Koordinater x punkter som ligger på cirkeln är lika med cos(θ), och koordinaterna y motsvarar sin(θ), där θ är storleken på vinkeln.
- Om du tycker att det är svårt att komma ihåg denna regel, kom bara ihåg att i paret (cos; sin) "kommer sinus sist."
- Denna regel kan härledas genom att överväga räta trianglar och definitionen av dessa trigonometriska funktioner (sinus för en vinkel är lika med förhållandet mellan längden på den motsatta sidan och cosinus för den intilliggande sidan till hypotenusan).
Skriv ner koordinaterna för fyra punkter på cirkeln. En "enhetscirkel" är en cirkel vars radie är lika med en. Använd detta för att bestämma koordinaterna x Och y vid fyra skärningspunkter mellan koordinataxlarna och cirkeln. Ovan, för tydlighetens skull, betecknade vi dessa punkter som "öst", "nord", "väst" och "söder", även om de inte har etablerade namn.
- "Öst" motsvarar punkten med koordinater (1; 0) .
- "Nord" motsvarar punkten med koordinater (0; 1) .
- "Väst" motsvarar punkten med koordinater (-1; 0) .
- "Söder" motsvarar punkten med koordinater (0; -1) .
- Detta liknar en vanlig graf, så det finns ingen anledning att memorera dessa värden, kom bara ihåg den grundläggande principen.
Kom ihåg koordinaterna för punkterna i den första kvadranten. Den första kvadranten ligger i den övre högra delen av cirkeln, där koordinaterna x Och y ta positiva värderingar. Det här är de enda koordinaterna du behöver komma ihåg:
Rita raka linjer och bestäm koordinaterna för punkterna i deras skärningspunkt med cirkeln. Om du ritar raka horisontella och vertikala linjer från punkterna i en kvadrant, kommer de andra skärningspunkterna för dessa linjer med cirkeln att ha koordinaterna x Och y med samma absoluta värden, men olika tecken. Med andra ord kan du rita horisontella och vertikala linjer från punkterna i den första kvadranten och märka skärningspunkterna med cirkeln med samma koordinater, men samtidigt lämna utrymme till vänster för rätt tecken ("+" eller "-").
För att bestämma tecknet för koordinaterna, använd symmetrireglerna. Det finns flera sätt att bestämma var "-"-tecknet ska placeras:
- Kom ihåg de grundläggande reglerna för vanliga sjökort. Axel x negativ till vänster och positiv till höger. Axel y negativ under och positiv ovan;
- börja med den första kvadranten och dra linjer till andra punkter. Om linjen korsar axeln y, samordna x kommer att byta tecken. Om linjen korsar axeln x, kommer tecknet för koordinaten att ändras y;
- kom ihåg att i den första kvadranten är alla funktioner positiva, i den andra kvadranten är endast sinus positiv, i den tredje kvadranten är endast tangenten positiv, och i fjärde kvadranten är endast cosinus positiv;
- Vilken metod du än använder bör du få (+,+) i den första kvadranten, (-,+) i den andra, (-,-) i den tredje och (+,-) i den fjärde.
Kontrollera om du har gjort fel. Nedan finns en komplett lista med koordinater för "speciella" punkter (förutom de fyra punkterna på koordinataxlarna), om du rör dig längs enhetscirkeln moturs. Kom ihåg att för att bestämma alla dessa värden räcker det att komma ihåg koordinaterna för punkterna endast i den första kvadranten:
- första kvadranten: ( 3 2 , 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2)))); (2 2 , 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (1 2 , 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2))));
- andra kvadranten: ( − 1 2 , 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2)))); (− 2 2 , 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 3 2 , 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2))));
- tredje kvadranten: ( − 3 2 , − 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))); (− 2 2 , − 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 1 2 , − 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2))));
- fjärde kvadranten: ( 1 2 , − 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2)))); (2 2 , − 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (3 2 , − 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))).
Om du redan är bekant med trigonometrisk cirkel , och du bara vill fräscha upp ditt minne av vissa element, eller så är du helt otålig, så här är det:
Här kommer vi att analysera allt i detalj steg för steg.
Den trigonometriska cirkeln är inte en lyx, utan en nödvändighet
Trigonometri
Många människor associerar det med ett ogenomträngligt snår. Plötsligt hopar sig så många värden av trigonometriska funktioner, så många formler... Men det är som att det inte fungerade i början, och... iväg... fullständigt missförstånd...
Det är väldigt viktigt att inte ge upp värden för trigonometriska funktioner,- säger man, man kan alltid titta på sporren med en värdetabell.
Om du ständigt tittar på en tabell med värdena för trigonometriska formler, låt oss bli av med denna vana!
Han kommer att hjälpa oss! Du kommer att arbeta med det flera gånger, och sedan dyker det upp i ditt huvud. Hur är det bättre än ett bord? Ja, i tabellen hittar du ett begränsat antal värden, men på cirkeln - ALLT!
Säg till exempel medan du tittar på standardvärdetabell för trigonometriska formler , vad är sinus lika med, säg, 300 grader, eller -45.
Inget sätt?... du kan naturligtvis ansluta reduktionsformler... Och tittar du på den trigonometriska cirkeln kan du enkelt svara på sådana frågor. Och du kommer snart att veta hur!
Och när man löser trigonometriska ekvationer och ojämlikheter utan en trigonometrisk cirkel, är det absolut ingenstans.
Introduktion till den trigonometriska cirkeln
Låt oss gå i ordning.
Låt oss först skriva ut den här siffran:
Och nu detta:
Och till sist detta:
Naturligtvis är det klart att i själva verket på första plats är , på andra plats är , och på sista plats är . Det vill säga att vi kommer att vara mer intresserade av kedjan.
Men så vackert det blev! Om något händer kommer vi att återställa denna "mirakelstege".
Och varför behöver vi det?
Denna kedja är huvudvärdena för sinus och cosinus under det första kvartalet.
Låt oss rita en cirkel med enhetsradie i ett rektangulärt koordinatsystem (det vill säga vi tar vilken radie som helst i längden och förklarar dess längd som enhet).
Från "0-Start" strålen lägger vi ner hörnen i pilens riktning (se figur).
Vi får motsvarande punkter på cirkeln. Så om vi projicerar punkterna på var och en av axlarna kommer vi att få exakt värdena från ovanstående kedja.
Varför är detta, frågar du?
Låt oss inte analysera allt. Låt oss överväga princip, vilket gör att du kan hantera andra liknande situationer.
Triangel AOB är rektangulär och innehåller . Och vi vet att mitt emot vinkeln b ligger ett ben som är hälften så stort som hypotenusan (vi har hypotenusan = cirkelns radie, det vill säga 1).
Detta betyder AB= (och därför OM=). Och enligt Pythagoras sats
Jag hoppas att något redan har blivit klart?
Så punkt B kommer att motsvara värdet, och punkt M kommer att motsvara värdet
Samma med andra värden för första kvartalet.
Som du förstår kommer den välbekanta axeln (oxe) att vara cosinusaxel, och axeln (oy) – sinusaxel . Senare.
Till vänster om noll längs cosinusaxeln (under noll längs sinusaxeln) kommer det givetvis att finnas negativa värden.
Så här är den, den ALLMÄKTIGE, utan vilken det inte finns någonstans i trigonometrin.
Men vi ska prata om hur man använder den trigonometriska cirkeln i.
Trigonometri, som en vetenskap, har sitt ursprung i det antika östern. De första trigonometriska förhållandena härleddes av astronomer för att skapa en exakt kalender och orientering av stjärnorna. Dessa beräkningar relaterade till sfärisk trigonometri, medan de i skolkursen studerar förhållandet mellan sidor och vinklar i en plan triangel.
Trigonometri är en gren av matematiken som handlar om egenskaperna hos trigonometriska funktioner och sambanden mellan trianglars sidor och vinklar.
Under kulturens och vetenskapens storhetstid under det 1:a årtusendet e.Kr. spreds kunskapen från det antika östern till Grekland. Men de viktigaste upptäckterna av trigonometri är förtjänsten av männen i det arabiska kalifatet. I synnerhet introducerade den turkmenske forskaren al-Marazwi funktioner som tangent och cotangens och sammanställde de första värdetabellerna för sinus, tangenter och cotangens. Begreppen sinus och cosinus introducerades av indiska forskare. Trigonometri fick mycket uppmärksamhet i verk av så stora figurer från antiken som Euklid, Arkimedes och Eratosthenes.
Grundläggande kvantiteter av trigonometri
De grundläggande trigonometriska funktionerna för ett numeriskt argument är sinus, cosinus, tangens och cotangens. Var och en av dem har sin egen graf: sinus, cosinus, tangent och cotangens.
Formlerna för att beräkna värdena för dessa kvantiteter är baserade på Pythagoras sats. Det är bättre känt för skolbarn i formuleringen: "Pythagoreiska byxor är lika i alla riktningar", eftersom beviset ges med exemplet med en likbent rätvinklig triangel.
Sinus, cosinus och andra relationer etablerar förhållandet mellan de spetsiga vinklarna och sidorna av en rätvinklig triangel. Låt oss ge formler för att beräkna dessa storheter för vinkel A och spåra sambanden mellan trigonometriska funktioner:
Som du kan se är tg och ctg omvända funktioner. Om vi föreställer oss ben a som produkten av sin A och hypotenusa c, och ben b som cos A * c, får vi följande formler för tangent och cotangens:
Trigonometrisk cirkel
Grafiskt kan förhållandet mellan de nämnda kvantiteterna representeras enligt följande:
Cirkeln, i detta fall, representerar alla möjliga värden för vinkeln α - från 0° till 360°. Som framgår av figuren tar varje funktion ett negativt eller positivt värde beroende på vinkeln. Till exempel kommer sin α att ha ett "+"-tecken om α hör till den 1:a och 2:a fjärdedelen av cirkeln, det vill säga den är i intervallet från 0° till 180°. För α från 180° till 360° (III och IV fjärdedelar) kan sin α endast vara ett negativt värde.
Låt oss försöka bygga trigonometriska tabeller för specifika vinklar och ta reda på betydelsen av kvantiteterna.
Värden på α lika med 30°, 45°, 60°, 90°, 180° och så vidare kallas specialfall. Värdena på trigonometriska funktioner för dem beräknas och presenteras i form av speciella tabeller.
Dessa vinklar valdes inte slumpmässigt. Beteckningen π i tabellerna är för radianer. Rad är den vinkel med vilken längden på en cirkelbåge motsvarar dess radie. Detta värde infördes för att fastställa ett universellt beroende vid beräkning i radianer, den faktiska längden på radien i cm spelar ingen roll.
Vinklar i tabeller för trigonometriska funktioner motsvarar radianvärden:
Så det är inte svårt att gissa att 2π är en hel cirkel eller 360°.
Egenskaper för trigonometriska funktioner: sinus och cosinus
För att överväga och jämföra de grundläggande egenskaperna hos sinus och cosinus, tangent och cotangens är det nödvändigt att rita deras funktioner. Detta kan göras i form av en kurva placerad i ett tvådimensionellt koordinatsystem.
Betrakta den jämförande tabellen över egenskaper för sinus och cosinus:
| Sinusvåg | Cosinus |
|---|---|
| y = sin x | y = cos x |
| ODZ [-1; 1] | ODZ [-1; 1] |
| sin x = 0, för x = πk, där k ϵ Z | cos x = 0, för x = π/2 + πk, där k ϵ Z |
| sin x = 1, för x = π/2 + 2πk, där k ϵ Z | cos x = 1, vid x = 2πk, där k ϵ Z |
| sin x = - 1, vid x = 3π/2 + 2πk, där k ϵ Z | cos x = - 1, för x = π + 2πk, där k ϵ Z |
| sin (-x) = - sin x, dvs funktionen är udda | cos (-x) = cos x, dvs funktionen är jämn |
| funktionen är periodisk, den minsta perioden är 2π | |
| sin x › 0, med x tillhörande 1:a och 2:a kvartalet eller från 0° till 180° (2πk, π + 2πk) | cos x › 0, med x tillhörande I- och IV-kvarteren eller från 270° till 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) |
| sin x ‹ 0, med x tillhörande tredje och fjärde kvartalet eller från 180° till 360° (π + 2πk, 2π + 2πk) | cos x ‹ 0, med x tillhörande 2:a och 3:e kvartalet eller från 90° till 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) |
| ökar i intervallet [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] | ökar med intervallet [-π + 2πk, 2πk] |
| minskar med intervall [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] | minskar med intervaller |
| derivata (sin x)’ = cos x | derivata (cos x)’ = - sin x |
Att avgöra om en funktion är jämn eller inte är mycket enkelt. Det räcker att föreställa sig en trigonometrisk cirkel med tecknen på trigonometriska storheter och mentalt "vika" grafen i förhållande till OX-axeln. Om tecknen sammanfaller är funktionen jämn, annars är den udda.
Införandet av radianer och listningen av de grundläggande egenskaperna hos sinus- och cosinusvågor tillåter oss att presentera följande mönster:
Det är mycket lätt att verifiera att formeln är korrekt. Till exempel för x = π/2 är sinus 1, liksom cosinus för x = 0. Kontrollen kan göras genom att konsultera tabeller eller genom att spåra funktionskurvor för givna värden.
Egenskaper hos tangentsoider och kotangensoider
Graferna för tangent- och cotangensfunktionerna skiljer sig väsentligt från sinus- och cosinusfunktionerna. Värdena tg och ctg är ömsesidiga till varandra.
- Y = brun x.
- Tangenten tenderar till värdena för y vid x = π/2 + πk, men når dem aldrig.
- Tangentoidens minsta positiva period är π.
- Tg (- x) = - tg x, dvs funktionen är udda.
- Tg x = 0, för x = πk.
- Funktionen ökar.
- Tg x › 0, för x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Tg x ‹ 0, för x ϵ (— π/2 + πk, πk).
- Derivat (tg x)’ = 1/cos 2 x.
Betrakta den grafiska bilden av cotangentoiden nedan i texten.
Huvudegenskaper hos cotangentoider:
- Y = spjälsäng x.
- Till skillnad från sinus- och cosinusfunktionerna kan Y i tangentoiden ta på sig värdena för mängden av alla reella tal.
- Cotangentoiden tenderar till värdena av y vid x = πk, men når dem aldrig.
- Den minsta positiva perioden för en kotangentoid är π.
- Ctg (- x) = - ctg x, dvs funktionen är udda.
- Ctg x = 0, för x = π/2 + πk.
- Funktionen minskar.
- Ctg x › 0, för x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Ctg x ‹ 0, för x ϵ (π/2 + πk, πk).
- Derivat (ctg x)’ = - 1/sin 2 x Rätt
Trigonometrisk cirkel. Enhetscirkel. Nummercirkel. Vad det är?
Uppmärksamhet!
Det finns ytterligare
material i Särskild avdelning 555.
För dem som är väldigt "inte särskilt..."
Och för dem som "mycket...")
Mycket ofta termer trigonometrisk cirkel, enhetscirkel, talcirkel dåligt förstådd av eleverna. Och helt förgäves. Dessa koncept är en kraftfull och universell assistent inom alla områden av trigonometri. I själva verket är detta ett lagligt fuskblad! Jag ritade en trigonometrisk cirkel och såg genast svaren! Frestande? Så låt oss lära oss, det vore synd att inte använda en sådan sak. Dessutom är det inte alls svårt.
För att framgångsrikt arbeta med den trigonometriska cirkeln behöver du bara veta tre saker.
Om du gillar den här sidan...
Förresten, jag har ytterligare ett par intressanta webbplatser för dig.)
Du kan träna på att lösa exempel och ta reda på din nivå. Testning med omedelbar verifiering. Låt oss lära oss - med intresse!)
Du kan bekanta dig med funktioner och derivator.
