и да е ирационална степен, остава единица, например, и 1 2, 1 5 в 2 и 1 - 5 ще бъде равно на 1.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

В тази статия ще разберем какво е то степен на. Тук ще дадем дефиниции на степента на число, като същевременно ще разгледаме подробно всички възможни показатели, като започнем от естествения показател и завършим с ирационалния. В материала ще намерите много примери за степени, покриващи всички тънкости, които възникват.

Навигация в страницата.

Степен с естествен показател, квадрат на число, куб на число

Да започнем с. Гледайки напред, нека кажем, че дефиницията на степента на число a с естествен показател n е дадена за a, което ще наречем степен основа, и n, които ще наречем експонент. Отбелязваме също, че степен с естествен показател се определя чрез произведение, така че за да разберете материала по-долу, трябва да имате разбиране за умножаване на числа.

Определение.

Степен на число с естествен показател nе израз на формата a n, чиято стойност е равна на произведението от n фактора, всеки от които е равен на a, т.е.
По-специално, степента на число a с показател 1 е самото число a, тоест a 1 =a.

Струва си да споменем веднага за правилата за четене на степени. Универсалният начин за четене на нотацията a n е: „a на степен n“. В някои случаи са приемливи и следните опции: „a на n-та степен“ и „n-та степен на a“. Например, нека вземем степен 8 12, това е „осем на степен дванадесет“, или „осем на дванадесета степен“, или „дванадесета степен на осем“.

Втората степен на числото, както и третата степен на числото имат свои имена. Втората степен на число се нарича квадрат на числото, например, 7 2 се чете като „седем на квадрат“ или „квадрат на числото седем“. Третата степен на число се нарича кубични числа, например, 5 3 може да се чете като „пет кубчета“ или можете да кажете „куб на числото 5“.

Време е да донесете примери за степени с естествен показател. Нека започнем със степен 5 7, тук 5 е основата на степента, а 7 е степента. Нека дадем друг пример: 4,32 е основата, а естественото число 9 е показателят (4,32) 9 .

Моля, обърнете внимание, че в последния пример основата на степента 4.32 е написана в скоби: за да избегнем несъответствия, ще поставим в скоби всички основи на степента, които са различни от естествените числа. Като пример даваме следните степени с естествени показатели , основите им не са естествени числа, затова се записват в скоби. Е, за пълна яснота, в този момент ще покажем разликата, съдържаща се в записите под формата (−2) 3 и −2 3. Изразът (−2) 3 е степен на −2 с естествен показател 3, а изразът −2 3 (може да бъде записан като −(2 3) ) съответства на числото, стойността на степента 2 3 .

Обърнете внимание, че има нотация за степента на число a с показател n във формата a^n. Освен това, ако n е многозначно естествено число, тогава показателят се взема в скоби. Например 4^9 е друга нотация за степента на 4 9 . И ето още няколко примера за записване на степени с помощта на символа “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . В това, което следва, ние ще използваме основно запис на степен на формата a n.

Един от проблемите, обратни на повдигането на степен с естествен показател, е проблемът за намиране на основата на степен от известна стойност на степента и известен показател. Тази задача води до.

Известно е, че множеството от рационални числа се състои от цели числа и дроби, като всяка дроб може да бъде представена като положителна или отрицателна обикновена дроб. Дефинирахме степен с цяло число в предходния параграф, следователно, за да завършим дефиницията на степен с рационален показател, трябва да дадем значение на степента на числото a с дробен показател m/n, където m е цяло число и n е естествено число. Хайде да го направим.

Нека разгледаме степен с дробен показател от формата . За да остане валидно свойството мощност към степен, равенството трябва да е спазено . Ако вземем предвид полученото равенство и как сме определили , тогава е логично да го приемем при условие, че за дадени m, n и a изразът има смисъл.

Лесно се проверява, че за всички свойства на степен с цял показател са валидни (това беше направено в раздела свойства на степен с рационален показател).

Горното разсъждение ни позволява да направим следното заключение: ако са дадени m, n и a, изразът има смисъл, тогава степента на a с дробен показател m/n се нарича n-ти корен от a на степен m.

Това твърдение ни доближава до дефиницията на степен с дробен показател. Всичко, което остава, е да опишем при какви m, n и a изразът има смисъл. В зависимост от ограниченията, наложени на m, n и a, има два основни подхода.

Най-лесният начин е да наложите ограничение на a, като вземете a≥0 за положително m и a>0 за отрицателно m (тъй като за m≤0 степента 0 на m не е дефинирана). Тогава получаваме следната дефиниция на степен с дробен показател.

Определение.

Степен на положително число a с дробен показател m/n, където m е цяло число и n е естествено число, се нарича n-ти корен на числото a на степен m, т.е.

Дробната степен на нула също се определя с единственото предупреждение, че индикаторът трябва да е положителен.

Определение.

Степен нула с дробен положителен показател m/n, където m е положително цяло число и n е естествено число, се дефинира като .
Когато степента не е определена, тоест степента на числото нула с дробен отрицателен показател няма смисъл.

Трябва да се отбележи, че при тази дефиниция на степен с дробен показател има едно предупреждение: за някои отрицателни a и някои m и n изразът има смисъл и ние отхвърлихме тези случаи, като въведохме условието a≥0. Например, записите имат смисъл или , и дефиницията, дадена по-горе, ни принуждава да кажем, че степените с дробен показател на формата нямат смисъл, тъй като основата не трябва да е отрицателна.

Друг подход за определяне на степен с дробен показател m/n е отделно разглеждане на четните и нечетните показатели на корена. Този подход изисква допълнително условие: степента на числото a, чийто показател е , се счита за степен на числото a, чийто показател е съответната несъкратима дроб (ще обясним важността на това условие по-долу ). Тоест, ако m/n е несъкратима дроб, тогава за всяко естествено число k степента първо се заменя с .

За четно n и положително m изразът има смисъл за всяко неотрицателно a (четен корен от отрицателно число няма смисъл); за отрицателно m числото a все още трябва да е различно от нула (в противен случай ще има деление с нула). И за нечетно n и положително m числото a може да бъде всяко (коренът на нечетна степен е дефиниран за всяко реално число), а за отрицателно m числото a трябва да е различно от нула (така че да няма деление на нула).

Горното разсъждение ни води до тази дефиниция на степен с дробен показател.

Определение.

Нека m/n е несъкратима дроб, m е цяло число и n е естествено число. За всяка редуцируема дроб степента се заменя с . Степента на число с несъкратим дробен показател m/n е за



Нека обясним защо степен с редуцируем дробен показател първо се заменя със степен с нередуцируем показател. Ако просто дефинираме степента като и не направим уговорка относно несводимостта на дробта m/n, тогава ще се сблъскаме със ситуации, подобни на следното: тъй като 6/10 = 3/5, тогава равенството трябва да е спазено , Но , А .

Таблица на степени 2 (двойки) от 0 до 32

Таблицата по-долу показва, в допълнение към степените на две, максималните числа, които компютърът може да съхранява за даден брой битове. Освен това, както за цели числа, така и за числа със знак.

В исторически план компютрите са използвали двоичната бройна система и съответно съхранението на данни. Така всяко число може да бъде представено като поредица от нули и единици (битове информация). Има няколко начина за представяне на числа като двоична последователност.

Нека разгледаме най-простия от тях - това е положително цяло число. Тогава колкото по-голямо е числото, което трябва да напишем, толкова по-дълга последователност от битове ни трябва.

По-долу е таблица на степените на числото 2. Това ще ни даде представяне на необходимия брой битове, които са ни необходими за съхраняване на числа.

Как да използвам таблица на степените на число две?

Първата колона е сила на две, което едновременно обозначава броя на битовете, които представляват числото.

Втора колона - стойност двойки на подходяща степен (n).

Пример за намиране на степента на 2. В първата колона намираме числото 7. Поглеждаме по линията вдясно и намираме стойността две на седма степен(2 7) е 128

Трета колона - максималният брой, който може да бъде представен с помощта на даден брой битове(в първата колона).

Пример за определяне на максималното цяло число без знак. Използвайки данните от предишния пример, знаем, че 2 7 = 128. Това е вярно, ако искаме да разберем какво количество числа, може да се представи с помощта на седем бита. Но тъй като първото число е нула, тогава максималният брой, който може да бъде представен с помощта на седем бита, е 128 - 1 = 127. Това е стойността на третата колона.

Степен на две (n)	Мощност на две стойности 2n	Максимален брой без знак записано с n бита	Максимален подписан брой записано с n бита
0	1	-	-
1	2	1	-
2	4	3	1
3	8	7	3
4	16	15	7
5	32	31	15
6	64	63	31
7	128	127	63
8	256	255	127
9	512	511	255
10	1 024	1 023	511
11	2 048	2 047	1023
12	40 96	4 095	2047
13	8 192	8 191	4095
14	16 384	16 383	8191
15	32 768	32 767	16383
16	65 536	65 535	32767
17	131 072	131 071	65 535
18	262 144	262 143	131 071
19	524 288	524 287	262 143
20	1 048 576	1 048 575	524 287
21	2 097 152	2 097 151	1 048 575
22	4 194 304	4 194 303	2 097 151
23	8 388 608	8 388 607	4 194 303
24	16 777 216	16 777 215	8 388 607
25	33 554 432	33 554 431	16 777 215
26	67 108 864	67 108 863	33 554 431
27	134 217 728	134 217 727	67 108 863
28	268 435 456	268 435 455	134 217 727
29	536 870 912	536 870 911	268 435 455
30	1 073 741 824	1 073 741 823	536 870 911
31	2 147 483 648	2 147 483 647	1 073 741 823
32	4 294 967 296	4 294 967 295	2 147 483 647

Разбрахме какво всъщност е степен на число. Сега трябва да разберем как да го изчислим правилно, т.е. повишаване на числата до степени. В този материал ще анализираме основните правила за изчисляване на степени в случай на цели, естествени, дробни, рационални и ирационални показатели. Всички определения ще бъдат илюстрирани с примери.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Концепцията за степенуване

Нека започнем с формулирането на основни дефиниции.

Определение 1

степенуване- това е изчисляването на стойността на степента на определено число.

Тоест, думите „изчисляване на стойността на степен“ и „повдигане на степен“ означават едно и също нещо. Така че, ако проблемът казва „Повишете числото 0, 5 на пета степен“, това трябва да се разбира като „изчислете стойността на степен (0, 5) 5.

Сега представяме основните правила, които трябва да се спазват при извършване на такива изчисления.

Нека си припомним какво е степен на число с естествен показател. За степен с основа а и показател n, това ще бъде произведението на n-тия брой множители, всеки от които е равен на а. Това може да се напише така:

За да изчислите стойността на степен, трябва да извършите действие за умножение, тоест да умножите основите на степента посочения брой пъти. Самата концепция за степен с естествен експонент се основава на способността за бързо умножение. Да дадем примери.

Пример 1

Условие: повдигнете - 2 на степен 4.

Решение

Използвайки дефиницията по-горе, записваме: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . След това просто трябва да следваме тези стъпки и да получим 16.

Да вземем един по-сложен пример.

Пример 2

Изчислете стойността 3 2 7 2

Решение

Този запис може да се пренапише като 3 2 7 · 3 2 7 . Преди това разгледахме как да умножим правилно смесените числа, споменати в условието.

Нека изпълним тези стъпки и да получим отговора: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Ако проблемът показва необходимостта от повдигане на ирационални числа на естествена степен, ще трябва първо да закръглим основите им до цифрата, която ще ни позволи да получим отговор с необходимата точност. Нека разгледаме един пример.

Пример 3

Изпълнете квадрата на π.

Решение

Първо, нека го закръглим до стотни. Тогава π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Ако π ≈ 3. 14159, тогава получаваме по-точен резултат: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Имайте предвид, че необходимостта от изчисляване на степени на ирационални числа възниква сравнително рядко на практика. След това можем да запишем отговора като самата степен (ln 6) 3 или да преобразуваме, ако е възможно: 5 7 = 125 5 .

Отделно трябва да се посочи каква е първата степен на числото. Тук можете просто да запомните, че всяко число, повдигнато на първа степен, ще остане себе си:

Това става ясно от записа .

Не зависи от основата на степента.

Пример 4

И така, (− 9) 1 = − 9 и 7 3, повдигнато на първа степен, ще остане равно на 7 3.

За удобство ще разгледаме три случая поотделно: ако показателят е цяло положително число, ако е нула и ако е цяло отрицателно число.

В първия случай това е същото като повдигане на естествена степен: в края на краищата положителните цели числа принадлежат към набора от естествени числа. Вече говорихме по-горе за това как да работим с такива степени.

Сега нека видим как правилно да вдигнем до нулева мощност. За основа, различна от нула, това изчисление винаги извежда 1. По-рано обяснихме, че 0-та степен на a може да бъде дефинирана за всяко реално число, което не е равно на 0, и a 0 = 1.

Пример 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - не е определено.

Остава ни само случай на степен с цяло число отрицателен показател. Вече обсъдихме, че такива степени могат да бъдат записани като дроб 1 a z, където a е произволно число, а z е отрицателно цяло число. Виждаме, че знаменателят на тази дроб не е нищо повече от обикновена степен с цяло положително число и вече сме се научили как да го изчисляваме. Нека дадем примери за задачи.

Пример 6

Повдигнете 3 на степен - 2.

Решение

Използвайки дефиницията по-горе, записваме: 2 - 3 = 1 2 3

Нека изчислим знаменателя на тази дроб и ще получим 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8.

Тогава отговорът е: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Пример 7

Повишете 1,43 на степен -2.

Решение

Нека преформулираме: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2

Изчисляваме квадрата в знаменателя: 1,43·1,43. Десетичните числа могат да се умножат по следния начин:

В резултат на това получихме (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449. Всичко, което трябва да направим, е да запишем този резултат под формата на обикновена дроб, за което трябва да го умножим по 10 хиляди (вижте материала за преобразуване на дроби).

Отговор: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Специален случай е повдигането на число на минус първа степен. Стойността на тази степен е равна на реципрочната на първоначалната стойност на основата: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.

Пример 8

Пример: 3 − 1 = 1/3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Как да повдигнем число на дробна степен

За да извършим такава операция, трябва да запомним основната дефиниция на степен с дробен показател: a m n = a m n за всяко положително a, цяло число m и естествено n.

Определение 2

По този начин изчисляването на дробна степен трябва да се извърши на две стъпки: повишаване на степен на цяло число и намиране на корена на n-та степен.

Имаме равенството a m n = a m n, което, като се вземат предвид свойствата на корените, обикновено се използва за решаване на задачи във формата a m n = a n m. Това означава, че ако повдигнем число a на дробна степен m / n, тогава първо вземаме корен n-та от a, след което повдигаме резултата на степен с цяло число m.

Нека илюстрираме с пример.

Пример 9

Пресметнете 8 - 2 3 .

Решение

Метод 1: Съгласно основната дефиниция, можем да представим това като: 8 - 2 3 = 8 - 2 3

Сега нека изчислим степента под корена и извлечем третия корен от резултата: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Метод 2. Трансформирайте основното равенство: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2

След това изваждаме корена 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 и повдигаме резултата на квадрат: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Виждаме, че решенията са идентични. Можете да го използвате както желаете.

Има случаи, когато степента има показател, изразен като смесено число или десетична дроб. За да опростите изчисленията, по-добре е да го замените с обикновена дроб и да изчислите, както е посочено по-горе.

Пример 10

Повдигнете 44, 89 на степен 2, 5.

Решение

Нека преобразуваме стойността на индикатора в обикновена дроб - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

Сега изпълняваме по ред всички действия, посочени по-горе: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107

Отговор: 13 501, 25107.

Ако числителят и знаменателят на дробен показател съдържат големи числа, тогава изчисляването на такива показатели с рационални показатели е доста трудна работа. Обикновено изисква компютърна технология.

Нека се спрем отделно на степените с нулева основа и дробен показател. На израз от формата 0 m n може да се придаде следното значение: ако m n > 0, тогава 0 m n = 0 m n = 0; ако m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Как да повдигнем число на ирационална степен

Необходимостта да се изчисли стойността на степен, чийто показател е ирационално число, не възниква толкова често. На практика задачата обикновено се ограничава до изчисляване на приблизителна стойност (до определен брой десетични знаци). Това обикновено се изчислява на компютър поради сложността на такива изчисления, така че няма да се спираме на това подробно, ще посочим само основните разпоредби.

Ако трябва да изчислим стойността на степен a с ирационален показател a, тогава вземаме десетичното приближение на степента и броим от него. Резултатът ще бъде приблизителен отговор. Колкото по-точно е десетичното приближение, толкова по-точен е отговорът. Нека покажем с пример:

Пример 11

Изчислете приблизителната стойност на 21, 174367....

Решение

Нека се ограничим до десетичното приближение a n = 1, 17. Нека направим изчисления, като използваме това число: 2 1, 17 ≈ 2, 250116. Ако вземем, например, приближението a n = 1, 1743, тогава отговорът ще бъде малко по-точен: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Калкулаторът ви помага бързо да увеличите число на степен онлайн. Основата на степента може да бъде всяко число (както цели, така и реални). Показателят може също да бъде цяло число или реално число, а също така може да бъде положителен или отрицателен. Имайте предвид, че за отрицателни числа повдигането до степен, която не е цяло число, е недефинирано, така че калкулаторът ще докладва грешка, ако опитате да го направите.

Калкулатор за степен

Издигнете се на власт

Степени: 28402

Какво е естествена степен на число?

Числото p се нарича n-та степен на число, ако p е равно на числото a, умножено по себе си n пъти: p = a n = a·...·a
n - наречен експонент, а числото a е степен основа.

Как да повдигнем число на естествена степен?

За да разберете как да повишавате различни числа до естествени степени, разгледайте няколко примера:

Пример 1. Повишете числото три на четвърта степен. Тоест, необходимо е да се изчисли 3 4
Решение: както бе споменато по-горе, 3 4 = 3·3·3·3 = 81.
Отговор: 3 4 = 81 .

Пример 2. Повишете числото пет на пета степен. Тоест, необходимо е да се изчисли 5 5
Решение: по същия начин, 5 5 = 5·5·5·5·5 = 3125.
Отговор: 5 5 = 3125 .

По този начин, за да повдигнете число на естествена степен, просто трябва да го умножите по себе си n пъти.

Какво е отрицателна степен на число?

Отрицателната степен -n на a е единица, разделена на a на степен n: a -n = .

В този случай отрицателна степен съществува само за ненулеви числа, тъй като в противен случай ще се получи деление на нула.

Как да повдигна число на отрицателна цяло число?

За да повдигнете ненулево число на отрицателна степен, трябва да изчислите стойността на това число на същата положителна степен и да разделите едно на резултата.

Пример 1. Повишете числото две на отрицателна четвърта степен. Тоест, трябва да изчислите 2 -4

Решение: както е посочено по-горе, 2 -4 = = = 0,0625.

Отговор: 2 -4 = 0.0625 .