Координати xлежачих на колі точок рівні cos(θ), а координати yвідповідають sin(θ), де θ - величина кута.
- Якщо вам складно запам'ятати це правило, просто пам'ятайте, що в парі (cos; sin) синус стоїть на останньому місці.
- Це правило можна вивести, якщо розглянути прямокутні трикутники та визначення даних тригонометричних функцій (синус кута дорівнює відношенню довжини протилежного, а косинус - катета, що прилягає до гіпотенузи).
Запишіть координати чотирьох точок на колі."Одиничний коло" - це таке коло, радіус якого дорівнює одиниці. Використовуйте це, щоб визначити координати xі yу чотирьох точках перетину координатних осей з колом. Вище ми позначили ці точки для наочності "сходом", "північком", "заходом" і "півднем", хоча вони не мають усталених назв.
- "Схід" відповідає точці з координатами (1; 0) .
- "Північ" відповідає точці з координатами (0; 1) .
- "Захід" відповідає точці з координатами (-1; 0) .
- "Південь" відповідає точці з координатами (0; -1) .
- Це аналогічно звичайному графіку, тому немає потреби запам'ятовувати ці значення, досить пам'ятати основний принцип.
Запам'ятайте координати точок у першому квадранті.Перший квадрант розташований у верхній правій частині кола, де координати xі yнабувають позитивних значень. Це єдині координати, які потрібно запам'ятати:
Проведіть прямі лінії та визначте координати точок їх перетину з колом.Якщо ви проведете від точок одного квадранта прямі горизонтальні та вертикальні лінії, другі точки перетину цих ліній з колом матимуть координати xі yз тими самими абсолютними значеннями, але іншими знаками. Іншими словами, можна провести горизонтальні та вертикальні лінії від точок першого квадранта та підписати точки перетину з колом тими ж координатами, але при цьому залишити зліва місце для правильного знака ("+" або "-").
Для визначення символу координат використовуйте правила симетрії.Існує кілька способів визначити, де слід поставити знак "-":
- Згадайте основні правила для звичайних графіків. Ось xнегативна ліворуч і позитивна справа. Ось yнегативна знизу та позитивна зверху;
- почніть з першого квадранта і проведіть лінії до інших точок. Якщо лінія перетне вісь yкоордината xзмінить свій знак. Якщо лінія перетне вісь x, зміниться знак у координати y;
- запам'ятайте, що в першому квадранті позитивні всі функції, у другому квадранті позитивний тільки синус, у третьому квадранті позитивний лише тангенс, і в четвертому квадранті позитивний тільки косинус;
- який би метод ви не використовували, у першому квадранті має вийти (+,+), у другому (-,+), у третьому (-,-) та у четвертому (+,-).
Перевірте, чи ви не помилилися.Нижче наведено повний список координат "особливих" точок (крім чотирьох точок на координатних осях), якщо рухатися по одиничному колу проти годинникової стрілки. Пам'ятайте, що для визначення всіх цих значень достатньо запам'ятати координати точок лише в першому квадранті:
- перший квадрант: ( 3 2 , 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2)))); (2 2 , 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (1 2 , 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2))));
- другий квадрант: ( − 1 2 , 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2)))); (− 2 2 , 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 3 2 , 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2))));
- третій квадрант: ( − 3 2 , − 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))); (− 2 2 , − 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 1 2 , − 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2))));
- четвертий квадрант: ( 1 2 , − 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2)))); (2 2 , − 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (3 2 , − 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))).
Якщо ви вже знайомі з тригонометричним колом , і хочете лише освіжити в пам'яті окремі елементи, або ви зовсім нетерплячі, - то він, :
Ми ж тут все докладно розбиратимемо крок за кроком.
Тригонометричне коло – не розкіш, а необхідність
Тригонометрія
у багатьох асоціюється з непрохідною часткою. Раптом навалюється стільки значень тригонометричних функцій, стільки формул… А адже воно, як, – незалагодилося спочатку, і… пішло-поїхало… суцільне нерозуміння…
Дуже важливо не махати рукою на значення тригонометричних функцій, - Мовляв, завжди можна подивитися в шпору з таблицею значень.
Якщо ви постійно дивитеся в таблицю зі значеннями тригонометричних формул, давайте позбавлятися цієї звички!
Нас виручить! Ви кілька разів попрацюєте з ним, і далі він у вас сам спливатиме в голові. Чим він кращий за таблицю? Та в таблиці ви знайдете обмежену кількість значень, а на колі - ВСЕ!
Наприклад, скажіть, дивлячись у стандартну таблицю значень тригонометричних формул , Чому дорівнює синус, скажімо, 300 градусів, або -45.
Ніяк?.. можна, звичайно, підключити формули приведення… А дивлячись на тригонометричне коло, легко можна відповісти на такі запитання. І ви скоро знатимете як!
А при розв'язанні тригонометричних рівнянь і нерівностей без тригонометричного кола взагалі нікуди.
Знайомство з тригонометричним колом
Давайте по порядку.
Спочатку випишемо ось такий ряд чисел:
А тепер такий:
І, нарешті, такий:
Звісно, зрозуміло, що, насправді, першому місці стоїть , другою місці стоїть , але в останньому – . Тобто нас буде більше цікавити ланцюжок.
Але як гарно вона вийшла! У разі чого – відновимо цю «драбинку-чуденечку».
І навіщо воно нам?
Цей ланцюжок – і є основні значення синуса та косинуса у першій чверті.
Накреслимо в прямокутній системі координат коло одиничного радіусу (тобто радіус по довжині беремо будь-який, а його довжину оголошуємо одиничною).
Від променя «0-Старт» відкладаємо у напрямку стрілки (див. мал.) кути.
Отримуємо відповідні точки на колі. Так от якщо спроектувати крапки на кожну з осей, то ми вийдемо якраз на значення із зазначеного вище ланцюжка.
То чому ж, запитаєте ви?
Не розбиратимемо все. Розглянемо принципщо дозволить впоратися і з іншими аналогічними ситуаціями.
Трикутник АОВ – прямокутний, у ньому. А ми знаємо, що проти кута лежить катет вдвічі менший гіпотенузи (гіпотенуза у нас = радіусу кола, тобто 1).
Значить, АВ = (а отже, і ЗМ =). А за теоремою Піфагора
Сподіваюся, що вже щось стає зрозуміло?
Так ось точка В і відповідатиме значенню , а точка М – значенню
Аналогічно з іншими значеннями першої чверті.
Як ви розумієте, звична нам вісь (ox) буде віссю косинусів, а вісь (oy) - віссю синусів . пізніше.
Зліва від нуля по осі косинусів (нижче від нуля по осі синусів) будуть, звичайно, негативні значення.
Отже, ось він, ВСІМНИЙ, без якого нікуди в тригонометрії.
А ось як користуватися тригонометричним колом, ми поговоримо у .
Тригонометрія, як наука, зародилася на Стародавньому Сході. Перші тригонометричні співвідношення були виведені астрономами для створення точного календаря та орієнтування за зірками. Дані обчислення належали до сферичної тригонометрії, тоді як у шкільному курсі вивчають співвідношення сторін та кута плоского трикутника.
Тригонометрія – це розділ математики, що займається властивостями тригонометричних функцій та залежністю між сторонами та кутами трикутників.
У період розквіту культури та науки I тисячоліття нашої ери знання поширилися з Стародавнього Сходу до Греції. Але основні відкриття тригонометрії – заслуга чоловіків арабського халіфату. Зокрема, туркменський учений аль-Маразві ввів такі функції, як тангенс та котангенс, склав перші таблиці значень для синусів, тангенсів та котангенсів. Поняття синуса та косинуса введено індійськими вченими. Тригонометрії присвячено чимало уваги у працях таких великих діячів давнини, як Евкліда, Архімеда та Ератосфена.
Основні величини тригонометрії
Основні тригонометричні функції числового аргументу – це синус, косинус, тангенс та котангенс. Кожна з них має свій графік: синусоїда, косінусоїда, тангенсоїда та котангенсоїда.
У основі формул до розрахунку значень зазначених величин лежить теорема Піфагора. Школярам вона більше відома у формулюванні: «Піфагорові штани, на всі боки рівні», оскільки доказ наводиться на прикладі рівнобедреного прямокутного трикутника.
Синус, косинус та інші залежності встановлюють зв'язок між гострими кутами та сторонами будь-якого прямокутного трикутника. Наведемо формули для розрахунку цих величин для кута A і простежимо взаємозв'язки тригонометричних функцій:
Як видно, tg та ctg є зворотними функціями. Якщо уявити катет a як добуток sin A та гіпотенузи с, а катет b у вигляді cos A * c, то отримаємо такі формули для тангенсу та котангенсу:
Тригонометричне коло
Графічно співвідношення згаданих величин можна так:
Окружність, у разі, є всі можливі значення кута α — від 0° до 360°. Як видно з малюнка, кожна функція набуває негативного або позитивного значення в залежності від величини кута. Наприклад, sin α буде зі знаком «+», якщо α належить І і ІІ чверті кола, тобто знаходиться у проміжку від 0° до 180°. При від 180° до 360° (III і IV чверті) sin α може бути тільки негативним значенням.
Спробуємо побудувати тригонометричні таблиці для конкретних кутів та дізнатися значення величин.
Значення α рівні 30°, 45°, 60°, 90°, 180° тощо – називають окремими випадками. Значення тригонометричних функцій їм прораховані і представлені у вигляді спеціальних таблиць.
Ці кути обрані зовсім не випадково. Позначення π у таблицях стоїть для радіан. Радий - це кут, при якому довжина дуги кола відповідає її радіусу. Дана величина була введена для того, щоб встановити універсальну залежність, при розрахунках у радіанах не має значення дійсна довжина радіуса см.
Кути в таблицях для тригонометричних функцій відповідають значенням радіан:
Отже, не важко здогадатися, що 2π - це повне коло або 360 °.
Властивості тригонометричних функцій: синус та косинус
Для того, щоб розглянути та порівняти основні властивості синуса та косинуса, тангенсу та котангенсу, необхідно накреслити їх функції. Зробити це можна у вигляді кривої, розташованої у двовимірній системі координат.
Розглянь порівняльну таблицю властивостей для синусоїди та косінусоїди:
| Синусоїда | Косинусоїда |
|---|---|
| y = sin x | y = cos x |
| ОДЗ [-1; 1] | ОДЗ [-1; 1] |
| sin x = 0, при x = πk, де k ϵ Z | cos x = 0 при x = π/2 + πk, де k ϵ Z |
| sin x = 1, за x = π/2 + 2πk, де k ϵ Z | cos x = 1 при x = 2πk, де k ϵ Z |
| sin x = - 1 при x = 3π/2 + 2πk, де k ϵ Z | cos x = - 1 при x = π + 2πk, де k ϵ Z |
| sin (-x) = - sin x, тобто функція непарна | cos (-x) = cos x, тобто функція парна |
| функція періодична, найменший період - 2π | |
| sin x › 0, при x належить I і II чвертям або від 0° до 180° (2πk, π + 2πk) | cos x › 0, при x належить I і IV чвертям або від 270° до 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) |
| sin x ‹ 0, при x належить III і IV чвертям або від 180° до 360° (π + 2πk, 2π + 2πk) | cos x ‹ 0, при x належить II і III чвертям або від 90° до 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) |
| зростає на проміжку [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] | зростає на проміжку [-π + 2πk, 2πk] |
| зменшується на проміжках [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] | зменшується на проміжках |
| похідна (sin x)’ = cos x | похідна (cos x)' = - sin x |
Визначити чи є функція парною чи ні дуже просто. Достатньо уявити тригонометричний круг зі знаками тригонометричних величин і подумки «скласти» графік щодо осі OX. Якщо знаки збігаються, функція парна, інакше непарна.
Введення радіан та перерахування основних властивостей синусоїди та косінусоїди дозволяють навести наступну закономірність:
Переконатись у вірності формули дуже просто. Наприклад, для x = π/2 синус дорівнює 1, як і косинус x = 0. Перевірку можна здійснити звернули до таблиць або простеживши криві функцій для заданих значень.
Властивості тангенсоїди та котангенсоїди
Графіки функцій тангенсу та котангенсу значно відрізняються від синусоїди та косинусоїди. Величини tg та ctg є зворотними один одному.
- Y = tg x.
- Тангенсоіда прагне значень y при x = π/2 + πk, але ніколи не досягає їх.
- Найменший позитивний період тангенсоіди дорівнює π.
- Tg (-x) = - tg x, тобто функція непарна.
- Tg x = 0 при x = πk.
- Функція є зростаючою.
- Tg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Tg x ‹ 0, при x ϵ (— π/2 + πk, πk).
- Похідна (tg x)' = 1/cos 2 x .
Розглянемо графічне зображення котангенсоіди нижче за текстом.
Основні властивості котангенсоіди:
- Y = ctg x.
- На відміну від функцій синуса і косинуса, в тангенсоіді Y може набувати значення безлічі всіх дійсних чисел.
- Котангенсоіда прагне значень y при x = πk, але ніколи не досягає їх.
- Найменший позитивний період котангенсоіди дорівнює π.
- Ctg (-x) = - ctg x, тобто функція непарна.
- Ctg x = 0, при x = π/2 + πk.
- Функція є спадною.
- Ctg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Ctg x ‹ 0, при x ϵ (π/2 + πk, πk).
- Похідна (ctg x)’ = — 1/sin 2 x Виправити
Тригонометричне коло. Одиничне коло. Числове коло. Що це таке?
Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали в Особливим розділом 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")
Дуже часто терміни тригонометричне коло, одиничне коло, числове колопогано розуміються учням. І зовсім дарма. Ці поняття – потужний та універсальний помічник у всіх розділах тригонометрії. Фактично це легальна шпаргалка! Намалював тригонометричне коло – і одразу побачив відповіді! Заманливо? Тож давайте освоїмо, гріх такою річчю не скористатися. Тим більше це зовсім нескладно.
Для успішної роботи з тригонометричним колом потрібно знати лише три речі.
Якщо Вам подобається цей сайт...
До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)
Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)
можна познайомитися з функціями та похідними.
